2.6 应用一元二次方程（第2课时 平均变化率和营销问题）（教学课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版）

九年级北师大版数学上册 第二章 一元二次方程 2.6 一元二次方程的应用 第二课时 平均变化率及营销问题 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.会用一元二次方程的方法解决营销问题变化率问题.（重点、难点） 2.进一步培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题解决问题的能力． 随着社会的不断发展，营销问题在我们的生活中越来越重要，今天我们就来学习一下利用一元二次方程解决变化率问题与销售有关的问题. 每到节日，各种促销迎面而来，如果你是商场经理，该如何定制营销方案呢？ 情景导入 新华商场销售某种冰箱，每台进货价为 2500 元。市场调研表明：当销售价为 2900 元时，平均每天能售出 8 台；而当销售价每降低 50 元时，平均每天就能多售出 4 台。商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到 5000 元，每台冰箱的降价应为多少元？ 你知道这个问题如何求解吗？本节课我们就来探讨用一元二次方程解决商品营销问题吧！ 情景导入 旧知回顾 问题一：利润 =（ ）- 进价 售价 实际售价 = （ ）×折扣 9 折要乘以 90% 或 0.9 或 ，那么 x 折呢？ 标价 试着回忆一下，我们学过哪些与利润相关的关系式呢？ 例1 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 分析：本题的主要等量关系是： 售价 - 进价 = 利润 每台利润 × 每天的销售量 = 每天的总利润（5000） 1.利用一元二次方程解决营销问题 新知探究 问题1：降价前，销售1天获得的利润是多少？你是如何计算的？ 问题2：降价后，哪些量发生了变化？如何计算调价后每天的销售利润呢？ 问题3：本题中我们该设哪个为未知数呢？ 进价 售价 销售量 每台利润 总利润 降价前 降价后 2500 2900 8 400 400×8 2500 未知 未知 未知 5000 设每台冰箱降价 x 元 售价每降低 50 元 多售出 4 台 售价每降低 100 元 多售出 4× 台 售价每降低 x 元 多售出 4× 台 2900-x 8+4× 400-x 如果设每台冰箱降价x元，那么每台冰箱的定价应为 元． (2900－x) 列出方程： ( 8+4× )( 2900－x－2500 ) = 5000 问题4：如果我们既不设每台的定价是多少，也不设每台降价多少元，想一想，我们还可以怎么“设”呢？ 如果设每台冰箱降了x个50元，那么每台冰箱的定价应为______________元． 每天的销售量/台 每台的销售利润/元 总销售利润/元 降价前 8 2900－2500 3200 降价后 8＋4x 2900－50x－2500 5000 列出方程： ( 8+4x )( 2900－50x－2500 ) = 5000 (2900－50x) ( 8+4× )( 2900－x－2500 ) = 5000 ( 8+4x )( 2900－50x－2500 ) = 5000 方程一： 方程二： 请同学们任意选择一个方程求出它的解 解：设每台冰箱降价x元,根据题意,得 整理,得：x2 - 300x + 22500 = 0. 解方程,得： x1 = x2 = 150. ∴ 2900 - x = 2900 - 150 = 2750. 答：每台冰箱的定价应为2750元. 例2 ：新华商场销售某种冰箱,每台进价为2500元.市场调研表明:当销售价为2900元时,平均每天能售出8台;而当销价每降低50元时,平均每天能多售4台.商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元,每台冰箱的定价应为多少元? 利润问题常见关系式： 基本关系：(1)利润＝售价－________； (3)总利润＝____________×销量. 进价 单个利润 概念归纳 例3.某商场将进货价为 30 元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出 600 个。调查发现：售价在 40 元至 60 元范围内，这种台灯的售价每上涨 1 元，其销售量就将减少 10 个.为了实现平均每月 10 000 元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应购进台灯多少个？ 解：设这种台灯售价上涨 x 元，根据题意，得 (40+x-30)(600-10x) = 10 000 解这个方程，得 x1 = 10. x2 = 40（舍）. 售价为：40+x = 40+10 = 50（元） 应购置台灯：600-10x = 600-10×10 = 500（个） 课本例题 某花圃用花盆培育某种花苗,经过试验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系.每盆植入3株时,平均单株盈利3元;以同样的栽培条件,若每盆增加1株,平均单株盈利就减少0.5元.要使每盆的盈利达到10元,每盆应该植多少株? 典例剖析 整理，得 x2 - 3x + 2 = 0. 解这个方程,得 x1=1, x2=2. 经检验，x1=1 , x2 = 2 都符合题意. 答:要使每盆的盈利达到10元,每盆应植入4株或5株. 解:设每盆花苗增加的株数为x株,则每盆花苗有(x+3)株,平均单株盈利为(3 - 0.5x)元.根据题意,得. (x + 3)(3 - 0.5x) = 10. 典例剖析 概念归纳 利用方程解决实际问题得关键和步骤是什么？ 关键：寻找等量关系 步骤：其一是整体地、系统地审清问题； 其二是把握问题中的“相等关系”； 其三是正确求解方程并检验解的合理性。 1.某小区2020年屋顶绿化面积为2 000 m2，计划2022年屋顶绿化面积要达到2 880 m2.如果每年屋顶绿化面积的增长率相同，那么这个增长率是多少？ 解：设这个增长率是x.根据题意，得 2 000×(1＋x)2＝2 880. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去). 答：这个增长率是20%. 练一练 2.百佳超市将进货单价为40元的商品按50元出售时，能卖500个，已知该商品每涨价1元，其销售量就要减少10个，为了赚8000元利润，售价应定为多少，这时应进货为多少个？ 点拨：设商品单价为(50+x)元,则每个商品的利润为[(50+x)－40]元，因为每涨价1元，其销售会减少10，则每个涨价x元，其销售量会减少10x，故销售量为(500－10x)个，根据每件商品的利润×件数=8000，则(500－10x)·[(50+x)－40]=8000. 练一练 解：设每个商品涨价x元，则销售价为(50+x)元，销售量为(500－10x)个，则 (500－10x)· [(50+x)－40]=8000， 整理得 x2－40x+300=0， 解得x1=10，x2=30都符合题意. 当x=10时，50+x =60，500－10 x=400； 当x=30时，50+x =80， 500－10 x=200. 答：要想赚8000元，售价为60元或80元；若售价为60元，则进货量应为400个；若售价为80元，则进货量应为200个. 练一练 列一元二次方程解应用题，步骤与以前的列方程解应用题一样，其中审题是解决问题的基础，找等量关系列方程是关键，恰当灵活地设元直接影响着列方程与解法的难易，它可以为正确合理的答案提供有利的条件． 方程的解必须进行实际意义的检验． 概念归纳 例4.超市今年的营业额为280万元，计划后年的营业额为403.2万元，求平均每年增长的百分率？ 1.审清题意，今年 到后年间隔2年 3.根据增长率的等量关系列出方程 答：平均每年的增长20% 解：平均每年增长的百分率为x, 根据题意得： 1＋x＝±1.2 x1＝－2.2(舍去) x2＝0.2 2.设未知数 1.平均变化率问题 新知探究 例5.两年前生产1 t甲种药品的成本是5 000元，生产1 t乙种药品的成本是6 000元．随着生产技术的进步，现在生产1 t甲种药品的成本是3 000元，生产1 t乙种药品的成本是3 600元．哪种药品成本的年平均下降率较大？　　 分析： 容易求出，甲种药品成本的年平均下降额为 (5 000－3 000)÷2＝1 000(元)， 乙种药品成本的年平均下降额为 (6 000－3 600)÷2＝1 200(元)． 显然，乙种药品成本的年平均下降额较大． 但是，年平均下降额(元)不等同于年平均下降率(百分数)． 典例剖析 解： 设甲种药品成本的年平均下降率为x，则一年后甲种 药品成本为5 000(1－x )元，两年后甲种药品成本为 5 000(1－x)2元，于是有 5 000(1－x)2＝3 000. 解方程，得 x1≈0.225，x2≈1.775. 根据问题的实际意义，甲种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 典例剖析 （1）甲种药品成本的年平均下降率是多少？ （2）乙种药品成本的年平均下降率是多少？ 请比较两种药品成本的年平均下降率． 典例剖析 解：设乙种药品的年平均下降率为y，列方程得 6000（1 － y ）2=3600. 解方程，得 y1≈0.225，y2≈1.775. 根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%. 综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%. 在现实生活中，各项指标都在随着社会的进步而发生变化，这样就出现了增长和降低百分率问题。在具体的列一元二次方程解平均增长（或降低）率问题时，主要利用平均率的计算公式来列方程。 问题一：经过计算，你能得出什么结论？ 问题二：成本下降额大的药品，它的成本下 降率一定也大吗？ 问题三：应怎样全面地比较几个对象的变化状况？ 概念归纳 结论：甲乙两种药的平均下降率相同； 成本下降额较大的药品，它的成本下降率不一定较大. 不但要考虑它们的平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率. 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤如下: 概念归纳 B 25(1＋x)2＝36 随堂练 16 24 随堂练 随堂练 随堂练 课本练习 某批发市场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500 张，每张赢利 0.3 元.为了尽快减少库存，摊主决定采取适当的降价措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降价0.05元，那么平均每天可多售出200张.摊主要想平均每天赢利 180元，每张贺年卡应降价多少元？ 方法指导：找出等量关系式，每张贺年卡赢利的钱×张数＝赢利总钱数． 解：设每张贺年卡应降价x元，则现在的利润是(0.3－x)元， 多售出200x÷0.05＝4 000x(张). 根据题意，得(0.3－x)(500＋4 000x)＝180， 整理，得400x2－70x＋3＝0. 解得x1＝ ，x2＝0.1. ∵为了尽快减少库存， ∴x＝0.1. 答：每张贺年卡应降价0.1元． 课本练习 某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元.在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件.如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 1. 解：设每件应降价x元，根据题意，得 (44-x)(20+5x)=1600.整理，得x²-40x+144=0. 解得x1=4，x2=36（不合题意，舍去）. 答：每件应降价4元. 习题2.10 一个农业合作社以64000元的成本收获了某种农产品80 t，目前可以以1200元/t的价格售出.如果储藏起来，每星期会损失2 t，且每星期需支付各种费用1600元，但同时每星期每吨的价格会上涨200元.那么，储藏多少个星期出售这批农产品可获利122000元？ 2. 解：设储藏x个星期，根据题意，得 (1200+200x)(80-2x)-1600x-64000=122000. 整理，得x2-30x+225=0. 解得x1=x2=15. 答：储藏15个星期出售这批农产品可获利122000元. 某市2011年年底自然保护区覆盖率（即自然保护区面积占全市国土面积的百分比）仅为4.85%，经过两年努力，该市2013年年底自然保护区覆盖率达到8%，求该市这两年自然保护区面积的年均增长率（结果精确到0.1%）. 3. 解：设年均增长率为x，则4.85%×(1+x)2=8%. 解得x1≈0.284=28.4%，x2≈-2.284（舍去）. 答：该市这两年自然保护区面积的年均增长率约为28.4%. 某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11，12两个月营业额的月均增长率. 4. 解：设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为x，则2500+2500(x+1)+2500(x+1)2=9100. 解得x1=0.2=20%，x2=-3.2（舍去）. 答：该公司11，12两个月营业额的月均增长率为20%. A 分层练习-基础 C (30＋x) 分层练习-基础 A 分层练习-基础 分层练习-基础 D 分层练习-巩固 C 分层练习-巩固 25或36 10 8 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-巩固 分层练习-拓展 分层练习-拓展 a(1＋x)n b＝a(1－x)n 50(1－x)2＝32 10% 课堂反馈 进价 利润率 商品的销售数量 C 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 课堂反馈 应用一元二次方程 平均降低率问题 平均增长率问题 利润问题：总利润=销售总额-总成本 变化率问题 销售问题 课堂小结 (2)利润率＝×100%； 1．某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率．设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是(　　) A．560(1＋x)2＝315　　 B．560(1－x)2＝315 C．560(1－2x)2＝315 D．560(1－x2)＝315 2．某企业五月份的利润是25万元，预计七月份的利润将达到36万元．设平均月增长率为x，根据题意所列方程是 . 3．商场出售某种冰箱，每台进货价为2500元，经市场调研表明：当销售价格为2900元时，平均每天售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，若销售价格为2700元时，平均每天多售出 台，此 时一天能售出 台；若销售价为x元时(x≤2900)，则一天能售出 　 　台冰箱． (240－eq \f(2,25)x) 4．某水果经销商上月份销售一种新上市的水果，平均售价为10元/千克，月销售量为1000千克，经市场调查，若将该种水果价格调低至x元/千克，则本月份销售量y(千克)与x(元/千克)之间满足一次函数关系y＝kx＋b，且当x＝7时，y＝2000；当x＝5时，y＝4000. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)已知该种水果上月份的成本价为5元/千克，本月份的成本价为4元/千克，要使本月份销售该种水果所获利润比上月份增加20%，同时又要让顾客得到实惠，那么该种水果价格每千克应调低至多少元？(利润＝售价－成本价) 解：(1)由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(7k＋b＝2000,5k＋b＝4000))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(k＝－1000,b＝9000))，∴y＝－1000x＋9000； (2)设该种水果每千克应调低至x元，由题意可得1000×(10－5)(1＋20%)＝(－1000x＋9000)(x－4)，整理得x2－13x＋42＝0，解得x1＝6，x2＝7(舍去)．答：该种水果价格每千克应调低至6元． 知识点一：市场营销问题及其他类型应用 1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元，若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15　 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15 C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝15 2．某班学生毕业时，每个同学都要给其他同学写一份留言作为纪念，全班学生共写了1560份留言．如果全班有x名学生，根据题意，列出方程为( ) A.eq \f(xx－1,2)＝1560 B．eq \f(xx＋1,2)＝1560 C．x(x－1)＝1560 D．x(x＋1)＝1560 3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出50件，每件盈利30元，为了盈利，商场决定涨价销售，经调查发现若每件涨价1元，那么商场平均每天可少销2件．若设每件涨价x元，则每件利润为 元，平均每天能销售衬衫(50－2x)件；每天的利润为 元． (－2x2－10x＋1500) 知识点二：增长率问题 4．随着居民经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，抽样调查显示，截止2016年底某市汽车拥有量为16.9万辆．已知2014年底该市汽车拥有量为10万辆，设2014年底至2016年底该市汽车拥有量的平均增长率为x，根据题意列方程得( ) A．10(1＋x)2＝16.9 B．10(1＋2x)＝16.9 C．10(1－x)2＝16.9 D．(1－2x)＝16.9 5．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 解：设该产品的成本价平均每月应降低x，依题意得625(1－20%)(1＋6%)－500(1－x)2＝625－500，整理得500(1－x)2＝405，(1－x)2＝0.81，∴1－x＝±0.9，∴x＝1±0.9，x1＝1.9(舍去)，x2＝0.1＝10%.答：该产品的成本价平均每月应降低10%. 6．某市2018年生产总值(GDP)比2017年增长了12%，由于受到国际金融危机的影响，预计2019年比2018年增长7%.若这两年GDP年平均增长率为x%，则x%满足的关系是( ) A．12%＋7%＝x% B．(1＋12%)(1＋7%)＝2(1＋x%) C．12%＋7%＝2·x% D．(1＋12%)(1＋7%)＝(1＋x%)2 7．商场服装柜在销售中发现：某童装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“六·一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，要想平均每天销售这种童装共盈利1200元，设每件童装降价x元，那么应满足的方程是( ) A．(40＋x)(20－2x)＝1200 B．(40－2x)(20＋x)＝1200 C．(40－x)(20＋2x)＝1200 D．(40＋2x)(20－x)＝1200 8．一个两位数等于它的个位数字的平方，且个位数字比十位数字大3，则这个两位数为 . 9．楚天汽车销售公司5月份销售某种型号汽车，当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售量超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0.1万元/辆．根据市场调查，月销售量不低于5台也不会突破30台．已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润为25万元，那么月需售出 辆汽车． 10．一次同学聚会，每两人都相互握了一次手，小芳统计一共握了28次手，这次聚会的人数是 . 11．天山旅行社为吸引游客组团去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，推出了如下收费标准(如图所示)： 某单位组织员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游？ 解：设该单位去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游人数为x人，则人均费用为1000－20(x－25)元，由题意得x[1000－20(x－25)]＝27000，整理得x2－75x＋1350＝0，解得x1＝45，x2＝30.当x＝45时，人均旅游费用为1000－20(x－25)＝600＜700，不符合题意，应舍去，当x＝30时，人均旅游费用为1000－20(x－25)＝900＞700，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去具有喀斯特地貌特征的黄果树风景区旅游． 12．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率． 解：设该种药品平均每次降价的百分率是x， 由题意得：200(1－x)2＝98，解得：x1＝1.7(不合题意舍去)，x2＝0.3＝30%. 答：该种药品平均每次降价的百分率是30%. 13．某地2017年为做好“精准扶贫”，投入资金1280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2019年在2017年的基础上增加投入资金1600万元． (1)从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？ (2)在2019年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户(含第1000户)每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？ 解：(1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得：1280(1＋x)2＝1280＋1600，解得：x＝0.5或x＝－2.5(舍)，答：从2017年到2019年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%； (2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得：1000×8×400＋(a－1000)×5×400≥5000000，解得：a≥1900，答：今年该地至少有1900户享受到优先搬迁租房奖励． 利用一元二次方程解决平均增长率问题　 平均增长率公式为b＝ ，其中a为起始量，b为终止量，x为增长率，n为增长次数，平均降低率公式为 ，其中a为起始量，b为终止量，n为降低次数． 1．(宜宾中考)经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降 到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是 . 2．(黑龙江中考)原价100元的某商品，连续两次降价后售价为81元，若每次降低的百分率相同，则降低的百分率为 . 利用一元二次方程解决商品利润问题　 每件商品的利润＝售价－ ＝原价× ，某一批商品的总利润＝每件商品的利润× ． 2. 某服装店进价为30元的内衣，以50元售出，平均每月能售出300件，经试销发现每件内衣每涨价10元，其月销售量就减少10件，为实现每月利润8700元，设定价为x元，则可得方程(　　) A．300(x－30)＝8700　 B．300(x－50)＝8700 C．(x－30)[300－(x－50)]＝8700 D．x－30＝8700 会用一元二次方程解决增长率问题． 【例1】某商厦二月份的销售额为100万元，三月份销售额下降了20%，商厦从四月份起改进经营措施，销售额稳步上升，五月份销售额达到135.2万元，求四、五月份的平均增长率． 【思路分析】由题意知四、五月份的平均增长率相同不妨设为x，则五月份的销售额为100(1－20%)(1＋x)2，根据五月份的销售额达到135.2万，可列方程求得x. 【规范解答】设四、五月份的平均增长率为x.根据题意，得100(1－20%)(1＋x)2＝135.2，(1＋x)2＝1.69，1＋x＝±1.3，∴x1＝0.3，x2＝－2.3(不合题意，舍去)．答：四、五月份的平均增长率为30%. 【方法归纳】增长(或降低)问题：b＝a(1±x)n，其中a为基数，x为增长率或降低率，n为增长或降低的次数，b为增长或降低后的结果量． 会用一元二次方程解决经济问题． 【例2】某商场销售一批名牌衬衫，现在平均每天能售出20件，每件盈利40元．为了尽快减少库存，商场决定采取降价措施．经调查发现：如果这种衬衫的售价每降低1元时，平均每天能多售出2件．商场要想平均每天盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ 【思路分析】因为，每天盈利＝每件盈利×销售件数，每件盈利＝原盈利数－降价数；根据每件的盈利×每天所卖的件数＝每天盈利1200元，即可列方程求解． 【规范解答】设每件衬衫应降价x元，依题意得(40－x)(20＋2x)＝1200，解得x1＝10，x2＝20，因为要尽快减少库存，所以取x＝20.答：每件衬衫应降价20元． 【方法归纳】降低每件的售价，实际就是降低每件的利润，售价降低，销售量增加．减少库存，就是要增加销量，在保证盈利相同的情况下，降低越多，销售量增加的越多，就达到减少库存的目的． $$