第22章 二次函数（单元复习课件）-2024-2025学年九年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

九年级人教版数学上册 单元考点串讲 第二十二章 二次函数 目录/CONTENTS 易错易混 典例剖析 考点透视 考场练兵 技巧总结 考点透视 典例剖析 C B A C 0＜m＜3 m≤4 D C 3 例 1. . 易错点一 忽略题目中的隐含条件 正解： 又k-3≠0， 所以k≠3.所以k=0. 故答案为0. 0 易错易混 例 2. [福建中考]若二次函数y=|a|x²+bx+c的图象经过点A（m，n），B（0，y₁），C（3-m，n），D（，y₂），E（2，y₃），则y₁，y₂，y₃的大小关系是（ ） 易错点二 混淆二次函数的增减性与一次函数的增减性 易错易混 y₁ < y₂ < y₃ B. y₁ < y₃ < y₂ C. y₃ < y₂ < y₁ D. y₂ < y₃ < y₁ D 正解： 因为函数图象经过A（m，n），C（3-m，n），所以二次函数图象的对称轴为直线.在点B（0， y₁ ），D（ ， y₂ ），E（2， y₃ ）与对称轴的距离中，B最远，D最近.因为|a|>0，所以 y₁>y₃ >y₂.故选 D. 易错易混 例 3.已知二次函数y=ax²+4x+a-1的最小值为2，则a的值为（ ） A.3 B.-1 C.4 D.4 或-1 易错点三 考虑不全，导致出错 正解： 因为二次函数y=ax²+4x+a-1有最小值，所以a>0，所以a=4.故选C. C 易错易混 例 4.已知0≤x≤2，则函数y=x²+x+1（ ） A.有最小值，但无最大值 B.有最小值，有最大值7 C.有最小值1，有最大值7 D.无最小值也无最大值 易错点四 求最值时忽略自变量的取值范围 C 易错易混 正解： 因为当0≤x≤2时，y随x的增大而增大， 所以当 x=0 时，=1； 当 x=2 时， =7. 故选C. 例 5.已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，则2a-b 0 （填“>”“<”或“=”）. 易错点五 忽略二次函数图象中二次项系数为负数导致出错 < 易错易混 正解： 因为抛物线的对称轴在点（-1，0）的右边， 所以. 因为 a<0，所以 b>2a， 所以 2a-b<0. 故答案为<. B D 技巧总结 D 技巧总结 D 技巧总结 C 技巧总结 C 技巧总结 B 技巧总结 D 技巧总结 B 技巧总结 D 技巧总结 D D 技巧总结 －1 技巧总结 ①④ 技巧总结 x＜－1或x＞5 技巧总结 x＜－3或x＞1 －3≤a≤1 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C 技巧总结 B 技巧总结 D 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C y＝2(x＋3)2 y＝－2(x－3)2 技巧总结 B y＝－(x＋1)2－3 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 技巧总结 C C 考场练兵 D C 考场练兵 D B 考场练兵 B 考场练兵 B C 考场练兵 C 考场练兵 －2 ＞－1 ＝－1 (－1,0) 0 ＜ 考场练兵 150 2 2 考场练兵 … －1 2 3 2 －1 … y … 3 2 1 0 －1 … x x＝1 (1,3) 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考场练兵 考点1：二次函数的概念及平移 1.下列关系式中，y是x的二次函数的是( ) A.2xy＋x2＝1　　　　　 B.y2－ax＋2＝0 C.y＋x2－2＝0 D.x2－y2＋4＝0 2.(哈尔滨中考)将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为( ) A.y＝2(x＋2)2＋3 B.y＝2(x－2)2＋3 C.y＝2(x－2)2－3 D.y＝2(x＋2)2－3 3.(天津中考)已知抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交点A、B(点A在点B的左侧)，顶点为M，平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为( ) A.y＝x2＋2x＋1 B.y＝x2＋2x－1 C.y＝x2－2x＋1 D.y＝x2－2x－1 考点2:二次函数的图象与性质 4.(雅安中考)在平面直角坐标系中，对于二次函数y＝(x－2)2＋1，下列说法中错误的是( ) A.y的最小值为1 B.图象顶点坐标为(2,1)，对称轴为直线x＝2 C.当x＜2时，y的值随x值的增大而增大，当x≥2时，y的值随x值的增大而减小 D.它的图象可以由y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度得到 5.二次函数y＝mx2＋m－3的图象的顶点在y轴的负半轴上，且开口向上，则m的取值范围是 . 6.已知二次函数y＝x2－mx＋1中，当x＞2时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 . 考点3：二次函数的应用 7.(临沂中考)从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h(单位：m)与小球运动时间t(单位：s)之间的函数关系如图所示.下列结论：①小球在空中经过的路程是40 m；②小球抛出3 s后，速度越来越快；③小球抛出3 s时速度为0；④小球的高度h＝30 m时， t＝1.5 s.其中正确的是( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.②③ 8.(宿迁中考)超市销售某种儿童玩具，如果每件利润为40元(市场管理部门规定，该种玩具每件利润不能超过60元)，每天可售出50件.根据市场调查发现，销售单价每增加2元，每天销售量会减少1件.设销售单价增加x元，每天售出y件. (1)请写出y与x之间的函数表达式； (2)当x为多少时，超市每天销售这种玩具可获利润2250元？ (3)设超市每天销售这种玩具可获利w元，当x为多少时w最大，最大值是多少？ 解：(1)根据题意得，y＝－eq \f(1,2)x＋50； (2)根据题意得，(40＋x)(－eq \f(1,2)x＋50)＝2250，解得x1＝50，x2＝10，∵每件利润不能超过60元，∴x＝10；　 (3)根据题意得，w＝(40＋x)(－eq \f(1,2)x＋50)＝－eq \f(1,2)(x－30)2＋2450， ∵当x＜30时，w随x的增大而增大，∴当x＝20时，w最大＝2400.即当销售单价增加20元时，超市有最大利润2400元. 考点4：二次函数与一元二次方程的关系 9.(荆门中考)若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)经过第四象限的点(1，－1)，则关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况是( ) A.有两个大于1的不相等实数根 B.有两个小于1的不相等实数根 C.有两个实数根，一个大于1，另一个小于1 D.没有实数根 10.二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，则m的最大值为 . 11.(大连中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向上，且经过点A(0，eq \f(3,2)). (1)若此抛物线经过点B(2，－eq \f(1,2))，且与x轴相交于点E、F； ①填空：b＝ (用含a的代数式表示)； ②当EF的值最小时，求抛物线的解析式. (2)若a＝eq \f(1,2)，当0≤x≤1，抛物线上的点到x轴距离的最大值为3时，求b的值. 解：(1)①－2a－1；　②由①可得抛物线解析式为y＝ax2－(2a＋1)x＋eq \f(3,2)，令y＝0可得ax2－(2a＋1)x＋eq \f(3,2)＝0，∴x1＋x2＝eq \f(2a＋1,a)，x1x2＝eq \f(3,2a)，∴EF2＝(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(eq \f(1,a)－1)2＋3，∴当a＝1时，EF2有最小值，即EF有最小值，∴抛物线解析式为y＝x2－3x＋eq \f(3,2)；　 (2)当a＝eq \f(1,2)时，抛物线的解析式为y＝eq \f(1,2)x2＋bx＋eq \f(3,2)，∴抛物线对称轴为x＝－b， ∴只有当x＝0、x＝1或x＝－b时，抛物线上的点才有可能离x轴最远，当x＝0时，y＝eq \f(3,2)，当x＝1时，y＝eq \f(1,2)＋b＋eq \f(3,2)＝2＋b，当x＝－b时，y＝eq \f(1,2)(－b)2＋b(－b)＋eq \f(3,2)＝－eq \f(1,2)b2＋eq \f(3,2)，①当|2＋b|＝3时，b＝1或b＝－5，且顶点不在0＜x＜1范围内，满足条件；②当|－eq \f(1,2)b2＋eq \f(3,2)|＝3时，b＝±3，对称轴为直线x＝±3，不在0＜x＜1范围内，故不符合题意.综上可知b的值为1或－5. 强化技巧：1 抛物线的位置与系数a、b、c的关系 1.已知a＜0，b＜0，c＞0，那么抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点在( ) A.第一象限　　　　　　 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是( ) A.a＜0，b＜0，c＞0，b2－4ac＞0 B.a＞0，b＜0，c＞0，b2－4ac＜0 C.a＜0，b＞0，c＜0，b2－4ac＞0 D.a＜0，b＞0，c＞0，b2－4ac＞0 3.如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向上，对称轴为直线x＝1，图象经过(3,0)，下列结论中，正确的一项是( ) A.abc＜0 B.2a＋b＜0 C.a－b＋c＜0 D.4ac－b2＜0 4.(南充中考)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a、b、c是常数，且a≠0)的图象如图所示，下列结论错误的是( ) A.4ac＜b2 B.abc＜0 C.b＋c＞3a D.a＜b 5.如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，对于下列说法：①ac＞0；②2a＋b＞0；③4ac＜b2；④a＋b＋c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小.其中正确的是( ) A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④⑤ 6.(遵义中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2.抛物线与x轴的一个交点在点(－4,0)和点(－3,0)之间，其部分图象如图所示，下列结论：①4a－b＝0；②c≤3a；③关于x的方程ax2＋bx＋c＝2有两个不相等实数根；④b2＋2b＞4ac.其中正确的个数有( ) A.1个　　 B.2个　　 C.3个　　 D.4个 7.(安顺中考)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，分析下列四个结论：①abc＜0；②b2－4ac＞0；③3a＋c＞0；④(a＋c)2＜b2.其中正确的结论有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 强化技巧：2 由某函数图象确定另一函数图象的位置 8.二次函数y＝－x2＋ax－b的图象如图所示，则一次函数y＝ax＋b的图象不经过( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 9.(达州中考)如图，直线y1＝kx与抛物线y2＝ax2＋bx＋c交于A、B两点，则y＝ax2＋(b－k)x＋c的图象可能是( ) 强化技巧3： 比较函数值的大小 1.点P1(－1，y1)、P2(3，y2)、P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y3>y2>y1　　　　　 B.y3>y1＝y2 C.y1>y2>y3 D.y1＝y2>y3 2.(包头中考)已知一次函数y1＝4x，二次函数y2＝2x2＋2，在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值为y1与y2，则下列关系正确的是( ) A.y1＞y2 B.y1≥y2 C.y1＜y2 D.y1≤y2 3.(福建中考)若二次函数y＝|a|x2＋bx＋c的图象经过A(m，n)、B(0，y1)、C(3－m，n)、D(eq \r(2)，y2)、E(2，y3)，则y1、y2、y3的大小关系是( ) A.y1＜y2＜y3 B.y1＜y3＜y2 C.y3＜y2＜y1 D.y2＜y3＜y1 强化技巧4： 求方程的解或解的范围 4.二次函数y＝－x2＋2x＋k的部分图象如图所示，若关于x的一元二次方程－x2＋2x＋k＝0的一个解为x1＝3，则另一个解x2＝ . 5.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的大致图象如图所示，顶点坐标为(1，－4a)，点A(4，y1)是该抛物线上一点，若点D(x2，y2)是该抛物线上任意一点，有下列结论：①4a－2b＋c＞0；②若y2＞y1，则x2＞4；③若0≤x2≤4，则0≤y2≤5a；④若方程a(x＋1)(x－3)＝－1有两个实数根x1和x2，且x1＜x2，则－1＜x1＜x2＜3.其中结论正确的是 (填序号). 强化技巧5: 求不等式的解集 6.(资阳中考)如图所示是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c＜0的解集是 . 7.(济宁中考)如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A(－1，p)、B(3，q)两点，则不等式ax2＋mx＋c＞n的解集是 . 8.(凉山中考)当0≤x≤3时，直线y＝a与抛物线y＝(x－1)2－3有交点，则a的取值范围是 . 强化技巧6 求代数式的值的范围 9.(北京中考)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2－4x＋3与x轴相交于点A、B(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C. (1)求直线BC的表达式； (2)垂直于y轴的直线l与抛物线相交于点P(x1，y1)、Q(x2，y2)，与直线BC交于点N(x3，y3).若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取值范围. 解：(1)根据题意可得，点A、B的坐标分别为(1,0)、(3,0)，利用待定系数法可求得直线BC的表达式为y＝－x＋3； (2)∵抛物线y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1，∴抛物线的顶点坐标为(2，－1)，对称轴为直线x＝2.由题意可知，点P(x1，y1)、Q(x2，y2)(x1＜x2)关于直线x＝2对称，∴x2－2＝2－x1，∴x1＋x2＝4.由x1＜x2＜x3，结合函数的图象，可得－1＜y3＜0，即－1＜－x3＋3＜0，解得3＜x3＜4.∴7＜x1＋x2＋x3＜8.∴x1＋x2＋x3的取值范围为7＜x1＋x2＋x3＜8. 强化技巧7： 二次函数图象的平移变换 1.将抛物线y＝－2x2＋4x＋1平移可得到抛物线y＝－2x2，则平移方式为( ) A.向左平移1个单位，再向上平移3个单位 B.向右平移1个单位，再向上平移3个单位 C.向左平移1个单位，再向下平移3个单位 D.向右平移1个单位，再向下平移3个单位 2.(绍兴中考)在平面直角坐标系中，抛物线y＝(x＋5)(x－3)经过变换后得到抛物线y＝(x＋3)(x－5)，则这个变换可以是( ) A.向左平移2个单位　　 B.向右平移2个单位 C.向左平移8个单位 D.向右平移8个单位 3.(盐城中考)如图，将函数y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋1的图象沿y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点A(1，m)、B(4，n)平移后的对应点分别为点A′、B′，若曲线段AB扫过的面积为9(图中的阴影部分)，则新图象的函数表达式是( ) A.y＝eq \f(1,2)(x－2)2－2 B.y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋7 C.y＝eq \f(1,2)(x－2)2－5 D.y＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4 4.如果二次函数的二次项系数为1，则此二次函数可表示为y＝x2＋px＋q，我们称[p，q]为此函数的特征数，如函数y＝x2＋2x＋3的特征数是[2,3]. (1)若一个函数的特征数为[－2,1]，求此函数图象的顶点坐标； 解：由题意，可得出y＝x2－2x＋1＝(x－1)2.所以此函数图象的顶点坐标为(1,0)； (2)探究下列问题： ①若一个函数的特征数为[4，－1]，将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，求得到的图象对应的函数的特征数； ②若一个函数的特征数为[2,3]，问此函数的图象经过怎样的平移，才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]? 解：①由题意，可得出y＝x2＋4x－1＝(x＋2)2－5.所以将此函数的图象先向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后，得到y＝(x＋1)2－4＝x2＋2x－3.所以图象对应的函数的特征数为[2，－3]； ②因为一个函数的特征数为[2,3]，所以函数解析式为y＝x2＋2x＋3＝(x＋1)2＋2.因为另一个函数的特征数为[3,4]，所以函数解析式为y＝x2＋3x＋4＝(x＋eq \f(3,2))2＋eq \f(7,4).所以由原函数的图象向左平移eq \f(1,2)个单位长度，再向下平移eq \f(1,4)个单位长度即可得到. 5.设函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数). (1)当k取1和2时的函数y1和y2的图象如图所示，请你在同一直角坐标系中画出当k取0时函数的图象； (2)根据图象，写出你发现的一条结论； (3)将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3的图象，求函数y3的最小值. 解：(1)作图如图； (2)函数y＝(x－1)[(k－1)x＋(k－3)](k是常数)的图象都经过点(1,0)(答案不唯一)； (3)∵y2＝(x－1)2，∴将函数y2的图象向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到函数y3，y3＝(x＋3)2－2，∴当x＝－3时，函数y3的最小值为－2. 强化技巧8： 二次函数图象的轴对称变换 6.在平面直角坐标系中，先将抛物线y＝x2＋x－2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为( ) A.y＝－x2－x＋2 B.y＝－x2＋x－2 C.y＝－x2＋x＋2 D.y＝x2＋x＋2 7.抛物线y＝－2(x＋3)2与抛物线 关于x轴对称；抛物线y＝－2(x＋3)2与抛物线 关于y轴对称. 强化技巧9： 二次函数图象的旋转变换 8.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x＋3绕着它与y轴的交点旋转180°，所得抛物线的解析式是( ) A.y＝－(x＋1)2＋2 B.y＝－(x－1)2＋4 C.y＝－(x－1)2＋2 D.y＝－(x＋1)2＋4 9.抛物线y＝(x－1)2－5先向左、向上均平移2个单位后，再绕顶点旋转180°，得到新的图象对应的函数表达式为 . 强化技巧10 抛物线中的动点问题 10.如图，已知直线AB经过x轴上的点A(2,0)，且与抛物线y＝ax2相交于B、C两点，已知点B的坐标为(1,1). (1)分别求直线的表达式和抛物线的表达式； (2)若D为抛物线上的一点，且△OAD与△OBC的面积相等，求点D的坐标. 解：(1)yAB＝－x＋2，y＝x2； (2)D(－eq \r(3)，3)或(eq \r(3)，3). 11.已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)三点，直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的函数关系式； 解：将A(－1,0)、B(3,0)、C(0,3)代入抛物线 y＝ax2＋bx＋c中， 可得抛物线的解析式：y＝－x2＋2x＋3； (2)求抛物线的顶点坐标； (3)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标. 解：(2)顶点(1,4)； (3)连接BC，直线BC与直线l的交点为P.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3,0)、C(0,3)代入上式，可得直线BC的函数关系式y＝－x＋3.当x＝1时，y＝2，即P的坐标(1,2). 12.在平面直角坐标系中，直线y＝x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＜0)经过点A、B. (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)当x＜0时，若y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围； (3)如图，当a＝－1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由. 解：(1)由题意得A(－2,0)、B(0,2).∵y＝ax2＋bx＋c经过点A、B，∴4a－2b＋c＝0，c＝2，∴4a－2b＋2＝0，即b＝2a＋1； (2)由题意可得－eq \f(b,2a)≥0，即－eq \f(2a＋1,2a)≥0.∵a＜0，∴2a＋1≥0，∴a≥－eq \f(1,2)，∴－eq \f(1,2)≤a＜0；　 (3)存在.由(1)可知当a＝－1时，b＝－1.∴y＝－x2－x＋2.设P(t，－t2－t＋2)，过点P作PE⊥x轴，交直线AB于点E，则E(t，t＋2).S△PAB＝eq \f(1,2)PE·|xA－xB|＝eq \f(1,2)|－t2－2t|·2＝|t2＋2t|，∵S△PAB＝1，∴|t2＋2t|＝1.当t2＋2t＝－1时，解得t＝－1，此时点P的坐标为(－1,2)；当t2＋2t＝1时，解得t1＝eq \r(2)－1，t2＝－eq \r(2)－1，此时点P的坐标为(eq \r(2)－1，eq \r(2))、(－eq \r(2)－1，－eq \r(2)).综上所述，点P的坐标为(－1,2)、(eq \r(2)－1，eq \r(2))、(－eq \r(2)－1，－eq \r(2)). 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(兰州中考)下列函数解析式中，一定为二次函数的是(　　) A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋eq \f(1,x2) 2．(岳阳中考)抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(　　) A．(－2,5) B．(－2，－5) C．(2,5) D．(2，－5) 3．在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是(　　) A．关于y轴对称，开口向上 B．关于y轴对称，y随x的增大而增大 C．关于y轴对称，y随x的增大而减小 D．关于y轴对称，顶点是原点 4．如果将抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是(　　) A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝x2＋1 D．y＝x2＋3 5．已知抛物线y＝ax2－2x＋1与x轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是(　　) A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 6．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … －3 －2 －1 0 1 … y … －3 －2 －3 －6 －11 … 则该函数图象的对称轴是(　　) A．x＝－3 B．x＝－2 C．x＝－1 D．x＝0 7．如图是有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是(　　) A．h＝m B．k＝n C．k＞n D．h＞0，k＞0 8．某烟花厂为春节烟火晚会特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h＝－eq \f(5,2)t2＋20t＋1.若这种礼炮点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为(　　) A．3s B．4s C．5s D．6s 9．二次函数y＝x2＋x＋c的图象与x轴的两个交点A(x1,0)、B(x2,0)，且x1＜x2，点P(m，n)是图象上一点，那么下列判断正确的是(　　) A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，x1＜m＜x2 D．当n＞0时，m＜x1 10．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，其对称轴为x＝－1，且过点(－3,0)．下列说法：①abc＜0；②2a－b＝0；③4a＋2b＋c＜0；④若(－5，y1)、(eq \f(5,2)，y2)是抛物线上两点，则y1＞y2.其中说法正确的是(　　) A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④ 11．当m＝ 时，抛物线y＝(m＋1)xm2＋m开口向下． 12．函数y＝－3(x＋1)2，当x 时，函数值y随x的增大而减小；当x 时，抛物线有最高点，是 ． 13．已知抛物线y＝x2－2bx＋4的顶点在y轴上，则b的值是 . 14．(百色中考)经过A(4,0)、B(－2,0)、C(0,3)三点的抛物线解析式是 　 　. 15．已知抛物线y＝x2－4x上有两点P1(3，y1)、P2(－eq \f(1,2)，y2)，则y1与y2的大小关系为：y1 y2(填“＞”“＜”或“＝”)． y＝－eq \f(3,8)x2＋eq \f(3,4)x＋3 16．(沈阳中考)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝ m时，矩形土地ABCD的面积最大． 17．抛物线的顶点是C(2，eq \r(3))，它与x轴交于A、B两点，它们的横坐标是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则AB＝ ，S△ABC＝　 　. 18．(德阳中考)已知函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－22－2x≤4,x－62－2x＞4))，使y＝a成立的x的值恰好只有3个时，a的值为 . eq \r(3) 三、解答题(共66分) 19．(8分)已知抛物线y＝－x2＋2x＋2. (1)该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标为 ； (2)选取适当的数据填入下表，并在如图的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象． 解：(2)图象略． 20．(8分)在平面直角坐标系中，二次函数图象的顶点为A(1，－9)，且过点B(－2,0)． (1)求该二次函数的解析式； (2)当－3＜x＜3变化时，函数值y的增减情况； (3)将抛物线怎样平移才能使它经过原点． 解：(1)y＝(x－1)2－9；　 (2)当－3＜x≤1时，y随x的增大而减小，当1＜x＜3时，y随x的增大而增大；　 (3)方法不唯一，设抛物线沿x轴平移m个单位，则y＝(x－1＋m)2－9，把(0,0)代入式中，求得m＝4或m＝－2，即抛物线向左平移4个单位长度或向右平移2个单位长度可使它过原点，同理可求上、下平移的情况，抛物线向上平移8个单位长度可使它过原点． 21．(8分)已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋k－1＝0有实数根，k为正整数． (1)求k的值； (2)当此方程有两个非零的整数根时，求关于x的二次函数y＝x2＋2x＋k－1的图象的对称轴和顶点坐标． 解：(1)∵Δ＝b2－4ac＝22－4(k－1)＝4－4k＋4＝8－4k≥0，∴4k≤8，∴k≤2.又∵k为正整数，故k＝1或2；　 (2)当k＝1时，原方程有一个根为零，故k＝2.此时二次函数为y＝x2＋2x＋1，对称轴为x＝－1，顶点坐标为(－1,0)． 22．(10分)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0)和B(3,0)两点，交y轴于点E. (1)求此抛物线的解析式； (2)若直线y＝x＋1与抛物线交于A、D两点，与y轴交于点F，连接DE，求△DEF的面积． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(－1,0)和B(3,0)两点，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0,9＋3b＋c＝0))，解得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(b＝－2,c＝－3))，故抛物线解析式为：y＝x2－2x－3；　 (2)根据题意得：eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(y＝x2－2x－3,y＝x＋1))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x1＝－1,y1＝0))，eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x2＝4,y2＝5))，∴D(4,5)，对于直线y＝x＋1，当x＝0时，y＝1，∴F(0,1)，对于y＝x2－2x－3，当x＝0时，y＝－3，∴E(0，－3)，∴EF＝4，过点D作DM⊥y轴于点M，∴S△DEF＝eq \f(1,2)EF·DM＝8. 23．(10分)(温州中考)如图，抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)交x轴正半轴于点A，直线y＝2x经过抛物线的顶点M.已知该抛物线的对称轴为直线x＝2，交x轴于点B. (1)求a、b的值； (2)P是第一象限内抛物线上的一点，且在对称轴的右侧，连接OP、BP.设点P的横坐标为m，△OBP的面积为S，设K＝eq \f(S,m).求K关于m的函数表达式及K的范围． 解：(1)将x＝2代入y＝2x，得y＝4，∴M(2,4)．由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)＝2,4a＋2b＝4))，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－1,b＝4))；　 (2)过点P作PH⊥x轴于点H.∵点P的横坐标为m，抛物线的表达式为y＝－x2＋4x，∴PH＝－m2＋4m.∵B(2,0)，∴OB＝2.∴S＝eq \f(1,2)OB·PH＝eq \f(1,2)×2×(－m2＋4m)＝－m2＋4m.∴K＝eq \f(S,m)＝－m＋4.易得A(4,0)，∵点P在抛物线对称轴右侧的第一象限，∴2＜m＜4.∵K随m的增大而减小，∴0＜K＜2. 24．(10分)如图所示的是一个抛物线形拱桥的示意图，桥的跨度AB为100米，支撑桥的是一些等间距的立柱，相邻立柱的水平距离为10米(不考虑立柱的粗细)，其中距A点10米处的立柱FE的高度为3.6米． (1)求正中间的立柱OC的高度； (2)是否存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半？请说明理由． 解：(1)根据题意可得中间立柱OC经过AB的中点O，如图所示，b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(502a＋c＝0,－402a＋c＝3.6))INCLUDEPICTURE"F132+.TIF" 以点O为原点，以AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系．问题转化为求点C的纵坐标．|OF|＝40米，故B(50,0)、E(－40,3.6)．设抛物线的解析式为y＝ax2＋c，∴，解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,250),c＝10))，∴y＝－eq \f(1,250)x2＋10，当x＝0时，y＝10.故正中间的立柱OC的高度是10米；　 (2)设存在一根立柱，其高度是OC高度的一半，即这根立柱的高度是5米，则有5＝－eq \f(1,250)x2＋10，解得x＝±25eq \r(2)，∵相邻立柱之间的距离为10米，最中间的立柱OC在y轴上，根据题意每根立柱上的点的横坐标为10的整数倍，∴x＝±25eq \r(2)与题意不符，∴不存在一根立柱，其高度恰好是OC高度的一半． 25．(12分)为满足市场需求，某超市在五月初五“端午节”来临前夕，购进一种品牌粽子，每盒进价是40元．超市规定每盒售价不得少于45元，根据以往销售经验发现：当售价定为每盒45元时，每天可卖出700盒，每盒售价每提高1元，每天要少卖出20盒． (1)试求出每天的销售量y(盒)与每盒售价x(元)之间的函数关系式； (2)当每盒售价定为多少元时，每天销售的利润P(元)最大？最大利润是多少？ (3)为稳定物价，有关管理部门限定：这种粽子的每盒售价不得高于58元．如果超市想要每天获得不低于6000元的利润，那么超市每天至少销售粽子多少盒？ 解：(1)由题意，得y＝700－20(x－45)＝－20x＋1600；　 (2)P＝(x－40)(－20x＋1600)＝－20x2＋2400x－64000＝－20(x－60)2＋8000，∵x≥45，a＝－20＜0，∴当x＝60时，P最大值＝8000元．故当每盒售价定为60元时，每天销售的利润P(元)最大，最大利润是8000元；　 (3)由题意，得－20(x－60)2＋8000＝6000，解得x1＝50，x2＝70.∵抛物线P＝－20(x－60)2＋8000的开口向下，∴当50≤x≤70时，每天销售粽子的利润不低于6000元的利润．又∵x≤58，∴50≤x≤58.∵在y＝－20x＋1600中，k＝－20＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝58时，y最小值＝－20×58＋1600＝440，故超市每天至少销售粽子440盒． $$