2.2.1 有理数的乘法（第1课时 有理数乘法法则）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学上册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

2.2.1 有理数的乘法 第一课时 有理数的乘法法则 人教版（2024）七年级数学上册 第二章 有理数的运算 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1.掌握有理数的乘法法则并能进行熟练地运算.(重点） 2.掌握多个有理数相乘的积的符号法则.（难点） 甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少？ 甲水库 第一天 乙水库 第二天 第三天 第四天 第一天 第二天 第三天 第四天 情景导入 1．计算：(1)(－5)＋(－5)＝ ； (2)(－5)＋(－5)＋(－5)＝ ； (3)(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＝ ； (4)(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＋(－5)＝ ． -10 -15 -20 -25 1.有理数的乘法 新知探究 2．猜想下列各式的值： (－5)×2＝ ；(－5)×3＝ ； (－5)×4＝ ；(－5)×5＝ ． 3．两个有理数相乘有几种情况？ 答：五种： 正数乘正数；负数乘负数；正数乘负数； 正数乘0；负数乘0. -10 -15 -20 -25 想一想 3×3＝9， 2×3＝6， 1×3＝3 ， 0×3＝0 思考：观察下面的乘法算式,你能发现什么规律吗? 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3． 要使这个规律在引入负数后仍成立,那么应有 3×(－1)= －3, 3×(－2)=　　　　, 3×(－3)=　　　　. －6 －9 两数相乘，异号为负， 并把绝对值相乘 思考：观察下面的算式，你又能发现什么规律？ 3×3=9， 2×3=6， 1×3=3， 0×3=0. 随着前一乘数逐次递减1，积逐次递减3. 要使规律在引入负数后仍成立，那么应有： (－1)×3=　　　,　 (－2)×3=　　　, (－3)×3=　　　. －3 －6 －9 两数相乘，异号为负， 并把绝对值相乘 思考：利用上述结论计算下面的算式，你又发现了什么规律? (－3)×3=　　　　, (－3)×2=　　　　, (－3)×1=　　　　, (－3)×0=　　　　. －9 －6 －3 0 随着后一乘数逐次减1，积逐次增加3 归纳如下： 正数乘正数，积为正数； 正数乘负数，积是负数； 负数乘正数，积也是负数. 积的绝对值等于各个乘数绝对值的积. 对于以上问题，以小组为单位从符号和绝对值两个角度进行观察总结归纳.你能得出正数乘正数、正数乘负数、负数乘正数的规律吗？ 概念归纳 按照上述的规律，并总结归纳. (－3)×(－1)=　　　　, (－3)×(－2)=　　　　, (－3)×(－3)=　　　　. 3 6 9 负数乘负数，积为正数，积的绝对值等于各乘数绝对值的积. 1.正数乘正数积为＿＿数;负数乘负数积为＿＿数; 2.负数乘正数积为＿＿数;正数乘负数积为＿＿数; 3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的＿＿. 正 正 负 负 积 (同号得正) (异号得负) 4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是 . 零 根据上面结果可知： 概念归纳 有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与0相乘，都得0. 如， (-5)×(-3)，………………同号两数相乘 (-5)×(-3)=+( ),………………得正 5×3=15, ……………… 把绝对值相乘 所以 (-5)X(-3)=15. 一 断 二 定 三 算 总结归纳 讨论: (1)若a＜0,b＞0,则ab 0 ; (2)若a＜0,b＜0,则ab 0 ; (3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？ (4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？ ＜ ＞ a、b同号 a、b异号 例1（新课本例题） 计算：(1)8×(-1)；(2)(-)×(-2)；(3)(-)×(-) 解：(1)8×(-1)=-(8×1)=-8； (2)(-)×(-2)=+(-×2)=1； (3)(-)×(-)=+()=. 异号得负 绝对值相乘 同号得正 再确定积的符号 后进行绝对值的乘法运算 先判断类型（同号、异号等） 运算步骤 典例剖析 16 例2 计算： (1)9×6 ； (2)(−9)×6 ； 解： (1) 9×6 (2) (−9)×6 = +(9×6) = −(9×6) = 54 ; = − 54; (3) 3×（-4） (4)（-3）×（-4） = 12; 有理数乘法的求解步骤: 先确定积的符号 再确定 积的绝对值 (3)3 ×（-4）； (4)（-3）×（-4） = −（3 ×4） = +（3×4） = −12; 典例剖析 1．填写下表： 被乘数 乘数 积的符号 绝对值 结果 –5 7 15 6 –30 –6 4 –25 – – + + –35 +90 +180 –100 35 90 180 100 练一练 2.计算： (1)(＋4)×(－5)； 【解】(＋4)×(－5)＝－(4×5)＝－20. (2)(－0.125)×(－8)； 【解】(－0.125)×(－8)＝0.125×8＝1. 练一练 (3) × ； 【解】 × ＝－ ＝－ . (4)(－0.25)× . 【解】(－0.25)× ＝0.25×8 ＝2.1. 3.计算： (1)0×(－13.52)； 【解】0×(－13.52)＝0. (2)－ × ； 【解】－ × ＝ × ＝ . 练一练 (3)1.24×(－25)； 【解】1.24×(－25)＝－1.24×25＝－31. (4)－｜－1.2｜× . 【解】－｜－1.2｜× ＝－ ＝－2. 判断下列各式的积是正的还是负的？ 2×3×4×（-5）　　　　 2×3×（-4）×（-5） 2×(-3)×(-4)×(-5) (-2)×(-3)×(-4)×(-5) 7.8×(-8.1)×0×(-19.6)　　　 负 正 负 正 零 思考：几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？ 有一因数为 0 时，积是多少？ 例3.计算： （1） （2） 解：（1）原式 （2）原式 多个有理数相乘时若存在带分数，要先将其画成假分数，然后再进行计算. 2.多个数相乘的符号法则的应用 新知探究 例4. 计算： （1）(−4)×5×(−0.25)； （2） 解：（1）(−4)×5 ×(−0.25) = [−(4×5)]×(−0.25) ＝＋(20×0.25) ＝5. ＝(−20)×(−0.25) 解题后的反思：连续两次使用乘法法则，计算起来比较麻烦. ＝ −1 . 如果我们把乘法法则推广到三个以上有理数相乘，只“一次性地”先定号，再绝对值相乘即可. （2） 25 概念归纳 几个不等于零的数相乘，积的符号由_____________决定. 当负因数有_____个时，积为负； 当负因数有_____个时，积为正. 要点归纳： 几个数相乘,如果其中有因数为0，_________ 负因数的个数 奇数 偶数 积等于0 ｝ 奇负偶正 计算并观察结果有何特点？ （1） ×2；　　　（2）(-0.25)×(-4) 要点:有理数中，乘积是1的两个数互为倒数. 思考：数a(a≠0)的倒数是什么? (a≠0时,a的倒数是 ) 3.倒数 新知探究 表示方法 符号 性质 特殊数0 倒数 相反数 互为倒数与互为相反数的区别 相同 积为1 没有倒数 a +(–a)=0 相异 和为0 相反数 是自己 5. 下列互为倒数的是(　A　) A. 3和 B. －2.5和－5.2 C. 3 和9 D. －2和 A 练一练 6.求下列各数的倒数. (1)－4； 【解】－4的倒数是－ . (2)－ ； 【解】－ 的倒数是－ . 练一练 (3)0.125； 【解】0.125的倒数是8. (4)1 ； 【解】1 的倒数是 . (5)－1. 【解】－1的倒数是－1. 练一练 求一个数的倒数的方法： 1. 求一个不为0的正数的倒数，就是将该整数作分母，1作分子； 2. 求一个真分数的倒数，就是将这个真分数的分母和分子交换位置； 3. 求一个带分数的倒数，先将该数化成假分数，再将其分子和分母的位置进行互换； 4. 求一个小数的倒数，先将该小数化为分数，再求其倒数 . 3.有理数的乘法的应用 新知探究 例2 用正负数表示气温的变化量，上升为正，下降为负.登山队攀登一座山峰，每登高1km气温的变化量为-6℃.登高3km后，气温有什么变化? 解：(-6)×3=-18. 答：登高3km后，气温下降18℃ . 7. 某公司去年第一季度平均每月盈利－3.2万元，问该公司去年第一季度总的盈利情况如何？ 【解】－3.2×3＝－9.6(万元). 答：该公司去年第一季度总盈利－9.6万元，即亏损 9.6万元. 练一练 8.气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少？ 解：（-6）×9=-54（℃）； 21+（-54）=-33（℃）. 答：甲地上空9km处的气温大约为-33℃. 练一练 1.计算： (1)6×(-9)； (2)(-4)×6； (3)(-6)×(-1)； 解:原式=-(6×9) =-54 解:原式=-(4×6) =-24 解:原式=+(6×1) =6 (4)(-6)×0； (5)(-4)×； (6)×(-)； 解:原式=0 解:原式=-(4×) =-1 解:原式=-(×) =- 新课本练习 36 2.商店降价销售某种商品，每件降5元，售出60件.与按原价销售同样数量的商品相比，销售额有什么变化？ 解:-5×60=-300(元) 答:销售额减少300元. 3.写出下列各数的倒数: 解:各数的倒数分别为 新课本练习 37 正 负 绝对值 0 A B 分层练习-基础 乘积是1 倒数 D C 分层练习-基础 分层练习-基础 C D 分层练习-巩固 B C 分层练习-巩固 B ±6 24 2 分层练习-巩固 解：原式＝－4； 解：原式＝－6； 解：原式＝0. 分层练习-巩固 解：原式＝－6； 分层练习-巩固 分层练习-拓展 20. [情境题·2024·湖州吴兴区月考·游戏活动型]佳佳有6张写 着不同数字的卡片：－3　＋2　0　－8　＋5　＋1，从中 任意抽取2张. (1)要使这2张卡片上的数字的积最大，应该如何抽？积是 多少？ 【解】抽卡片－8与－3，积最大是(－8)×(－3)＝24. 分层练习-拓展 (2)要使这2张卡片上的数字的积最小，应该如何抽？积又 是多少？ 【解】抽卡片－8与＋5，积最小是(－8)×(＋5)＝－40. 21. 我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学 习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考. (1)若 ab ＝6，则 a ＋ b 的结果可能是 ；(填序号) ①正数；②负数；③0. 点拨：因为 ab ＝6，所以 a ， b 同号.当 a ， b 同为正 数时， a ＋ b ＞0；当 a ， b 同为负数时， a ＋ b ＜0. ①②　 分层练习-拓展 因为 a ， b 为整数，所以当 a ＝－1， b ＝－4时， ab ＝4；当 a ＝－2， b ＝－3时， ab ＝6；当 a ＝－3， b ＝－2时， ab ＝6；当 a ＝－4， b ＝－1时， ab ＝4.所 以 ab 的最大值为6. 点拨：要使 ab 的值最大，则 a ， b 同号. 因为 a ＋ b ＝－5，所以 a ， b 同为负数. (2)若 a ＋ b ＝－5，且 a ， b 为整数，则 ab 的最大值 为 ⁠. 6　 课堂反馈 1 －1 课堂反馈 1.有理数乘法法则: 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0. 2.几个不是零的数相乘，负因数的个数为 奇数时积为负数 偶数时积为正数 课堂小结 3.几个数相乘若有因数为零则积为零. 4.有理数乘法的求解步骤： 有理数相乘，先确定积的符号，再确定积的绝对值. 5.乘积是1的两个数互为倒数. 课堂小结 2．下列运算结果正确的是(　 　) A．(－3)×(－2)＝－6 B．(－eq \f(7,2))×eq \f(2,7)＝－1 C．－5×(－eq \f(1,2))＝－eq \f(5,2) D．(－eq \f(2,3))×eq \f(3,4)＝eq \f(1,2) 知识点一：有理数的乘法法则 两数相乘，同号得 ，异号得 ，并将 相乘；任何数同0相乘，都得 . 1．计算：(－2)×3的结果是(　 　) A．－6　　　　 B．－1　　　　 C．1　　　　 D．6 知识点二：倒数的概念 的两个数互为倒数；0没有 ． 3．一个负数m的倒数是(　 　) A．－m B．m C．－eq \f(1,m) D．eq \f(1,m) 4．下列各组数是互为倒数的是(　 　) A.eq \f(1,4)与0.25 B．eq \f(1,4)与－4 C．0.1与10 D．a与eq \f(1,a) －eq \f(5,2) 解：(1)原式＝eq \f(1,6)；　(2)原式＝－3；　(3)原式＝－4；　(4)原式＝6. 5．－0.6的倒数是　 　；－eq \f(2,5)的倒数是　 　. 6．计算： (1)－eq \f(1,2)×(－eq \f(1,3)); (2)1.25×(－2eq \f(2,5))； (3)(－3eq \f(1,3))×(＋1eq \f(1,5)); (4)－|－3|×(－2)． －eq \f(5,3) 7．下列说法正确的是(　 　) A．若ab＞0，则a＞0，b＞0 B．若ab＝0，则a＝0，b＝0 C．若ab＞0，且a＋b＞0，则a＞0，b＞0 D．若a为任意有理数，则a(－a)＜0 8．与－3的乘积为1的数是(　 　) A．3　　 B．－3　　 C．eq \f(1,3)　　 D．－eq \f(1,3) 9．计算(－9)×[－(－eq \f(1,3))]的结果是(　 　) A．3 B．－3 C．27 D．－27 10．下列说法正确的是(　 　) A.eq \f(1,2)与－0.5互为倒数 B．eq \f(1,2)与－2互为倒数 C．0.25与4互为倒数 D．0的倒数是0 11．下列说法：①若a·b＞0，则a＞0，b＞0；②若a·b＜0，则a＜0，b＜0；③若a·b＝0，则a或b至少有一个为0；④若a·b＞0，且a＋b＜0，则a＜0，b＜0.其中正确的有(　 　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 12．－eq \f(3,2)的倒数的绝对值是　 　. 13．已知|x|＝2，|y|＝3，则xy＝ . 14．绝对值不大于4的所有负整数的积是 . 15．如图是一个简单的数值运算程序，当输入x的值为1时，则输出的数值为 . eq \x(输 入 x)→eq \x(×－1)→eq \x(＋3)→eq \x(输 出) eq \f(2,3) 16．计算： (1)2eq \f(1,4)×(－1eq \f(7,9))； (2)1eq \f(3,5)×(－3eq \f(3,4))； (3)(－2019)×0. 18．用正负数表示气温变化的量，上升为正，下降为负，登山队在山脚处测得温度为15℃，登山过程中测得每上升100米气温变化－0.6℃.已知山高1800米，求山顶的温度． 解：15＋eq \f(1800,100)×(－0.6)＝15－10.8＝4.2℃，即山顶的温度为4.2℃. 17．已知|a|＝3，|b|＝4，且a＋b＜0，求ab的值． 解：由题意得，a＝±3，b＝±4.因为a＋b＜0，所以a＝3，b＝－4，或a＝－3，b＝－4.所以ab＝3×(－4)＝－12，或ab＝－3×(－4)＝12. (2)由(1)可知，每3个数循环1次，2018÷3＝672…2,2020÷3＝673…1，所以a2018＝a2＝eq \f(2,3)，a2020＝a1＝－eq \f(1,2). 19．有若干个数，第1个记为a1，第2个记为a2，…，第n个记为an，若a1＝－eq \f(1,2)，从第2个数起，后面每一个数都等于1与它前面的那个数的差的倒数． (1)求a2、a3、a4的值； (2)猜想a2018和a2020的值． 解：(1)a2＝1÷[1－(－eq \f(1,2))]＝eq \f(2,3)，a3＝1÷(1－eq \f(2,3))＝3，a4＝1÷(1－3)＝－eq \f(1,2)；　 【规范解答】(1)原式＝0；(2)原式＝－(eq \f(2,3)×6)＝－4；(3)原式＝＋(eq \f(3,2)×eq \f(10,3)) ＝＋5. 【方法归纳】两数相乘，积的符号由两个乘数的符号确定：同号得正，异号得负． 会利用乘法法则进行有理数的乘法运算． 【例1】计算： (1)0×(－3)；(2)(－eq \f(2,3))×(＋6)；(3)(－eq \f(3,2))×(－3eq \f(1,3))． 【思路分析】根据有理数的乘法法则，先确定积的符号，再确定积的绝对值． －eq \f(2,3) 【思路分析】(1)因为1×1＝1，所以1的倒数是1；因为(－1)×(－1)＝1，所以－1的倒数是－1；(2)因为(－eq \f(4,5))×(－eq \f(5,4))＝1，所以－eq \f(4,5)的倒数是－eq \f(5,4)；因为－1eq \f(1,2)＝－eq \f(3,2)，而(－eq \f(3,2))×(－eq \f(2,3))＝1，所以－1eq \f(1,2)的倒数是－eq \f(2,3). 会求一个数的倒数． 【例2】(1)1的倒数是 ，－1的倒数是 ； (2)－eq \f(4,5)的倒数是　 　，－1eq \f(1,2)的倒数是　 　. －eq \f(5,4) 【方法归纳】(1)一个数的倒数的符号和它本身的符号相同；(2)整数的倒数是该整数分之一，真分数的倒数是颠倒该分数的分子和分母的位置得到的分数；求带分数的倒数时，应先把它化为假分数，再按照求真分数倒数的方法求；(3)倒数是它本身的数有两个，它们是±1；(4)0没有倒数. $$