2.2 等腰三角形 （教学课件）-2024-2025学年八年级数学上学期考试满分全攻略同步备课备考系列（浙教版）

八年级浙教版数学上册 第二章 特殊三角形 2.2 等腰三角形 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂反馈 分层练习 课堂小结 学习目标 1．了解等腰三角形的概念，掌握等腰三角形的轴对称性； 2．掌握等腰三角形顶角平分线所在的直线是它的对称轴， 会运用等腰三角形的概念和轴对称性解决简单的几何问题； 3．了解等边三角形的概念，知道等边三角形与等腰三角形 之间的关系. 情景导入 等腰三角形的应用在人们的生活中随处可见. 如埃及金字塔的四个面都呈等腰三角形的形状 生活中还有哪些例子？等腰三角形都具有什么特性呢？ 本节课我们就来探讨一下等腰三角形相关的概念与特性. 1.等腰三角形的概念 新知探究 在小学我们已经学过，有两边相等的三角形叫做等腰三角形. 如右图， 在△ABC中， AB=AC，ABC 是等腰三角形. A B C 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 1.如图，点D在AC上，AB=AC，AD=BD.你能在图中找到几个等腰三角形？分别说出每个等腰三角形的腰、底边和顶角. 做一做 A D C B 答：图中有两个等腰三角形△ABC，△ABD； △ABC的腰为AB、AC，底边为BC，顶角为∠A △ABD的腰为AD、BD，底边为AB，顶角为∠ADB 等腰三角形中， 相等的两边——腰， 两腰的夹角——顶角， 顶角所对的边——底边， 腰和底边的夹角——底角. 有两条边相等的三角形叫等腰三角形. A B C 顶角 底角 底角 腰 腰 底边 概念归纳 B C D E F G H M N A 练一练 1.请找出图中的所有等腰三角形. 五角星中有10个等腰三角形， 分别为△AGF、ΔBGH，ΔΗCI，ΔΙDJ，ΔJEF，ΔCGE，ΔΑHD，ΔΒΙΕ、ΔCJA，ΔDFB. 做一做 2.已知线段a，b（如图）.用直尺和圆规作等腰三角形ABC，使AB=AC=b，BC=a. 已知：线段a，b. 求作：△ABC，BC=a，AB=AC=b. a b 作法： (1)作线段BC=a， (2)以点B为圆心，半径长为b画弧；以点C为圆心，半径长为b画弧，交点为A，连接AB，AC； 即得到等腰三角形ABC. A B C 例1.求证：等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，CD，BE分别是腰AB，AC上的中线. 求作：BE=CD. D E A B C 课本例题 证明：∵ CD，BE分别是AB，AC上的中线（已知）， ∴ AD=AB， AE=AC （三角形中线的定义）， ∵ AB=AC（已知）， ∴ AD=AE， 又∵∠A=∠A（公共角）， ∴△ABE≌△ACD（SAS）， ∴ BE=CD（全等三角形的对应边相等）. D E A B C 课本例题 2.已知一等腰三角形三边分别为3x－2、 、4，试求x的值. 练一练 当3x-2= +1时，解得 x= 三边长分别为 因为4；所以x= 不合题意舍去. 当3x-2=4时，解得x = 2；三边长分别为4，2，4 因为4 +2> 4，所以x = 2符合题意 当 +1 = 4时，解得x = 6，三边长分别为16，4，4 因为4+4<16，所以x = 6 不合题意舍去 在透明纸上任意画一个等腰三角形ABC，画出它的顶角平分线AD，然后沿着AD所在的直线把△ABC对折，你有什么发现？由此你得出什么结论？ A B C D 直线AD两侧的图形能够完全重合. 等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴. 合作学习 2.等边三角形的概念 新知探究 思考：等腰三角形的边和底一定不能相等吗？ A B C A B C 三角形的腰和底可以相等，它叫做等边三角形也叫正三角形. 它的三边都相等，属于特殊类型的等腰三角形. 思考探究 等边三角形是对称图形吗？它有多少条对称轴？ A B C 三条 例 2.如图，在△ABC中，AB=AC，D，E分别是AB、AC上的点，且AD=AE.AP是△ABC的角平分线．点D，E关于AP对称吗？DE与BC有怎样的位置关系？请说明你的判断. E B P D C A 课本例题 解：点D和E关于AP对称，且DE∥BC. 理由如下： ∵AP是∠BAC的平分线，AB=AC， ∴当把图形沿直线AP对折时，线段AB与AC重合，线段AD与AE重合，即点B，C关于直线AP对称，点D，E也关于直线AP对称， ∴AP⊥DE，AP⊥BC（对称轴垂直平分连结两个对称点的线段）， ∴DE∥BC. E B P D C A 3.根据等腰三角形的特性求等腰三角形的周长. 新知探究 例3.已知等腰三角形ABC一腰上的中线BD将它的周长分成9和8两部分. 求：(1)等腰三角形的底边长. (2)三角形ABC的周长. (3)AB与BC的差. A D C B 解：∵D是AC边的中点，∴AD=DC=AB， ∵“AC边上的中线BD将它的周长分为9和8两部分”， ①当AB+AD=9，DC+BC=8时，3AD=9，AD=3. ∵AD=DC，∴BC=8-3=5， 又∵AB=AC=2AD=6，6+6＞5，∴腰为6时成立，此时BC=5. 已知等腰三角形ABC一腰上的中线BD将它的周长分成9和8两部分. 求：(1)等腰三角形的底边长. C A D B ②当AB+AD=8，DC+BC=9时，3AD=8，AD=. 此时AB=AC=，BC=9-=， ∵+＞，所以腰为时成立，此时底边BC=. 所以等腰三角形的底边长为5或. 已知等腰三角形ABC一腰上的中线BD将它的周长分成9和8两部分. 求：(1)等腰三角形的底边长. A D C B 已知等腰三角形ABC一腰上的中线BD将它的周长分成9和8两部分. 求：(2)三角形ABC的周长. (3)AB与BC的差. 当AB=6，BC=5时，AB－BC=1. 当AB=，BC=时，BC－AB=1. 解：由已知可知，△ABC的周长=9+8=17. A D C B 例4.已知等腰△ABC一腰上的中线BD将它的周长分成了15 cm和6 cm两部分，求等腰三角形底边BC的长. 典例剖析 解：设腰长AB=x cm，底边长BC=y cm. 由题意得， ∴等腰三角形的底边BC=1 cm. 则AD=DC= x cm， 解得， A D C B 随堂练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上，下列结论不正确的是（ ） A. BE = CE B. AD⊥BC C. AE = BE D. ΔBED≌ΔCED C 2.一个等腰三角形的两边长分别为2和5，则它的周长为 . 12 D 随堂练 A 随堂练 8 随堂练 随堂练 分层练习-基础 1.如图， D 是△ ABC 的 BC 边上一点， AB ＝ BC ， AC ＝ BD ＝ AD ，则图中的等腰三角形的个数是(　 　) A. 2 B. 3 C. 1 D. 0 B 2.一个等腰三角形的两边长分别为3和7，这个三角形的周长是(　C　) A. 10 B. 13 C. 17 D. 13或17 C 分层练习-基础 3.如图，在等腰三角形 ABC 中，点 D 是底边 BC 上一点，将 △ ABD 沿 AD 折叠，点 B 与点 C 重合，则下列结论不一定 成立的是(　A　) A. AD ＝ BD B. BD ＝ CD C. ∠1＝∠2 D. ∠ B ＝∠ C A 分层练习-基础 4.[2024·杭州月考]如图①，将一张直角梯形纸板( CD ∥ AB ， AB ⊥ AD )剪成3部分，恰好能拼成一个如图②所示的等腰三角形，若想知道Ⅰ号部分的周长，则只需测量线段(　B　) A. AE B. AD C. BE D. BC B 分层练习-基础 5. 如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， AD 平分∠ BAC ，请说 明△ DBC 是等腰三角形. 【解】∵ AD 平分∠ BAC ， ∴∠ BAD ＝∠ CAD . ∵ AB ＝ AC ， AD 为公共边， ∴△ ABD ≌△ ACD ( SAS )， ∴ DB ＝ DC ， ∴△ DBC 是等腰三角形. 分层练习-巩固 6.已知△ ABC 的三边 a ， b ， c 满足( a － b )2＋｜ b － c ｜＝ 0，则△ ABC 是(　C　) A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 以上都不对 C 7.等边三角形 ABC 的各边长如图所示，那么 y 的值为 ⁠. 3　 忽略分类讨论或未考虑三角形三边关系而造成错(漏)解 8.[2024·金华义乌市期中]在等腰三角形 ABC 中， AB 的长是 BC 的长的2倍，周长为40，则 AB 的长为(　A　) A. 16 B. 20 C. 16或20 D. 以上都不对 9.[2023·河北]四边形 ABCD 的边长如图所示，对角线 AC 的 长度随四边形形状的改变而变化.当△ ABC 为等腰三角形 时，对角线 AC 的长为(　B　) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B A 分层练习-巩固 10.[2024·湖州吴兴区模拟]如图，在△ ABC 中， AB ＝ AC ， F 是 BC 边上任意一点，过点 F 作 FD ⊥ AB 于点 D ， FE ⊥ AC 于点 E ，若 S△ ABC ＝40， FE ＋ FD ＝8，则 AB 的 长为(　A　) A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 A 分层练习-巩固 11.[ 2023·湖州节选]如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成四边形 ABCD ，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰直角三角形 ABE 和等腰直角三角形 BCF ，③和④分别是直角三角形 CDG 和直角三角形 DAH ，⑤是正方形 EFGH ，直角顶点 E ， F ， G ， H 分别在边 BF ， CG ， DH ， AE 上.若 EF ＝3 cm， AE ＋ FC ＝11 cm，则 BE 的长是 cm. 4　 分层练习-巩固 12.如图，已知线段 a ， b ，求作：以 a ， b 为边的等腰三角 形.(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 【解】如图，当 a 为腰， b 为底边时，△ ABC 即为所求 作；当 a 为底边， b 为腰时，△ EFG 即为所求作. 分层练习-巩固 13.[情境题 生活应用]小明准备用一段长30 m的篱笆围成一个三角形场地用来饲养家兔，已知第一条边长为 a m，由于受地势限制，第二条边长只能比第一条边长的2倍多2 m. (1)第三条边长为 m.(用含 a 的式子表示) (28－3 a )　 分层练习-巩固 (2)第一条边长可以为7 m吗？请说明理由. 【解】第一条边长不可以为7 m. 理由：当 a ＝7时，三边长分别为7 m，16 m，7 m. ∵7＋7＜16，∴不能构成三角形， ∴第一条边长不可以为7 m. (3)如果围成的三角形是等腰三角形，请求出 a 的值. 【解】需要分以下三种情况： 当 a ＝2 a ＋2时， a ＝－2＜0，不合题意； 当 a ＝28－3 a 时， a ＝7，由(2)可知不能构成三角形； 当2 a ＋2＝28－3 a 时， a ＝ ， 则该三角形的三边长分别为 m， m， m， ∵ ＋ ＞ ，∴能构成等腰三角形. 综上所述，如果围成的三角形是等腰三角形， a ＝ . 分层练习-巩固 14.[新视角 结论开放题]如图，在边长为4的正方形 ABCD 中，请画出以 A 为一个顶点，另外两个顶点在正方形 ABCD 的边上，且含边长为3的所有大小不同的等腰三角形.(要求：只画出示意图，并在所画等腰三角形长为3的边上标注数字3即可) 分层练习-拓展 【解】满足条件的所有图形如图所示. 分层练习-拓展 课堂反馈 轴对称 两边相等 等边三角形 相等 课堂反馈 根据等腰三角形的特性求等腰三角形的周长. 课堂小结 两腰相等 轴对称图形 顶角平分线所在直线就是对称轴 等腰 三角形 三边相等 轴对称图形；三条对称轴 等边三角形 3．如图，已知等边三角形ABC的周长是20，BM是AC边上的高，N为BC延长线上的一点，且CN＝CM，则BN的长为(　　) A．14 B．15 C．12 D．10 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB、DF⊥AC，垂足分别为E、F，则下列五个结论：(1)BD＝CD；(2)DE＝DF；(3)AD⊥BC；(4)BE＝CF；(5)∠B＝∠C.其中正确的个数有(　　) A．5个 B．4个 C．3个 D．1个 5．如图，∠AOB是一个钢架，且∠AOB＝10°，为了使钢架更加牢固，需在内部添加一些钢管EF、FG、GH……，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管 根． 6．如图，已知：AB＝AC，DB＝DC.试说明：∠3＝∠4. 解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BD＝CD，∴∠1＝∠2，∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠3＝∠4. 等腰三角形 1 有 的三角形叫做等腰三角形. (2)等腰三角形是 图形，顶角平分线所在的直线是它的对称轴.． 等边三角形 (1)三条边都相等的三角形是 ． (2)等边三角形的各角都 . (3)等边三角形是特殊的等腰三角形，有三条对称轴，具有等腰三角形的所有性质． 3.一个等腰三角形的周长为18cm，一边长为4cm，求其他边长． 【规范解答】当底边为4cm时，腰长为eq \f(18－4,2)＝7(cm)；当腰长为4cm时，底边长为18－2×4＝10(cm)，这时不能构成三角形，舍去，故其他边长分别为7cm、7cm. $$