第三单元分数乘法（三）教案-2023-2024学年五年级下册数学北师大版

教学设计 课程基本信息 学科 小学数学 年级 五年级 学期 秋季 课题 分数×分数 教科书 书 名：数学教材 出版社：北京师范大学出版社 单元（或主题）指导思想与理论依据 本次《分数乘法》单元整体设计的实践，主要围绕着两条主线展开，一是“运算一致性”，是对教学重难点的本质思考；二是“学生的自主规划学习”，是对大单元背景下学习方式的新尝试。这与新课程背景下观念统领的单元教学方式和核心素养视角下对学会学习的重视是密不可分的。 1.观念统领 “观念统领”的单元教学是指教师在明确单元大观念，并在大观念的指导下从单元角度设计课时教学。这样的教学方式有助于学生将知识有机地联系起来，逐步领悟知识背后蕴含的数学思想方法，并将其迁移应用于新的情境中，以促进他们的意义理解和自主迁移。 发展学生的核心素养需要单元整体设计学习活动，而大观念的提炼为我们整体设计教学提供了依据。张丹老师在《用“结构”的力量促进学生的理解和迁移 》一文中指出：“数的运算”的五条大观念：①四则运算分别是具有共同特点的实际情境的抽象。②利用数的意义和联系、运算的意义和联系等可以寻求合理的运算方法。③寻找通法是很重要的，“标准算法”基于对数位和计数单位个数的理解。④四则运算之间存在着联系，运算的道理是一致的。⑤以上过程中发展了运算能力和推理能力。 这五项“大观念”对于我们进行运算单元的整体教学都有深刻的指导意义，因此也是《分数乘法》单元整体设计的准则。这样的大观念既可以作为教师单元学习的“暗线”，指导教师的单元设计与单元教学，同时也可以作为引导学生学习的“明线”，让学生在单元学习中明确单元内容“有什么”，自己“在哪里”，将要“去哪里”。 2.学会学习 《课程标准（2011年版）》指出“不同的人在数学上得到不同的发展”应注重学生自主发展。学生总要经历一个由“被动”到“主动”的转化过程，这需要我们采取恰当的教学手段和措施，从呵护、引领到放手、开放，使学生从逐步“学会”到自己“会学”，真正成为自己学习的主人。为此，在了解《分数乘法》单元主要内容、与前后知识的联系的基础上，在对五年级学生认知特点、学习特点进行调研的基础上，我们尝试将这一单元的学习内容与路径的设计真正下放给学生，让学生亲自参与到学习路径的自主规划中来，结合已有的运算单元的学习经验，积极探讨本单元应该“学什么”、“怎样学”，变被动学习为主动建构。 单元（或主题）教学背景分析 一、架构单元主题分析 “分数乘法”隶属“数与代数”领域之“数与运算”，在“数的运算”的教学过程中重点发展学生的运算能力，本单元侧重让学生经历在寻求分数乘法运算一致性的过程中发展运算能力。而运算能力的提升途径是多样的，借助几何直观探索算法、理解算理，寻求最佳计算路径，梳理不同运算之间的关系等方式都有助于运算能力的提升。 但把“追求运算一致性”作为单元的核心线索，既不失“应有之意”，又有助于学生“高站位”地将碎片化的算理、算法进行结构化的建构。所以，在寻求运算一致性的过程中既能促进对算理、算法的更好理解；又能促使学生结构化的想问题；还能促使学生将来面对其他新对象（如分式运算、复数运算等）的运算时，能将已有的运算思维进行迁移。 史宁中教授在《小学数学课程的变化——对教学的启示》报告中指出：在数与代数领域要关注整体性与一致性。而关于体会数的运算本质上的一致性也将体现在即将颁发的课标中，于是我思考：什么是“运算一致性”？为什么要提“运算一致性”？怎么体现“运算一致性”？ 思考问题1：什么是“运算一致性”？ 运算的一致性首先体现在四则运算的意义及其关系在整数、小数、分数的运算中具有一致性。运算意义的一致性、算理、算法的一致性、运算顺序的一致性是运算一致性的三个重要方面，具体阐述如下： 1.运算意义的一致性 在分数乘法的学习中，主要的进阶体现在从对“几个几”的乘法意义提升到“几个几分之几”的理解，从求一个数的几倍到求一个数的几分之几的理解。同时将已有的关于乘法意义的学习，迁移到分数乘法的学习中。 2.算理、算法的一致性 史教授在《基于核心素养的小学数学课堂》报告中指出探索算法、理解算理，在实现运算一致性的过程中促进培养学生的运算能力。感悟算理和算法的一致性，重点指向学生理解算理、选择合理简洁的运算策略解决问题等。乘法运算的一致性指整数乘法、小数乘法和分数乘法的算法和算理是一致的。 如整数乘法20×30的计算中，可以看做是（2×3）个100，同理，在小数乘法0.2×0.3可以看作是（2×3）个0.01，分数乘法相当于是（3×1）个。 整数乘法、小数乘法、分数乘法在运算的过程中，都可以认为是在计算新的计数单位和计数单位的个数。 3.运算顺序的一致性 聚焦运算内部，《课标》中提出 “能进行小数、分数四则运算和混合运算，感悟一致性”，其重点是小数、分数在乘法或除法中运算的一致性，以及混合运算的顺序在整数、小数、分数中也保持一致。 思考问题2：为什么提“运算一致性”？ 1.从教材的学习方向来看 【单元内】在研究分数×整数时，学生会出现画图、加法等几种典型方法，随后引导统一成“分子与整数相乘，分母不变”，让学生意识到表示2个，根据意义出发这种算法其实就在求有“几（3×2）个”。然而到分数×分数时，并没有承接让学生继续思考“几个几分之几”，而是通过画图去理解“分子×分子，分母×分母”，可学生会思考探索“分数×整数”的方法能不能继续用？怎么就出现了这种思考方法呢？此时学生思维方式的链条出现了不一致。 【跨单元】在之前学习小数乘法时，引导学生把小数乘法转化成整数乘法，如计算0.3×0.2，0.3×10=3,0.2×10=2，3×2=6，6÷（10×10）=0.06。但到分数乘法时并没有迁移“转化成整数”这一思路，如，其实它也可以变成整数，，,3×3=9,9÷（4×5）=。其实这种方法就是典型的“分子×分子，分母×分母”。 于是学生会纠结：为什么不转化成整数了呢？为什么要从分数的意义，借助直观进行思考？而如果分数是从意义出发，那小数为什么不从意义出发呢？其实它也是可以的，如0.3×0.2，可以理解为把0.3平均分成10份，也就是0.03，再取2份，就是0.06。 2.从日常教学行为来看 反思以往的学习路径，我们的教学大多是带着学生按部就班地学习乘法，学生几乎没有经历过站在“通性通法”的高度上思考整个单元的学习。之前我们给学生树立了“就一题议一题”的习惯，他们并无方向性，只需要解决问题即可。这样的学习路径给学生的自主探究带来很大的挑战，成了学生学习的难点，他们不清晰自己思维的方向在哪里。 3.从学生的需求和解决问题思维的可迁移性来看 就分数乘法单元如何开展学习，我在学生调研中通过访谈的形式和学生交流： 调研题目：关于“分数乘法”单元的学习，你想要研究哪些内容？打算怎样研究？ 调研人数：42人 调研结果： 调研发现：学生想研究的内容涵盖了这一单元的主要学习内容，其中所有学生都提到“怎么计算分数×分数呢？”，他们所说的怎么计算其实就是寻找一般方法，而不是计算具体的某一个算式。由此可见，对于通法的追求其实也是学生的诉求。 在数与运算的学习中，单个知识点、零散、碎片化的学习知识是无结构、无系统、无逻辑的，只有实现了运算的一致性，在新的情境下解决问题时，学生才能更好地建立联系，准确地提取知识并应用。 如果把分数乘法转化成整数乘法，或者利用乘法意义解决小数乘法，感悟同一运算不同数域算理算法的一致性，利于学生迁移运算经验，减少因算理或算法的不一致造成的理解上的障碍，让学生的认知更加顺畅。把握运算的一致性，有利于学生理解和整体把握运算的意义、运算间的关系，发展学生的运算能力和推理意识。 如何改变这一现状，在学生学习中体现出运算一致性呢？ 思考问题3：怎么体现“运算一致性”？ 我认为，从根本上想问题，就是要实现两个逻辑线索：一是想到解决分数乘法的一般方法，二是在探寻一般方法的过程中感悟在计算体系中，计算的实质是关于确定计数单位和计数单位个数的运算。 二、确定学习主题及具体观念 以上思考和分析带给我两点启发： ①在单元教学中应该发展学生自主学习的能力。且学生对自我导航学习方式的渴望，结合教师要选择合适内容培养学生学会学习能力的目标，分数乘法单元成为了很好的载体。所以本单元我要通过引导学生规划，让学生意识到需要寻找一般方法，以探索一般方法为主线，促进学生的自主学习。 ②在自主导航学习中，应以探寻一般方法为主线，感悟运算一致性，以此帮助学生更好地理解算理，体会联系性，并在联系中学会思考。 基于此生成了本单元的学习主题：自主规划单元学习 体悟运算一致性之美。并结合张丹老师在《用“结构”的力量促进学生的理解和迁移 》一文中指出：“数的运算”的五条大观念，确定了本单元分数乘法的具体观念： 观念一：利用分数的意义和联系、乘法的意义和联系等可以寻求合理的分数乘法运算方法。 观念二：寻找分数乘法的通法是很重要的，“标准算法”基于对单位和计数单位个数的理解。 观念三：整数乘法、小数乘法与分数乘法之间存在着联系，其运算的道理是一致的。 观念四：在自主规划寻求乘法一致性的过程中发展了运算能力和推理能力。 为了让大观念落地，对本单元进行了整体架构： 单元（或主题）教学目标 基于“数的运算”的大观念与单元主题整体架构，将大观念具化为分数乘法单元的4大观念，进而细化制定了“自主规划，学会学习；寻找一般算法，学会说理有据；反思新旧联系，理解运算一致。”3个单元学习总目标，并从 TUKE 角度（即包括迁移、理解、知能与情感）设计本单元4维教学分目标。其具体表述如下： T(迁移目标)：回顾迁移整、小乘法学习的经验，自主规划分数乘法单元的学习内容、学习素材和学习路径，在交流讨论、反思调整中提升自主规划能力；在自我导航下利用分数的意义和乘法的意义迁移探寻分数乘整数的通法；并进一步迁移积累的思考通法的经验，借助直观图探索分数乘分数的通法，进而促进对乘法算理算法一致性的感悟；在规划调整过程中自主迁移整数乘法意义，借助直观图理解乘法意义的一致性。 U（理解目标）：在自主规划过程中不断生发新问题，经历分数乘法一般方法的探索过程，在探索中理解分数乘法的意义、算理和算法， K（知能目标）：能用图示、举实例的方法说明和解释分数乘法的意义。能正确、熟练地进行分数乘法计算，解决与分数乘法相关的简单实际问题。 E(情感目标)：在自主规划不断细化与调整中，充分感受自主、持续且完整思考带来的愉悦感。在寻求分数乘法一般方法的过程中，体会说理有据、迁移反思促使理解乘法一致性的价值。 将单元整体教学分目标落实到具体课时活动之中，形成5个课时活动的具体教学目标设计，保证教学目标的自上而下的整体关联性与自下而上的螺旋达成性。 教学重难点 教学重点： 基于对分数乘法一般方法主问题的思考，通过迁移前期积累的分数乘整数通法的想法，能借助直观图，探寻并理解计算方法与分数单位及分数单位个数的关系,积累寻找乘法通法的研究经验。 教学难点：在自主规划寻求分数乘分数一般方法的过程中，体会说理有据、迁移反思促使理解分数乘法的一致性。 教学过程 学习活动1：选择素材，制定研究思路 1.回顾历程，细化目标 回忆“分数乘法”单元前面的学习，我们都经历了哪些学习？下面通过一个小视频一起来回顾一下，看看你能不能想起之前学习过程中的一些问题、思考或初步的研究成果。（播放小视频）沿着大家规划的路接着思考的话，这节课的学习目标是什么呢？ 预设：找到一种计算方法，它能解决任意一个分数×分数的算式。 达成一致：要找到分数×分数的一般方法，这种方法既得通用，还得简便。 2.选择素材，制定路径 想要研究，首先得有素材。对于素材，课前同学们结合下面两个问题进行了初步的思考： 预学单 （1）素材：寻找哪些具有代表性的算式有助于我们找到分数乘分数的一般方法？ （2）顺序：针对你写的这些算式，想一想，你选择从哪个算式开始研究呢？ 写一写你这样选择的理由是什么。 学生分享写的算式及背后的想法： 预设1：我选了这样4个算式，第一个算式，，这个算式它的分子都是1，所以这个算式应该是分数乘法里面相对来讲比较好算的。第二个算式，，分母没变的真分数乘真分数，但这次分子不是1。不过，还得看看，分子和分母都变了，这种方法还能不能用。我觉得如果这个办法可以的话，最后看看假分数的算式，如果假分数也是可以的话，那就说明这个方法肯定是通用的，也是简便的。 预设2：我有一个不同意的，我认为不需要。这个式子也是真分数乘真分数。 小结：看似他俩对于处理上略有点不同，第一位同学的方法和研究思路是小步小步地往前走，而第二位同学稍微调整了一点点，但他俩的思考有共同之处，都想从分数单位×分数单位、真分数×真分数、假分数×假分数这样的三类算式开始研究，大家同意吗？ 预设3：（群体）同意。 小结：我发现你们不仅有了素材，关键每个素材还都精心设计，而且你们在设计的过程中都想着“怎么才能找到一般方法，目前找到的这个确定是一般方法吗？不断地去验证。大家都想让自己的思考越来越走向深入，为你们点赞。接下来要开始研究，你们打算从简单的开始研究，下面为了交流的方便，我们就选，可以吗？ 通过交流达成共识：从简单的分数单位×分数单位入手研究，为了交流方便，聚焦开始研究。 学习活动2：借助直观，寻找“崭新”单位 1.引导学生独立思考：可以画一画、算一算或者写一写说明你的想法。 请你借助画图的方法想办法说明是多少。可以结合下面两个问题进行思考。 （1）表示的是什么意思？ （2）怎么用算式记录分、取的过程？ 2.组织全班分享交流：在说的过程中不仅要说清楚怎么计算，更要把计算方法背后的想法说明白。 分享交流： 预设1：表示的，我用一个长方形表示整体1，先平均分成4份，其中的1份就是，再把这1份平均分成5份，然后取其中的1份，就是。有人为我补充吗？ 预设2：我建议可以在分第二次的时候把横着的线画通，这样可以直观地看出是几分之一，它里面有几个格子。 追问1：表达真清晰，那这1份到底是多少？怎么看出这1份是？ 预设3：先竖着分成了4份，再把每份又分成了5份，所以一共分成了4×5=20（份）。 追问2：把刚刚同学们分的过程用算式表达出来的话，应该怎么写？ （1）结合大家通过画图分、取的过程，引导学生写出计算过程。 （2）结合刚刚的研究过程，思考你有什么发现？ 预设1：我们把一个整体先平均分成4份取其中的1份，后又把那1份平均分成了5份，取其中的1份。所以发现计算时只要用分母×分母就能算出来。 预设2：我发现和是分数单位，也是一个分数单位，两个分数单位相乘得到的还是一个分数单位，并且得到的这个分数单位比原来的两个分数单位都小，因为原来的分数单位又被细分了。 结合学生的发现进行阶段性小结：两个分数单位相乘，结果还是分数单位，而且这个新的分数单位就是由原来两个分数的分母相乘得到的。 学习活动3：联想抽象，明晰乘法“算理” 老师提出挑战性任务：带着刚刚研究得到的一些启发，从出发，由此联想，你能想到解决哪些算式？你可以画一画或者写一写，表示出你的想法。 学生在独立思考的基础上围绕以下三个问题在小组进行初步交流： 1.你想解决哪个算式，你怎么想到要解决它呢？ 2.在介绍算式时不仅要说你是怎么算的？关键要说出你背后的想法？为什么这么算？ 3.思考刚刚研究出的，到底为你解决它提供了哪些帮助？ 经过同伴的互相启发，小组分享想法。 第一次联想：分母没变，只改变分子的分数相乘，如。 预设1：借助画图说明 我们组选择的是。先画一个长方形，把它平均分成4份，取其中的3份，也就是，然后把这个平均分成5份，再取其中的3份，就是的结果，1份是，一共9份，所以是。我们的方法是分母乘分母，分子乘分子。 追问1：通过画图确实让我们知道了的结果是，刚刚研究出的，到底为你解决提供了什么帮助？ 预设2：它们都是，那么都可以表示为先把整个长方形平均分成4份，取其中1份或3份。再把取出来的平均分成5份，取其中的1份或3份，它们都是先分了4份，再分了5份。所以它们的分数单位应该是一样的，只不过取的份数不一样。 追问2：看来要解决关键要看什么？怎么确定这1份是多少，有几个这样的1份呢？ 预设3：关键看是多少，因为它就是的分数单位，至于有几个单位，就看分子。 组2：借助单位说明 追问：每一步的依据是什么？ 预设4：第一步，是3个，是3个；第二步，我们知道乘法几个几可以化成几乘几，所以可以写成和；第三步，用乘法交换律把整数放一起，把分数放一起；第四步，之前算过是，所以就是9×，也就是9个，就是。 在分享交流的过程中感悟其实解决的是新的分数单位是几的问题，进而感受寻找一般方法的依据是分数的意义和乘法运算律。 继续发起挑战：从再出发，借助解决的经验，你还能联想解决哪些算式？ 第二次联想：假分数×假分数，如。 预设1：从单位角度解释： 我觉得图好像不能画了，我的方法跟刚才那位同学一样，是5个，是7个。然后用乘法交换律和结合算出来是35个，也就是。 学生虽然主动从单位的角度进行了探索，但对感觉“画不出来的图”仍然心存念想，于是为了突破学习的卡点，引导思考。 追问1：想一想，画不出来的关键卡在哪儿？ 预设2：假分数怎么表示呢？ 预设3：可以画，把想成5个，先画“1”，平均分成3份，取出3个，再多画出2个，也就是，把平均分成6份，都取完，再多画出1个，也就取了7个。 追问2：但图是画出来了，在哪儿呢？这1份是多少，到底怎么看呢？ 预设4：我觉得1份是多少得看整体“1”，先横着分了3份，再竖着分了6份，一共分了18份，所以1份是，最后取了5×7=35份。 回顾反思：教师带领学生完整回忆整个研究的过程，并引发对于算法本质的思考： 追问：回头看，你们的“胆子”越来越大，由刚开始想到要解决分母没发生变化的真分数×真分数，到貌似“完全不搭边”的假分数×假分数。在这一连串的算式解决过程中，你觉得虽然算式不同，但相同的思考点是什么？谁帮我们找单位呢？个数又怎么找呢？ 预设：在计算时，都在思考新的分数单位是几，有几个这样的分数单位。并且“分母×分母”其实算的是产生的新的分数单位是多少，“分子×分子”则算出了有几个这样的分数单位。 学科网（北京）股份有限公司 $$