第二章 一元二次函数、方程和不等式单元检测-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元检测） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若y1＝3x2－x＋1，y2＝2x2＋x－1，则y1与y2的大小关系是(　　) A.y1＜y2 B.y1＝y2 C.y1＞y2 D.随x值变化而变化 2.若a，b，c∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是(　　) A.ac＞bc B.(a－b)c2＞0 C.＜ D.－2a＜－2b 3.当x≥3时，x＋的最小值为(　　) A.5 B.4 C. D. 4.下列选项中，使不等式x＜＜x2成立的x的取值范围是(　　) A.{x|x＜－1} B.{x|－1＜x＜0} C.{x|0＜x＜1} D.{x|x＞1} 5.若集合A＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}，B＝{x|x∈N*，x≤5}，则A∩B等于(　　) A.{1，2，3} B.{1，2} C.{4，5} D.{1，2，3，4，5} 6.已知不等式x2－2x－3＜0的解集为A，不等式x2＋x－6＜0的解集为B，不等式x2＋ax＋b＜0的解集为A∩B，那么a＋b＝(　　) A.3 B.1 C.－1 D.－3 7.已知正数x，y满足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是(　　) A. B.3 C. D.1 8.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为(　　) A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9.已知实数a，b，下列不等式一定正确的有(　　) A.≥ B.a＋≥2 C.≥2 D.2(a2＋b2)≥(a＋b)2 10.对于给定的实数a，不等式ax2＋(a－1)x－1＜0的解集可能是(　　) A. B.{x|x≠－1} C.{x|x＜－1} D.R 11.小王从甲地到乙地往返的速度分别为a和b(a<b)，其全程的平均速度为v，则(　　) A.a<v< B.v＝ C.<v< D.v＝ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中横线上． 12.要使有意义，则x的取值范围为________ 13.如果a＞b，ab＜0，那么与的大小关系是________ 14.若关于x的不等式x2－2x≤4－a在R上的解集为，则实数a的取值范围是　　　　 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（13分）已知一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|1＜x＜5}，求不等式cx2－bx－3a＜0的解集． 16.（16分）已知y＝(x＞－2)． (1)求的取值范围；(2)当x为何值时，y取得最大值？ 17.（16分）解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a＜0)． 18.（16分）某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0＜x＜1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量． (1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式； (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？ 19.（16分）已知关于x的方程x2－2(m＋2)x＋m2－1＝0． (1)m为何实数时，方程有两正实数根？ (2)m为何实数时，方程有一个正实数根、一个负实数根？ 参考答案及解析： 一、选择题 1.C　解析：y1－y2＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x－1)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0，所以y1＞y2．故选C． 2.D 解析：因为a，b，c∈R且a＞b，所以取c＝0，可排除A，B；取a＝1，b＝－1，可排除C．由不等式的性质知当a＞b时，－2a＜－2b，故D正确．故选D． 3.A　解析：x＋＝x－1＋＋1，令t＝x－1，∵x≥3，所以t≥2，所以原式y＝t＋＋1≥5，当且仅当t＝2时，等号成立，所以x＋ ≥5．故选A． 4.A　解析：取x＝－2，知符合x＜＜x2，即－2是此不等式的解集中的一个元素，所以可排除选项B，C，D． 5.B　解析：(2x＋1)(x－3)<0，∴－<x<3，又x∈N*且x≤5，则x＝1，2．故选B． 6.D　解析：由题意得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|－3＜x＜2}，则A∩B＝{x|－1＜x＜2}，由根与系数的关系可知－1和2是方程x2＋ax＋b＝0的两根，所以解得故a＋b＝－3． 7.B　解析：由题意得y＝，∴2x＋y＝2x＋＝＝≥3，当且仅当x＝y＝1时，等号成立． 8.C　解析：设销售价定为每件x元，利润为y元，则y＝(x－8)[100－10(x－10)]， 依题意有，(x－8)[100－10(x－10)]＞320，即x2－28x＋192＜0， 解得12＜x＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间．故选C． 二、选择题 9.CD　 解析：当a＜0，b＜0时，≥不成立；当a＜0，时，a＋≥2不成立；因为≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD． 10.AB　 解析：当a＝0时，不等式可化为－x－1＜0，解得x＞－1，当a≠0时，原不等式可化为a(x＋1)＜0，当a＞0时，解得－1＜x＜，当－1＜a＜0时，解得x＜或x＞－1，当a＝－1时，解得x≠－1，当a＜－1时，解得x＞或x＜－1．故选AB． 11.AD　解析：设甲、乙两地之间的距离为s，则全程所需的时间为＋，∴v＝＝． 由于b>a>0，由基本不等式可得<，∴v＝<＝． 另一方面，v＝<＝，v－a＝－a＝>>0，∴v>a， 故a<v<，故选AD． 三、填空题 12.答案：－7<x<1　 解析：要使有意义，则7－6x－x2>0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1． 13.答案：＞　 解析：－＝＞0，所以＞． 14.答案：a＞5　 解析：不等式x2－2x≤4－a，即(x－1)2≤5－a．因为(x－1)2≥0，要使不等式在R上的解集为，所以5－a＜0，即a＞5． 四、解答题 15.解：∵ax2＋bx＋c>0的解集是{x|1＜x＜5}， ∴方程ax2＋bx＋c＝0的解是1和5，且a<0， 由根与系数的关系可得：解得b＝－6a，c＝5a， ∴不等式cx2－bx－3a＜0变形为ax2＋2ax－3a＜0，即x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3， 故原不等式的解集是{x|x＞1或x＜－3}． 16.解：(1)设x＋2＝t，则x＝t－2，t＞0(x＞－2)． 故＝＝＝＝t＋－3≥2－3， ∴≥2－3． (2)由题意知y＞0，故欲使y最大，必有最小， 此时t＝，t＝，x＝－2，y＝＝， ∴当x＝－2时，y最大，最大值为． 17.解：原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0． 因为a＜0，所以(x＋1)≤0． 当－2＜a＜0时，≤x≤－1； 当a＝－2时，x＝－1； 当a＜－2时，－1≤x≤． 综上所述，当－2＜a＜0时，解集为； 当a＝－2时，原不等式的解集为{x|x＝－1}； 当a＜－2时，原不等式的解集为． 18.解：(1)由题意，得y＝[1.2×(1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1 000×(1＋0.6x) (0＜x＜1)， 整理得y＝－60x2＋20x＋200(0＜x＜1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， 当且仅当即 解不等式组，得0＜x＜． 所以为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x的范围为． 19.解：（方法一）(1)由已知得 解得－≤m＜－1或m＞1． (2)由已知得解得－1＜m＜1． （方法二）(1)设y＝x2－2(m＋2)x＋m2－1， 因为方程有两正实数根，所以函数图象如图所示， 则应满足解得－≤m＜－1或m＞1． (2)因为方程有一正实数根、一负实数根，则函数图象如图所示． 当x＝0时，y＝m2－1， 由题意知m2－1＜0，解得－1＜m＜1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$