3.1 函数的概念及其表示【练习：7大题组】--【课堂助手】2024-2025学年高一数学讲与练（人教A版·必修一）

3.1 函数的概念及其表示（练习） 内容概览 题组01：函数的表示方法 1 题组02：函数的定义 3 题组03：函数的定义域 5 题组04：函数的值域 8 题组05：函数的解析式 11 题组06：相等函数 15 题组07：分段函数 16 题组训练 题组01：函数的表示方法 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 2．（24·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A．B． C． D． 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 5．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 6．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 7．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 题组02：函数的定义 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 2．（15-16高三上·福建莆田·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 5．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 8．（23-24高一上·广东广州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意实数，，都有，且，直接写出的所有零点为 . 9．（23-24高一上·四川绵阳·期末）若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 10．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 题组03：函数的定义域 1．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 5．（23-24高一上·云南·期末）已知函数，则函数的定义域为 ．若，则 ． 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 9．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的值域． (1)求集合和； (2)求． 10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 题组04：函数的值域 1．（25高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，其中，则的值域是 ；若且对任意，，总存在，使得，则的取值范围是 ． 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 7．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知的图象的对称中心为. (1)求； (2)若在区间上，的值域为，求. 8．（24高一上·广东阳江·阶段练习）已知函数. (1)当且时，求证：； (2)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存则求出的值;若不存在，请说明理由. 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若，（是大于的常数） (1)当，比较与的大小； (2)若函数的值域为，求的取值范围. 10．（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； （2）求函数的值域. 题组05：函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 2．（21-22高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 3．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 5．（23-24高一上·广西河池·期末）已知. (1)求函数的表达式； (2)设函数，求的定义域. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 8．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的解为. (1)求； (2)证明：也是方程的解，并求的解集. 9．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于的不等式. 10．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知定义在R上的函数满足：. (1)求函数的表达式； (2)当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 题组06：相等函数 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．（23-24高一上·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 3．（24高一上·广西崇左·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 4．（23-24高一上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（     ） A．式子表示同一个函数 B．与表示同一个函数 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．函数与函数是同一个函数 B．关于的方程与的根分别为，则 C．函数的最小值为 D．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 6．（23-24高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 题组07：分段函数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 8．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值是 ． 10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ． 11．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 13．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知 (1)求，的值； (2)求满足的实数a的值； (3)求的定义域和值域． 14．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 15．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.1 函数的概念及其表示（练习） 内容概览 题组01：函数的表示方法 1 题组02：函数的定义 6 题组03：函数的定义域 11 题组04：函数的值域 17 题组05：函数的解析式 25 题组06：相等函数 33 题组07：分段函数 37 题组训练 题组01：函数的表示方法 1．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的图象是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数表达式化简成分段函数形式即可判断. 【详解】，对比选项可知，只有C符合题意. 故选：C. 2．（24·辽宁沈阳·一模）已知函数，若且，则它的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件确定，从而抛物线开口向上，，通过排除法得出选项. 【详解】由且，得， 所以函数是二次函数，图象开口向上，排除A，C； 又，所以排除B；只有D符合. 故选：D. 3．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）一水池有2个进水口，1个出水口，进、出水速度如图甲、乙所示．某天从0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示（至少打开一个水口）．给出以下论断，正确的是（    ）    A．0点到3点只进水不出水 B．3点到4点不进水只出水 C．3点到4点，一个进水口进水，同时出水口出水 D．4点到6点不进水也不出水 【答案】AC 【分析】由丙图可知0点到3点每小时进水量为 2 ,据此可以判断A;3点到4点,水量减少了 1 ,据此可以判断B、C;4点到6点水量保持不变,据此可以判断D. 【详解】由题意可知在 0 点到 3 点这段时间,每小时进水量为 2 , 即 2 个进水口同时进水且不出水, 所以A正确; 从丙图可知 3 点到 4 点水量减少了 1 , 所以应该是有一个进水口进水, 同时出水口也出水, 故 B错,C对; 当两个进水口同时进水，出水口也同时出水时，水量保持不变,故D错. 故选：AC. 4．（23-24高一上·安徽马鞍山·期中）某工厂8年来某产品产量与时间的函数关系如图，则以下说法中正确的是（    ） A．前2年的产品产量增长速度越来越快 B．前2年的产品产量增长速度越来越慢 C．第2年后，这种产品停止生产 D．第2年后，这种产品产量保持不变 【答案】AD 【分析】根据给定的年产量与时间的函数关系图，结合函数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，根据给定的年产量与时间的函数关系图， 可得：前2年的产品产量增长速度越来越快，所以A正确，B不正确； 第2年后，这种产品的年产量保持不变，所以C错误，D正确. 故选：AD. 5．（多选）（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数的图象由如图所示的两段线段组成，则（    ） A． B．不等式的解集为 C．函数在区间上的最大值为2 D．的解析式可表示为： 【答案】BD 【分析】由函数的图象求出函数的解析式，由此分析选项可得答案． 【详解】根据题意，由图象可得，在区间上，函数图象为线段，经过点和， 则其方程为， 在区间上，函数图象为线段，经过点和， 设，，则，解得， 所以其方程为， 综合可得， 对于A，，则，故A错误； 对于B，若，则有或，解得或， 即不等式的解集为，故B正确； 对于C，在区间上，为减函数，其最大值为，故C错误； 对于D，由，故D正确． 故选：BD． 6．（24-25高一上·全国·课后作业）在实数的原有运算中，我们定义新运算“*”如下：当时，；当时，．设函数，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】根据定义的新运算，求出函数的表达式，进而求函数的值域. 【详解】由题意知， 即， 所以, 所以，且， 所以． 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 【答案】①② 【分析】根据分段函数的形式，只能用解析法表示. 【详解】函数不能用列表法和图像法表示，只能用解析法表示. 利用解析法表示为 . 故答案为：①② 8．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列表示函数，则 ． x y 2 3 4 5 【答案】4 【分析】由分段函数的表格表示法，观察表格即可求解. 【详解】由表可知． 故答案为：4. 9．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数由下表给出，则 ． 1 2 3 4 2 3 4 1 【答案】3 【分析】直接由函数的表格表示方法即可得解. 【详解】由图表可知，. 故答案为：3. 10．（24-25高一上·上海·随堂练习）国内跨省市之间邮寄平信，每封信的重量x和对应的邮资y如下表： 信函质量（x）/g 邮资（y）/元 0.80 1.60 2.40 3.20 4.00 写出函数的解析式． 【答案】 【分析】直接将表格法转换成分段函数解析式即可得解. 【详解】观察表格，用分段函数表示法可得所求即为. 题组02：函数的定义 1．（24-25高一上·全国·课后作业）若的图象经过点，则函数的图象必经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据即可求解. 【详解】的图象经过点，所以， 故的图象必经过点， 故选：C 2．（15-16高三上·福建莆田·期中）已知函数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可首先列方程组求出，从而可只用表示出，进一步结合已知得关于的不等式组即可求解. 【详解】由已知得，解得， 又，所以. 故选：C. 3．（23-24高一上·江西九江·期末）已知定义在上的函数，满足，且，则（    ） A．1 B．11 C．12 D．1024 【答案】C 【分析】令，求得，令，求得，继而进一步计算即可. 【详解】根据题中的条件，令，则， 所以，令， 则，又， 所以, 则， 故选:C. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期末）函数，若，则，，的大小关系是（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据求得，再根据不等式性质结合中间值比较大小即可. 【详解】因为，所以，所以， 所以，又， 所以. 故选：A 5．（23-24高一上·广东江门·期末）已知函数的定义域为，对于任意实数，满足，且，则（    ） A．1012 B．2023 C．2024 D．4046 【答案】C 【分析】根据抽象函数的性质，化简即可得解. 【详解】对于任意实数，满足， 所以当时，， 所以 . 故选：C 6．（23-24高一上·广东广州·期中）已知，，则 ， ． 【答案】 1 【分析】一空把代入解析式即可求解；二空利用，再计算即可. 【详解】因为， 所以； 所以， 所以 ， 所以； 故答案为：1； 7．（23-24高一上·河北石家庄·期末）已知函数的定义域为，满足，的图象关于直线对称，且，则 ； ． 【答案】 【分析】在中令，即可得第一空答案；由题意可知的图象关于轴对称，从而得，运用到算式即可得第二空答案． 【详解】在中，令，则有； 的图象关于直线对称，则的图象关于轴对称，有， 又，则，得， 可得，， 所以，，， 所以 ． 故答案为：；． 【点睛】结论点睛：函数的对称性： （1）若，则函数关于中心对称； （2）若，则函数关于对称. 8．（23-24高一上·广东广州·期末）已知定义在上的函数满足：对任意实数，，都有，且，直接写出的所有零点为 . 【答案】 【分析】利用赋值法求解即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 当时，， 当时，， 当时，， 当时， ， ……， 所以，即当时，， 所以函数的零点为 故答案为： 9．（23-24高一上·四川绵阳·期末）若函数满足，当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】由题意得先得出是奇函数，也是减函数，且，所以可得，由此即可得解. 【详解】由题意令得，，解得， 令得，，即，所以是奇函数， 当时，，且即，即是减函数， 又， 所以或. 故答案为：. 10．（23-24高一上·上海·假期作业）已知函数，其中. (1)求，并计算的值； (2)作出该函数的图象，并求函数的值域. 【答案】(1)；0； (2)作图见解析， 【分析】（1）直接代入式子计算、即可； （2）结合指数函数性质分离常数法求函数值域，结合函数的单调性作出的图象. 【详解】（1）， ； （2）由（1）知，，， 所以为奇函数，图象关于原点对称，且， 为增函数， 因为，所以， 得函数的值域为. 的图象如下图， 题组03：函数的定义域 1．（2024·广东·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解. 【详解】由，有，即，所以； 由令，根据二次函数的性质有， 所以，又因为，所以，； 所以. 故选：D 2．（23-24高一上·浙江·期末）若函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出不等式组，解出即可. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，解得或， 故函数的定义域为， 故选：A. 3．（23-24高一上·河北石家庄·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数解析式有意义可得出关于实数的不等式组，即可解得函数的定义域. 【详解】由题意对于，得，解得且，故C正确. 故选：C. 4．（24-25高一上·上海·单元测试）（1）函数的定义域是 ； （2）函数的定义域是 ； （3）若函数的定义域是，则函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】（1）根据根式以及0次方的性质即可由不等式求解， （2）根据根式的性质即可求解， （3）根据抽象函数的定义域性质即可求解. 【详解】（1）由得且，∴函数的定义域是． （2）由得，∴函数的定义域是． （3）∵的定义域是， ∴，∴，即的定义域是， ∴，∴， ∴函数的定义域是． 故答案为：；； 5．（23-24高一上·云南·期末）已知函数，则函数的定义域为 ．若，则 ． 【答案】 【分析】由分式、对数性质列不等式求定义域，写出解析式，求得为关键求目标函数值. 【详解】由解析式知：，故函数定义域为； 由，定义域为，则， 所以， 故. 故答案为：， 6．（24-25高一上·上海·随堂练习）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1)偶函数，理由见解析 (2)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 (3)既不是奇函数，又不是偶函数，理由见解析 (4)偶函数，理由见解析 【分析】根据函数奇偶性的定义判断即可. 【详解】（1）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，定义域关于原点对称， 且， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）∵函数的定义域为，定义域不关于原点对称， ∴既不是奇函数，又不是偶函数． （4）的定义域是，定义域关于原点对称． 当时，，； 当时，，． 综上可知，对于，都有， 所以为偶函数． 7．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知的定义域为，求的定义域； （2）若函数的定义域为，求的定义域． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由的定义域，要求的定义域，解不等式组即可； （2）由的定义域为，可得，则要求的定义域，解不等式组即可. 【详解】（1）∵的定义域为，∴要求的定义域， 即解不等式组，解得或， 故的定义域为． （2）∵的定义域为，∴， 则，即的定义域为， ∴要求的定义域，即解不等式组， 解得，故的定义域为． 8．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）设函数的定义域为，求下列函数的定义域： ①；②. （2）函数的定义域是，求函数的定义域. 【答案】（1）①；②；（2） 【分析】（1）利用抽象函数定义域的性质求解即可. （2）利用抽象函数定义域的性质求解即可. 【详解】（1）①由已知，得，解得，故的定义域为. ②由已知，得，解得，故的定义域为. （2）先求的定义域： 因为的定义域是，所以， 所以，即的定义域是. 再求的定义域： 因为，解得， 所以的定义域是. 9．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数的定义域为，函数的值域． (1)求集合和； (2)求． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）求出函数定义域及值域即可. （2）利用（1）的结论，利用补集、交集有定义求解即得. 【详解】（1）函数中，，即， 则，解得， 所以； 函数， 当时，，有，则， 所以. （2）由（1）知，，，则， 所以. 10．（23-24高一上·贵州毕节·期末）已知函数的定义域是，若对于任意，都有，且时，有．令． (1)求的定义域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合的定义域和列出不等式组即可求解； （2）结合条件求出的奇偶性和单调性，利用性质求解函数不等式. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以有， 即，解得：， 所以的定义域为． （2）令，可得，即， 令，得， 即是奇函数， 令，则，且为奇函数， ，即， 在上单调递增， 由题意可知，， ， 解得，即不等式的解集为． 题组04：函数的值域 1．（25高一上·全国·课后作业）设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，当时，将函数化简变形得，令，然后分和两种情况结合基本不等式可求出的取值范围，从而可求出的值域，再由高斯函数的定义求出的值域. 【详解】显然，． 当时，． 令，当时，，当且仅当时等号成立， 则； 当时，，当且仅当时等号成立， 则． 综上所述，的值域为， 所以根据高斯函数的定义，函数的值域是， 故选：C． 2．（23-24高一上·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，记函数，其中实数，若的值域为，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可得的表达式，结合对勾函数的单调性，分类讨论a的取值范围，即分和两种情况，根据的值域列式求解，即可得答案. 【详解】因为， 所以， 根据对勾函数单调性可知在上单调递减，在上单调递增， 因为， 当时，在上单调递减且的值域为， 则，， 解得； 当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以为此时的最小值，， 因为的值域为， 所以，即， 解得，所以， 综上，a的取值范围为． 故选：B． 3．（多选）（23-24高一上·山西·期中）已知函数的值域为，则的定义域可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数的值域为结合二次函数的对称性可求出相应的定义域， 【详解】令，解得， 令，解得， 根据的图象关于轴对称的性质， 可得的定义域可能为，或，故B、C、D正确. 故选：BCD. 4．（23-24高一上·陕西汉中·期末）设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意，， ，即，所以， 所以， 依题意， 而，所以的取值范围为. 故答案为： 【点睛】对于含有多层函数符合的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数，其中，则的值域是 ；若且对任意，，总存在，使得，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】，结合二次函数性质即可得值域；，时，的范围可计算出，则其范围对应集合包含于在的值域，计算即可得的取值范围. 【详解】， 由，则，故； 且对任意，， 总存在，使得， 即在，上的所有取值都在在的值域的内， 由时，， 故对任意，，， 在的值域为， 故有，解得. 故答案为：；. 6．（23-24高一上·浙江杭州·期中）求下列函数的值域： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（3）根据题意结合基本不等式求值域； （2）换元令，结合二次函数求值域. 【详解】（1）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的值域为. （2）令，则， 可得， 当时，等号成立， 所以函数的值域为. （3）因为，则， 可得， 当且仅当，即时，等号成立， 即，所以函数的值域为. 7．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知的图象的对称中心为. (1)求； (2)若在区间上，的值域为，求. 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）结合函数对称的性质计算即可得； （2）结合函数的单调性及定义域与值域的关系即可得. 【详解】（1）由可知，定义域为，其图象对称中心为， 故有，即，有，解得，， 即，其图象对称中心为， 检验计算得，故成立， 即，； （2）当时，由、都随的增大而减小， 故在上单调递减， 又在区间上，值域也为， 故有，即，且， 解得，. 8．（24高一上·广东阳江·阶段练习）已知函数. (1)当且时，求证：； (2)是否存在实数，使得函数的定义域、值域都是，若存则求出的值;若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据得，再根据均值不等式即可得证； （2）分别讨论和和三种情况下在上的单调性，并根据单调性确定最值，进而判断是否存在符合题意的. 【详解】（1）证明：得，所以， 解得或（舍）. 因为，所以，即（当且仅当时取等号） 因为，所以 （2）不存在. 理由如下： ， ①当时，在上单调递减，可得， 两式作差则有，即，所以或. 又，所以，故,均舍去， 即此时不存在符合题意的； ②当时，显然，而且， 与值域为矛盾； ③当在上单调递增，可得， 则是方程即的两个根，此方程无解. 综上，不存在实数，使得函数的定义域、值域都是. 9．（23-24高一上·江苏苏州·阶段练习）若，（是大于的常数） (1)当，比较与的大小； (2)若函数的值域为，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用作差法比大小； （2）分别求得和时的值域，根据并集为，可得参数范围. 【详解】（1）由已知当时，，所以，， 所以， 所以； （2）当时，，其取值的集合为， 当时，， 当且仅当即时，等号成立， 所以函数在上的取值集合， 又函数的值域为，即， 所以， 解得， 即. 10．（23-24高一上·湖北孝感·期中）（1）已知二次函数满足，且.求的解析式； （2）求函数的值域. 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设，利用建立恒等式求解即可； （2）令，（），从而把求值域问题转化为求的值域问题，利用二次函数性质求解值域即可. 【详解】（1）设二次函数（）， 因为，所以. 由，得， 得， 所以，得，故. （2）函数，令，（），那么， 则函数转化为，整理得：（）， 根据二次函数的性质可知：的开口向上，对称轴， 故当时，函数取得最小值为，无最大值，即， 所以函数的值域为. 题组05：函数的解析式 1．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数（a，b为常数，且）满足，方程有唯一解，则函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】根据，且方程的解只有一个，求出a和b的值，从而求出函数的解析式即可. 【详解】因为，且，可知， 令，整理可得，解得或， 若方程有唯一解，则或，解得， 又因为，解得， 所以． 故答案为：. 2．（21-22高一上·湖北·阶段练习）已知函数，且 ， ，则函数的一个解析式为 . 【答案】（不唯一） 【分析】根据所给条件，利用累乘法及换元法即可得解. 【详解】由题意，， 累乘可得，即， 令，则， 所以， 故答案为：（不唯一） 3．（23-24高一上·海南海口·期末）已知函数的定义域为R，且，，请写出满足条件的一个 （答案不唯一）． 【答案】1,（答案不唯一） 【分析】根据所给条件分析函数为偶函数，取特殊函数可得答案. 【详解】令，则， 又， 所以，即， 所以函数为偶函数， 不妨取偶函数，则， 也可取，则，满足题意. 故答案为：,（答案不唯一） 4．（23-24高一上·江苏无锡·阶段练习）已知函数是二次函数，且满足，． (1)求函数的解析式； (2)若对任意的，不等式恒成立，求的最大值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）设出二次函数解析式，利用待定系数法求解即得. （2）由可得，再由恒成立，按是否为0分类求得关系，然后求出的最大值并验证得解. 【详解】（1）由函数是二次函数，且，设， 由，得， 整理得，则，解得， 所以函数的解析式是. （2）由（1）及已知得，恒成立， 令，则，于是， ，恒成立，即恒成立， 当时，则且， 因此，，当时，，满足上式，则，，， 从而，当且仅当时取等号， 此时，，恒成立， 所以的最大值为. 5．（23-24高一上·广西河池·期末）已知. (1)求函数的表达式； (2)设函数，求的定义域. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用换元法求出函数的表达式. （2）由（1）的结论，结合抽象函数定义求解即得. 【详解】（1）在中，令，由，得，即， ，于是，因此， 所以函数，. （2）由（1）知，函数，，由有意义，得，解得， 则在中，， 所以函数的定义域为. 6．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数． (1)求函数的解析式； (2)若函数是定义域为的奇函数，且当时，，求的解析式，并写出的值域． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）由换元法令，求得，代入化简即可得出答案； （2）根据是定义域为的奇函数，，当时，，可求出时函数，的解析式；再由的单调性即可求出的值域． 【详解】（1）令，则， 所以， 所以的解析式为； （2）因为函数是定义域为的奇函数，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，， 因为当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，， 因为在上单调递增，所以， 当时，，所以的值域为. 7．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知函数，其中（且）的图象经过点和． (1)求函数的解析式； (2)令，求的最小值及取最小值时x的值． 【答案】(1) (2)时，取得最小值1． 【分析】（1）将和代入解析式中得到方程组，然后求解即可； （2）求出，利用对数的运算整理得到，然后利用基本不等式求解即可． 【详解】（1）由已知，得， 解得， 故； （2）由于 ， ， 故． 于是，当时，取得最小值1． 8．（23-24高一上·河北·阶段练习）已知二次函数的解为. (1)求； (2)证明：也是方程的解，并求的解集. 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）根据题意列式求解即可； （2）根据，代入证明即可，展开解方程即可. 【详解】（1）因为的解为，则，解得. （2）由（1）可知：，且， 则， 即也是方程的解， 对于，即， 整理得：，解得， 所以的解集为. 9．（23-24高一上·云南昆明·期中）已知函数对任意满足：，二次函数满足：且. (1)求，的解析式； (2)若，解关于的不等式. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）用方程组法求，用待定系数法求； （2）先将不等式化为，根据分类求解即可. 【详解】（1）①， 用代替上式中的， 得②， 联立①②，可得； 设， 所以， 即 所以，解得，， 又，得，所以. （2）因为， 即， 化简得，， ①当时，，不等式的解为； ②当，即，即时，不等式的解为或； ③当，即，即或， 当时，不等式的解为或， 当时，不等式的解为， ④当，即时，，解得且， 综上所述，当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为； 当时，不等式的解为或； 当时，不等式的解为且； 当时，不等式的解为或. 10．（23-24高一上·黑龙江大庆·期中）已知定义在R上的函数满足：. (1)求函数的表达式； (2)当时，关于的不等式的解集为，求的最小值和最大值. 【答案】(1) (2)最小值为1，最大值 【分析】（1）将已知中的替换为，得出方程组，求解即可得出函数解析式； （2）根据已知得出.根据一元二次不等式解集与一元二次方程解的关系可知，判定得，为一元二次方程的两个解，求根得出，表示出，结合的范围，即可得出答案. 【详解】（1）将的替换为， 得， 联立 解得. （2）由（1）结合已知可将不等式化为， 即. 又一元二次方程， 恒成立， 可得方程两根为. 又，所以，， 所以. 又，所以， 所以当时，的最小值为1，当时，最大值. 题组06：相等函数 1．（23-24高一上·安徽阜阳·阶段练习）下列各组函数相等的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】分别求每个选项中两个函数的定义域和对应关系，即可判断是否为相同函数，进而可得正确选项. 【详解】对于A中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故A错误； 对于B中，函数的定义域为R，的定义域为， 所以定义域不同，不是相同的函数，故B错误； 对于C中，函数的定义域为R，与的定义域为， 所以定义域不同，所以不是相同的函数,故C错误； 对于D中，函数与的定义域均为R， 可知两个函数的定义域相同，对应关系也相同，所以是相同的函数, 故D正确； 故选：D. 2．（23-24高一上·四川内江·期中）下列各组函数是同一函数的是（    ） ①，；②与 ③与；④， A．②③ B．①④ C．①② D．②③④ 【答案】A 【分析】判断两个函数是否为同一个函数时，需满足定义域相同，对应关系相同. 【详解】对于①，函数与的定义域均为， 但是，则两函数对应关系不同，故不是同一函数，不合题意； 对于②，的定义域为，的定义域为， 且，所以与是同一函数，符合题意； 对于③，与的定义域均为，且两函数对应关系相同， 故它们是同一函数，符合题意； 对于④，的定义域是； ，解得或， 所以的定义域是， 两函数定义域不同，所以不是同一函数，不合题意. 故选：A 3．（24高一上·广西崇左·期中）下列函数中，与函数是同一函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，进而将函数的解析式化简，最后得到答案. 【详解】由题意，，则函数的定义域为，所以，所以与是同一函数的是. 故选：A. 二、多选题 4．（23-24高一上·河南许昌·期末）下列说法正确的是（     ） A．式子表示同一个函数 B．与表示同一个函数 C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是 D．若函数的定义域中只含有一个元素，则值域中也只含有一个元素 【答案】ABD 【分析】对A、B，由相同函数的定义计算即可得；对C，结合分段函数单调性计算即可得；对D，由函数定义即可得. 【详解】对A：，故与有相同的定义域及对应关系， 故表示同一个函数，故A正确； 对B：的定义域需满足， 解得，的定义域需满足，解得， 故两函数有相同的定义域及对应关系，故表示同一个函数，故B正确； 对C：由题意可得，解得，即，故C错误； 对D：由函数定义，若函数的定义域中只含有一个元素， 则值域中也只有唯一一个元素与之对应，故D正确. 故选：ABD. 5．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）下列命题不正确的是（    ） A．函数与函数是同一个函数 B．关于的方程与的根分别为，则 C．函数的最小值为 D．已知函数且在上是减函数，则实数的取值范围是 【答案】AD 【分析】A由同一函数对应法则、定义域相同判断；B问题化为分别是、与的交点横坐标，结合指对数函数关系及对称性判断；C根据指数型复合函数的单调性求最值判断；D由对数复合函数的区间单调性列不等式求范围即可. 【详解】A：与的定义域不同，不是同一函数，错； B：由题意，则， 所以分别是、与的交点横坐标， 而、互为反函数，关于对称，与垂直，如下图， 所以，对； C：由在上递增，在上递减，而上递减， 所以在上递减，在上递增，故函数有最小值为，对； D：由题设为减函数，要使在上是减函数， 则在定义域上为增函数，且，即，错. 故选：AD 6．（23-24高一上·云南大理·期中）下列四组函数中表示同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】根据函数的定义域不同判断A，根据对应法则不同判断B，根据定义域、对应法则相同判断CD. 【详解】与两个函数的定义域不一致， A中两个函数不表示同一个函数； 两个函数的对应关系不一致， B中两个函数不表示同一个函数； 与两个函数的定义域均为，对应关系也相同， C中两个函数表示同一个函数； D中的两个函数虽然自变量的选取字母不一致，但其对应关系和定义域是完全一样 的，两个函数表示的是同一个函数. 故选：CD. 题组07：分段函数 1．（24-25高一上·全国·课后作业）设函数，则等于（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据题中分段函数解析式运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C. 2．（23-24高一上·北京·期中）已知函数是上的增函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数在各段单调递增且断点左侧的函数值不大于右侧的函数值得到不等式组，解得即可. 【详解】因为函数是上的增函数， 所以，解得，即的取值范围是. 故选：D 3．（23-24高一上·江苏南京·期中）若函数，若，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和两种情况求解不等式即可. 【详解】解：①当时，由，得， 即，所以，解得； ②当时，由，得， 所以，解得，或（舍去）， 综上：， 故选：B． 4．（24高二下·陕西西安·期中）已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合二次函数性质判断函数的单调性，再借助单调性求解不等式作答. 【详解】因为在上单调递增， 在上单调递增， 且连续不断，可知函数在R上单调递增， 则，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 5．（2024·北京西城·一模）已知函数，若存在最小值，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用二次函数的性质求得的最小值，再结合幂函数的单调性，由题意列出不等式，求解即可. 【详解】当时，，故当时，有最小值为； 时，单调递减，所以， 由题意存在最小值，则，解得，即的最大值为. 故选：A 6．（23-24高一上·福建龙岩·期末）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先分析函数的取值情况，从而判断，再结合得到，再分和两种情况讨论，当时结合函数在上的单调性，得到，从而求出的取值范围. 【详解】对于函数，当时，，当时，， 而，即有，依题意可得，又，解得， 所以； 当时，函数在上的取值集合为，不符合题意， 当，函数在上单调递增， 则，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【点睛】关键点睛：本题的关键是分析得到，再分和两种情况讨论. 7．（多选）（23-24高一上·辽宁朝阳·期末）已知函数，关于函数的结论正确的是（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C．若，则 D．的解集为 【答案】BC 【分析】根据分段函数的定义域、值域、不等式等知识求得正确答案. 【详解】由题意知函数的定义域为，故A错误； 当时，的取值范围是， 当时，的取值范围是，因此的值域为，故B正确； 当时，，解得（舍去）， 当时，，解得或（舍去），故C正确； 当时，，解得， 当时，，解得， 因此的解集为，故D错误. 故选：BC 8．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】4 【分析】把写成分段函数的形式，结合函数单调性即可求解. 【详解】因为， 所以当或时，， 所以函数的最小值为4. 故答案为：4. 9．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值是 ． 【答案】4 【分析】根据分段函数的性质，求出每段函数取值规律，即可求出最大值. 【详解】当时，，此时函数单调递增，则最大值为4； 当时，，此时函数单调递减，则； 故函数的最大值为4. 故答案为：4 10．（23-24高一上·浙江·期中）已知是减函数，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用一次函数、二次函数的单调性，结合分段函数是减函数，列出不等式组求解即可. 【详解】由函数是减函数，得，解得， 所以实数a的取值范围是. 故答案为： 11．（23-24高一下·北京·开学考试）若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】作出函数的图象，数形结合，由题意列出相应不等式组，即可求得答案. 【详解】令，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，作出函数的大致图象，    由于函数在区间上有最大值， 结合图象，由题意可得，解得， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 12．（24-25高一上·全国·课后作业）已知函数 (1)求的值； (2)画出函数的图象． 【答案】(1) (2)图象见详解 【分析】（1）利用函数的解析式由内到外可逐层计算出的值； （2）根据函数的解析式可画出该函数的图象. 【详解】（1）因为， 则，； 所以. （2）函数的图象如下图所示：    13．（23-24高一上·四川宜宾·期中）已知 (1)求，的值； (2)求满足的实数a的值； (3)求的定义域和值域． 【答案】(1)， (2) (3)定义域为，值域为 【分析】根据自变量所属范围，求分段函数求函数值；根据函数值，求自变量值；确定分段函数的定义域值域. 【详解】（1）， . （2）由或，解得. （3）   的定义域为，值域为 14．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，若函数恰有一个零点，求实数的取值范围． 【答案】或 【分析】作出的函数图象，根据图象判断的值． 【详解】解：令得，作出的函数图像如图所示．    由图像可知当或时，只有一解， 此时恰有一个零点． 15．（23-24高二下·陕西西安·期中）设． (1)求的值； (2)若，求t值. 【答案】(1)0 (2)或或 【分析】（1）根据分段函数的特征可计算； （2）就的不同取值范围构建不同的方程后可求的值. 【详解】（1）. （2）当时，，∴； 当时，，解得：； 当时，，∴， 综上所述：或或． 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$