专题2.15 二次根式（专项练习）（培优练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.15 二次根式（专项练习）（培优练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 2．（23-24八年级下·河南周口·期末）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·四川泸州·期中）下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级下·河北唐山·期中）下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·河南平顶山·阶段练习）若与最简二次根式能合并成一项，则t的值为（    ） A．6.5 B．3 C．2 D．4 6．（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各数中，与互为倒数的是（    ） A． B．2 C． D． 7．（21-22八年级下·黑龙江鹤岗·期末）把中根号前的（m－1）移到根号内得 （　   ） A． B． C． D． 8．（23-24八年级下·福建莆田·阶段练习）已知直角三角形的周长为，斜边为4，则该三角形的面积是（　　） A．2 B． C． D． 9．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 10．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级上·吉林长春·开学考试）计算： ． 12．（22-23八年级下·福建龙岩·期中）已知，，则 ． 13．（23-24八年级下·河南新乡·阶段练习）若，则二次根式 化为最简二次根式为 ． 14．（23-24八年级下·山东德州·期末）与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 15．（22-23八年级上·四川成都·期中）若，则 ． 16．（21-22八年级上·上海·阶段练习）比较大小： （填上“＞”或“＜”） 17．（23-24九年级上·四川成都·开学考试）已知，则代数式的值为 ． 18．（2023八年级下·浙江·专题练习）根式的值是 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·福建厦门·期中）计算： (1)； (2)． 20．（8分）（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）计算： (1)； (2)． 21．（10分）（22-23八年级下·广东东莞·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 22．（10分）（23-24八年级下·辽宁鞍山·期末）观察下列各式并解答问题： ；；…… （1）计算：； （2）按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含 n的等式表示，n为正整数）． 23．（10分）（23-24八年级下·山东烟台·期中）【问题背景】 已知 ，求 的值． 【问题解决】 （1）小颖通过思考，形成如下解题思路：先将等式两边都除以x，得到 的值，再利用完全平方公式求出的值．请按照该思路，写出上述题目完整的求解过程； 【拓展应用】 （2）已知 ，求 的值； （3）已知，求 的值． 24．（12分）（23-24九年级下·山东济宁·阶段练习）【发现问题】 由得，；如果两个正数，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取到等号． 【提出问题】 若，，利用配方能否求出的最小值呢？ 【分析问题】 例如：已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【解决问题】 请根据上面材料回答下列问题： （1）2＋3______；6＋6______．（用“＝”“＞”“＜”填空） （2）当，式子的最小值为______； 【能力提升】 （3）当，则当x＝______时，式子取到最大值； （4）用篱笆围一个面积为32平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米），问这个长方形的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 2．A 【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可得到答案． 【详解】解：由题意可知，， 解得． 故选：A． 3．C 【分析】本题考查二次根式的加减法及除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的性质与化简、二次根式的加减法和除法的运算法则分别判断即可． 【详解】解：A.与不是同类二次根式，不能合并，故选项错误，不符合题意； B. ，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项正确，符合题意； D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：C． 4．D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式性质与化简，熟知满足最简二次根式的两个条件是解本题的关键．最简二次根式必须满足两个条件：1、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；2、被开方数不含分母；据此判断即可． 【详解】解：A、，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、，不是最简二次根式； D、，是最简二次根式； 故选：D． 5．C 【分析】先化简，再根据与最简二次根式是同类二次根式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：， ∵与最简二次根式能合并成一项， ∴与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次根式的化简、最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题关键． 6．A 【分析】本题考查了倒数，分母有理化，掌握有理化因式的确定是解题的关键． 根据互为倒数的数乘积为1，得，然后进行分母有理化即可； 【详解】互为倒数的数乘积为1， ， 故选：A． 7．D 【分析】先判断出m-1的符号，然后解答即可． 【详解】∵被开方数，分母. ∴，∴. ∴原式． 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简：|a|．也考查了二次根式的成立的条件以及二次根式的乘法． 8．C 【分析】此题考查二次根式及完全平方公式的应用，在解题过程中，应了解直角三角形的一些特殊性质，在进行求解的时候使问题变得简单． 根据直角三角形的周长和勾股定理，可求得两直角边的长以及长的乘积，由此可求出这个三角形的面积． 【详解】解：设两直角边分别为a，b， 斜边为4， ， 直角三角形的周长为， ， ， ， ， ， 所以三角形的面积是， 故选：C． 9．A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 10．A 【分析】本题考查了分母有理化，读懂题意，利用平方差公式进行分母有理化，是解答本题的关键． 根据题意，将展开，然后利用平方差公式进行分母有理化，化简整理，最终得到答案． 【详解】解：根据题意得： ， ． 故选：． 11． 【分析】本题考查了二次根式的减法运算，先化简二次根式，然后合并即可，掌握二次根式的性质和加减运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式， 故答案为：． 12．8 【分析】本题考查的是二次根式的乘法运算，完全平方公式与平方差公式的灵活应用，熟记运算法则是解本题的关键．先计算出，，再将变形为，代入数据计算即可． 【详解】解：，， ，， ， 故答案为：8． 13． 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、利用二次根式性质化简等知识，先由二次根式有意义的条件判断，再由二次根式性质化简即可得到答案，熟练掌握二次根式有意义的条件、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：二次根式中，， ， ， 故答案为：． 14．2 【分析】本题考查了同类二次根式：几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式，掌握知识点是解题关键．先把化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到，然后解方程即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式是同类二次根式， ， 解得， 故答案为：． 15． 【分析】此题考查了二次根式的化简和二次根式的混合运算，先利用分母有理化得到，把代数式变形后整体代入即可． 【详解】解: ， ． 故答案为：． 16．＞ 【分析】利用它们的倒数来进行比较． 【详解】解：∵， 又∵， ∴． 故答案为：＞ 【点睛】此题主要考查了实数大小比较的方法，解答此题的关键是通过比较它们的倒数进行比较大小． 17．5 【分析】此题考查了二次根式的化简求值，利用完全平方公式把所求式子化简为，再代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式， 故答案为：5． 18．16 【分析】本题考查了二次根式的化简，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，将原式的分子变形为，即为，变形为，即为，同理将原式的分母中的两项也变形，变形后分子分母分别提取公因式后约分，最后开方即可得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：16． 19．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则及完全平方公式的运用是关键． （1）先化成最简二次根式、绝对值、零次幂，再合并同类二次根式，最后合并即可； （2）按照运算顺序，先算括号，再算乘除，最后算加减，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 21．(1)12 (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，对于二次根式的相乘，与多项式的乘法类似，可以用多项式的乘法公式，对某些二次根式的乘法进行简便运算． （1）原式分解因式后再代入计算即可； （2）先通分，再代入计算即可． 【详解】（1） 当，时， ； （2）， 当，时， 原式． 22．(1) (2)（n为正整数） 【分析】本题主要考查数字规律下的二次根式化简， （1）总结规律，按规律解答； （2）根据分式的性质和完全平方公式即可化简求得一般性结论． 【详解】（1）解：∵； ； ， …… ∴； （2）解：根据（1）得到， 证明： ． 23．（1），见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式的变形，二次根式的运算等知识．熟练掌握完全平方公式的变形，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）根据题意可得，根据，代值求解即可； （2）同理（1）计算求解即可； （3）同理（1）可得，进而可求 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ， ∴的值为． （2）解： ， ∴， ∴的值为； （3）解：， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 24．（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米 【分析】（1）根据当时，，当时，，即可求解， （2）令，，根据“当，时，”，即可求解， （3）令，，根据“当且仅当时，” ，即可求解， （4）设一边长为米，则另一边为米，根据“面积为32平方米”得，求出得最小值，及此时的得值，即可求解， 本题考查了，知识的迁移创新，完全平方公式的变形，不等式，二次根式，解题的关键是：灵活应用用材料所提供的结论． 【详解】解：（1）∵当，时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴， （2）当，式子，当且仅当时，即：时，有最小值，最小值为2， （3）∵， ∴， ∴，当且仅当时，即：时有最小值，最小值为24， （4）设这个长方形垂直于墙的一边的长为米，则平行于墙的一边为米， 则：，即：， ∴所用篱笆的长为米， （米）， 当且仅当时，即时，取得最小值16， 此时，（米），（米）， 故答案为：（1），；（2）2；（3）；（4）这个长方形的长、宽分别为8米，4米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是16米． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$