专题2.14 二次根式（专项练习）（基础练）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.14 二次根式（专项练习）（基础练） 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（23-24九年级上·辽宁盘锦·开学考试）下列式子一定是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·天津南开·期末）的倒数是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22九年级上·全国·单元测试）使式子在实数范围有意义的的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 4．（22-23九年级上·海南海口·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·全国·单元测试）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·河南驻马店·期末）若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（23-24八年级下·广东汕头·期中）若，则代数式的值为（    ） A．2005 B．2006 C．2007 D．2008 8．（23-24八年级下·云南曲靖·期末）按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（    ） A． B． C． D． 9．（23-24九年级下·浙江·阶段练习）已知代数式，下列说法不正确的是（   ） A．代数式有最大值 B．代数式有最小值 C．代数式值随a的增大而增大 D．代数式值不可能为0 10．（22-23八年级下·广东韶关·期中）蔬菜是人们日常饮食中必不可少的食物之一，可以提供人体所必需的多种维生素、矿物质等营养物质，王明的奶奶家有一块长为米，宽为米的长方形田地用来种植蔬菜，则该长方形田地的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（23-24九年级下·山东烟台·期末）写出一个能够说明“”不成立的x的值： ．（写出一个即可） 12．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的的和为0，则的值为 ． 13．（22-23九年级上·吉林白城·开学考试）与最简二次根式是同类二次根式，则a＝ ． 14．（21-22九年级上·全国·单元测试）如果a，b分别是的整数部分和小数部分，那么 ． 15．（23-24七年级下·上海虹口·期中）在数轴上，如果点A、B所对应的数分别为 那么在A、B两点中，到原点距离较近的点是 点． 16．（22-23九年级上·甘肃天水·期末）当时，则 ． 17．（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）定义：我们将与称为一对“对偶式”，因为，可以有效的去掉根号，若，则 ． 18．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）中考新考法传统文化幻方是一种中国传统游戏，它是将从一到若干个数的自然数排成纵横各为若干个数的正方形，使在同一行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等．类比幻方，我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等，则A，B，C，D之和为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（8分）（23-24八年级下·云南曲靖·阶段练习）计算： (1)； (2)． 20．（8分）（23-24八年级下·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 21．（10分）（21-22八年级下·河南商丘·期中）已知，，则 （1）______；______；______． （2）根据以上的计算结果，利用整体代入的数学方法，计算式子的值． 22．（10分）（23-24九年级下·山东烟台·期末）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的： 因为；所以， 所以，；所以， 所以． 请你根据小明的分析和解答过程，解决如下问题： （1）化简：（结果的分母中不含根号）； （2）若，求的值 23．（10分）（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）材料阅读：二次根式的运算中，经常会出现诸如的计算，将分母转化为有理数，这就是“分母有理化”；． 类似地，将分子转化为有理数，就称为“分子有理化”； ． 根据上述知识，请你解答下列问题： （1）化简； （2）比较与的大小，并说明理由． 24．（12分）（23-24八年级上·湖北十堰·期末）阅读材料，学解问题：小聪在学习二次根式时，通过计算，他就想化简的结果应为，即，接着他又通过计算验证得到，受到这个发现的启迪，于是他就想找到化简形如的式子的一般方法．善于思考的小聪进行了以下探索： 设（其中a、b、m、n均为整数）， 则有． ∴①，②， 得， ∴， 因式分解得，， ∵a、b、m、n均为整数， ∴和均为的因数， 由此可以得到方程组验证求出m，n的值，从而化简． （1）请你根据小聪的方法探索化简： 当设（m、n均为正整数，），则①______， ______， ∴②______，______， ∴③______， ______，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④______； 在得到的化简的一般方法后，兴奋的小聪继续深入探究化简形如（a、b、c均为正整数，且b没有平方数因数，）的式子的一般方法，通过思考，他发现当（k为大于1的整数）时，将k移进根号内，就把问题转化为就可以化简了． （2）请你根据小聪的方法化简______． 接着他想，上面的式子之所以能通过变形化简，是因为第一层根号内的式子能变形成完全平方式，小聪又琢磨形如（a、b、d均为正整数，且b没有平方数因数，d为奇数）的式子能否化简，若能化简，其一般方法又是怎样的呢？经过深入思考，他得到如下方法：将看出分母为1的式子，然后，分子和分母都乘以2，再把分子上的2移到第一层根号内，这样，问题就变成（2）中的问题了，即，再利用（2）的化简方法就可以解决问题了． （3）他这种解决问题的策略用的是______数学思想． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如（）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； B、当时，不是二次根式，该选项不符合题意； C、是三次根式，该选项不符合题意； D、 ， 是二次根式，该选项符合题意； 故选：D． 2．B 【分析】本题考查了实数的性质，二次根式化简，由倒数的定义得的倒数为，进行化简，即可求解；理解定义“乘积为的两个数互为倒数”是解题的关键． 【详解】解：的倒数为， 故选：B． 3．C 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件和分式有意义的条件．根据被开方数为非负数且分母不为，可求出的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义． 且， 解得：且， 故选：． 4．D 【分析】本题考查了最简二次根式，分母有理化，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，分母不能带根号，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、不是最简二次根式，故A不符合题意； B、不是最简二次根式，故B不符合题意； C、不是最简二次根式，，故C不符合题意； D、最简二次根式，，故D符合题意； 故选：D． 5．D 【分析】本题考查了二次根式的加法、减法、乘法、除法，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项是错误的； B、，故该选项是错误的； C、，故该选项是错误的； D、，故该选项是正确的； 故选：D 6．B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 7．C 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，根据题意得到，进而根据完全平方公式得到，由此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．C 【分析】本题考查二次根式的探究规律，通过观察单项式的系数发现第n个单项式的系数为；由，发现第n个单项式的字母次数是，即可求解． 【详解】通过观察单项式的系数发现：第n个单项式的系数为， ∵， ∴第n个单项式的字母次数是， ∴第n个单项式为， 故选：C． 9．D 【分析】该题主要考查了二次根式的性质，解题的关键是求出a的取值范围； 根据二次根式的非负性即可求出，即可判断； 【详解】代数式， ， 即， 故当时，有最小值， 当时，有最大值， 当时，，解得， 故时，代数式值为0； a越大越大，越小，则越大， 故选：D． 10．C 【分析】根据长方形面积公式结合二次根式的乘法计算法则求解即可． 【详解】解：∵长方形田地的长为米，宽为米， ∴该长方形田地的面积为平方米， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式乘法，熟知二次根式乘法计算法则是解题的关键． 11．（答案不唯一） 【分析】本题考查二次根式的性质，根据“当时，，当时，，”进行求解即可． 【详解】解：∵， 故答案为：（答案不唯一）． 12．/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 13．1 【分析】本题考查了同类二次根式，几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，那么这几个二次根式叫同类二次根式． 先将化成最简二次根式，然后根据同类二次根式得到被开方数相同得出关于a的方程求解即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴，即：． 故答案为：1． 14． 【分析】此题考查的是二次根式的混合运算及估算无理数大小，解答此类题目的关键是先对无理数进行估算，再代入分解因式后式子计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15．A 【分析】本题主要考查了二次根式的大小比较．根据题意可得点A到原点距离为，点B到原点距离为，再比较与的大小，即可． 【详解】解：∵点A、B所对应的数分别为 ∴点A到原点距离为，点B到原点距离为， ∵，且， ∴， 即在A、B两点中，到原点距离较近的点是A 故答案为：A 16． 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，先将变形得，再代入求值即可． 【详解】解：， ， ， ， 17．7 【分析】易知与是一对“对偶式”，可根据化简计算即可． 【详解】解：根据材料可知，与是一对“对偶式”， ∵， ∴ 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，熟练掌握二次根式的乘法运算及题中所给运算是解题的关键． 18．/ 【分析】本题考查了数的规律探究，涉及考查一元一次方程的应用，方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等是解题的关键． 根据横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等列出方程求解即可． 【详解】解：对角线方向上的实数相乘的结果为， 根据方格中横向、纵向及对角线方向上的实数相乘的结果都相等得， ，解得， ，解得， ，解得， ，解得， A，B，C，D之和为， 故答案为：． 19．(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加法的法则进行运算即可； （2）利用二次根式的除法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 20．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算： （1）先根据二次根式的性质化简，再计算括号内的，然后计算除法，即可求解； （2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： （2）解： 21．(1)；； (2) 【分析】（1）根据二次根式的加减法计算和的值，利用平方差公式计算的值； （2）先根据完全平方公式变形得出原式，然后再利用整体代入法计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ． 故答案为：；； （2）原式， 把，代入，可得： ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值问题，正确对所求式子变形是解本题的关键． 22．(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，代数式求值，对于（1），分子和分母都乘以，再计算化简即可； 对于（2），先化简求出a，进而得出，然后平方化简得，最后整体代入求值即可． 【详解】（1）； （2）因为，所以， 所以，即，所以， 所以． 23．(1)2 (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是分母有理化： （1）根据分母有理化是要求把分子分母同时乘以，再计算即可得到答案； （2）根据分子有理化的要求把原式变形为同分子的分数 ，再比较大小即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，，且， ∴． 24．(1)①8，15；②24，24；③5，3；④ (2) (3)转换化归 【分析】本题考查二次根式的化简．掌握题干给定的化简方法，构造完全平方公式，是解题的关键． （1）根据题干的步骤，逐一进行计算即可； （2）根据题干给定的方法，进行化简即可； （3）用到了转换化归的数学思想． 【详解】（1）解：当设（m、n均为正整数，）， ∴， 则①，， ∴②，即：， ∴③，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴④； 故答案为：①8，15；②24，24；③5，3；④ （2）解：∵， ∴设，（m、n均为正整数，）， ∴， 则，， ∴，即：， ∴，，（经验证，其他情况均不成立，故舍去）， ∴； 即：； 故答案为：； （3）他这种解决问题的策略用的是转换化归的数学思想； 故答案为：转换化归． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$