专题2.13 二次根式（知识梳理与考点分类讲解）-2024-2025学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题2.13 二次根式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式相关概念及性质 （1）二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. （2）最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. （3）同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. （4）二次根式的性质: ① ; ② ; ③ ; ④ . 【知识点二】二次根式乘除法 乘法法则：即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 即 除法法则：两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 即： 【知识点三】二次根式加减法 （1） 二次根式的加减： 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）已知实数x，y满足，z是的小数部分，求的值． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【题型2】二次根式的性质 【例2】（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）实数 在数轴上的对应点如图，求的值 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 【变式1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【变式2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 【题型4】二次根式的乘除法 【例4】（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) ； (2) ． (2) ； (4) ． 【变式1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【题型5】二次根式的加减法 【例5】（22-23八年级下·云南楚雄·期中）计算： (1)； (2)． 【变式1】（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·期中）计算的结果是 ． 【题型6】二次根式的混合运算 【例6】（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)；(4) 【变式1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【变式2】（23-24八年级下·重庆綦江·期末）已知，，则 ． 【题型7】二次根式的化简求值 【例7】（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【变式1】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【例2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)计算：； (3)若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.13 二次根式（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】二次根式相关概念及性质 （1）二次根式：式子叫做二次根式，二次根式须满足：含有二次根号“”；被开方数必须是非负数. （2）最简二次根式：若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式. （3）同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式. （4）二次根式的性质: ① ; ② ; ③ ; ④ . 【知识点二】二次根式乘除法 乘法法则：即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘. 即 除法法则：两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除. 即： 【知识点三】二次根式加减法 （1） 二次根式的加减： 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. （2）二次根式的混合运算 二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用. 第二部分【题型展示与方法点拨】 【题型1】二次根式的意义 【例1】（23-24八年级上·四川宜宾·开学考试）已知实数x，y满足，z是的小数部分，求的值． 【答案】1 【分析】本题考查二次根式有意义的条件、无理数的估算、二次根式的加减，根据二次根式的被开方数为非负数求出x、y，再求出z，然后代入求解即可 解∶ ∵，，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分为2，小数部分， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 解：由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 【变式2】（2024·辽宁·模拟预测）若二次根式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式被开方数为非负数，分式分母不为0．据此即可解答． 解：∵有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 【题型2】二次根式的性质 【例2】（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）实数 在数轴上的对应点如图，求的值 【答案】0 【分析】本题考查了实数与数轴、绝对值的性质等知识，正确判断a、b、c的大小关系是解题的关键． 根据数轴可得：，，即可化简合并求出结果． 解：∵，， ∴， ∴ ． 【变式1】（23-24八年级下·山东滨州·阶段练习）将根号外的因式移到根号内，得（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的化简．根据题意先判断，再利用二次根式性质进行化简即可． 解：∵，即， ∴， ∴， 故选：B． 【变式2】（2024九年级·全国·竞赛）若为的小数部分，为的小数部分，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】将两个根式分别用完全平方公式进行化简，再代入，即可求解，本题考查了完全平方公式，根式的化简，分母有理化。解题的关键是：熟练掌握配方法，化简根式． 解：， ， ，整数部分为， ， ， ， ，整数部分为， ， ， 故答案为：． 【题型3】最简二次根式与同类二次根式 【例3】（23-24八年级下·安徽合肥·阶段练习）如果最简二次根式与能进行合并，且化简：． 【答案】4 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简，二次根式有意义的条件，先根据最简二次根式与能进行合并得出，求出，再根据当时，，不符合题意，得出，根据，将进行化简即可． 解：由题意，得， 解得． 当时，， ， ， ， 原式． 【变式1】（21-22八年级上·上海青浦·期末）下列二次根式中，最简二次根式的是（  ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的识别，解题关键是掌握二次根式满足的条件：①被开方数的因数是整数，字母因式是整式；②被开方数不能含开得尽方的因数或因式．据此逐一判断，即可得到答案． 解：A、，故A选项不是最简二次根式，不符合题意； B、，是最简二次根式，符合题意； C、，故C选项不是最简二次根式，不符合题意； D、，故D选项不是最简二次根式，不符合题意； 故选：B． 【变式2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次根式的性质，解题的关键是正确理解最简二次根式以及同类二次根式的概念，本题属于基础题型．根据同类二次根式以及最简二次根式的定义即可求出答案． 解：由题意可知：， ， ． 故答案为：4 【题型4】二次根式的乘除法 【例4】（22-23八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) ； (2) ． (2) ； (4) ． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，二次根式的乘除运算，即可． （1）根据二次根式的乘法运算，然后再根据二次根式的加减运算，即可； （2）根据，即可； （3）根据二次根式的乘法运算，即可； （4）先根据二次根式的乘除运算，然后根据二次根式的加减运算，即可． 解：（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式1】（23-24九年级上·河南南阳·期中）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式的性质及运算法则分别运算即可判断求解，掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 解：、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 、，故该选项正确，符合题意； 、，故该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·山东青岛·期中）的相反数是 ，的倒数是 ， ． 【答案】 / / 【分析】根据相反数的定义“正负号相反的两个数互为相反数”确定的相反数；两个乘积是1的数互为倒数，据此计算的倒数；首先比较与2的大小，然后化简绝对值即可． 解：的相反数是， ∵， ∴的倒数是， ∵， ∴， ∴． 故答案为：，，． 【点拨】本题主要考查了相反数、倒数、化简绝对值、实数比较大小、二次根式运算等知识，熟练掌握相关定义以及二次根式运算法则是解题关键． 【题型5】二次根式的加减法 【例5】（22-23八年级下·云南楚雄·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握运算顺序以及化简法则． （1）先化简二次根式，再合并计算即可； （2）先算乘法，利用完全平方公式展开，再化简，最后合并． 解：（1） ； （2）解： ． 【变式1】（22-23九年级上·四川资阳·阶段练习）下列运算中正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题． 解：、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式2】（22-23八年级下·山东聊城·期中）计算的结果是 ． 【答案】0 【分析】直接化简二次根式，再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案． 解：原式 ． 故答案为：． 【点拨】此题主要考查了二次根式的加减运算，正确化简二次根式是解题关键． 【题型6】二次根式的混合运算 【例6】（23-24八年级下·山东威海·期末）计算下列各题： (1)； (2)； (3)；(4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解此题的关键． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则计算即可得出答案； （2）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可； （3）将式子变形为，再利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出答案； （4）先将分母有理化，再计算加减即可得出答案． 解：（1） ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1】（22-23八年级下·安徽阜阳·期末）按图所示的程序计算，若输入，则输出的结果是（    ） A．9 B．7 C．5 D．3 【答案】B 【分析】本题考查的是程序框图、无理数的大小估算及二次根式的混合运算，理解程序框图的含义是解本题的关键．把代入程序框图对应的代数式，再进行计算即可． 解：，， ， 把代入，得， 故选：B． 【变式2】（23-24八年级下·重庆綦江·期末）已知，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的运算和因式分解的应用，把代数式利用完全平方公式分解后代入字母的值，进行二次根式的运算即可． 解：∵，， ∴ 故答案为： 【题型7】二次根式的化简求值 【例7】（23-24八年级下·天津宁河·期中）已知，，求下列各式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式， （1）由已知得，，然后将分解因式为，再整体代入计算即可； （2）将转化为，再整体代入计算即可； 掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键． 解：（1 ∵，， ∴， ， ∴ ； （2） ． 【变式1】（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 【变式2】（23-24八年级下·四川成都·期中）已知，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，利用因式分解的方法将代数式因式分解后，再将x值代入运算即可． 解： ， ∴当时，原式 故答案为：2． 第三部分【中考链接与拓展延伸】 1、直通中考 【例1】（2024·四川南充·中考真题）如图，已知线段，按以下步骤作图：①过点B作，使，连接；②以点C为圆心，以长为半径画弧，交于点D；③以点A为圆心，以长为半径画弧，交于点E．若，则m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理，根据垂直定义可得，再根据，设，然后在中，利用勾股定理可得，再根据题意可得：，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 解：∵， ∴， ∵，设 ∴， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 故选：A 【例2】（2024·四川德阳·中考真题）将一组数，按以下方式进行排列： 则第八行左起第1个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．求出第七行共有28个数，从而可得第八行左起第1个数是第29个数，据此求解即可得． 解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：第七行共有个数， 则第八行左起第1个数是， 故选：C． 2、拓展延伸 【例1】（23-24八年级下·河北邢台·期末）比较大小： ．（填“＞”“＜”或“＝”） 【答案】= 【分析】本题考查分母有理化，二次根式的大小比较，掌握相应的法则是解题的关键． 把分母有理化即可得到答案． 解： ， 故答案为：． 【例2】（22-23九年级上·河南洛阳·阶段练习）小明在解决问题“已知，求的值”时，他是这样分析与解答的： ． ，即． ． 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)填空：_______________，_______________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)2021 (3) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握平方差公式的结构是解题关键． （1）利用平方差公式进行二次根式的分母有理化计算； （2）根据二次根式的分母有理化计算发现数字的变化规律，从而进行计算； （3）先对字母的值进行二次根式的分母有理化计算，然后代入求值． 解：（1）， ， 故答案为：，； （2）原式 ． （3） ， ． ，即． ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$