精品解析：山西省大同市新荣区2022-2023学年八年级上学期期末模拟数学试题

大同市新荣区2022-2023学年 八年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（ ） A. 长的木条 B. 长的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不可以 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，则这个正多边形的边数是（ ） A. 十二 B. 十一 C. 十 D. 九 5. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A B. C D. 6. 现有两根木棒，它们的长是20cm和30cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ） A. 10cm B. 50cm C. 60cm D. 40cm 7. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 8. 如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 9. 如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 二．填空题（共5题，总计15分） 11. 分解因式：________． 12. 若等腰三角形一内角为，则一腰上的高与另一腰的夹角度数为______． 13. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 15. 如图，在中，与相交于点F，且，则之间数量关系是_____________． 三．解答题（共8题，总计75分） 16. 解答下列各题 （1）计算： （2）分解因式： 17. 先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴； （2）请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 19. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF． 求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE； （2）OE＝OF． 20. 如图，直线是中BC边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． （1）求的最小值，并说明理由． （2）求周长的最小值． 21. 阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． （1）材料例1中，分组的目的是_________． （2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． （3）利用分组分解法进行因式分解：． 22. 一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 23 课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 大同市新荣区2022-2023学年 八年级（上）数学期末模拟测试 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分．下列各题，每小题只有一个选项符合题意．） 1. 下列防疫的图标中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合．利用定义知到答案． 【详解】解：轴对称图形定义：把一个图形沿某条直线对折，对折后直线两旁的部分能完全重合．发现A，B，D都不符合定义，所以A，B，D都错误，只有C符合，所以C正确． 故答案为C． 【点睛】本题考查轴对称图形的定义，掌握定义，利用定义解决问题是关键． 2. 王师傅想做一个三角形的框架，他有两根长度分别为和的木条，需要将其中一根木条分为两段，如果不考虑损耗和接头部分，那么可以分为两段的木条是（ ） A. 长的木条 B. 长的木条 C. 两根都可以 D. 两根都不可以 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系：三角形的任意两边之和大于第三边解答即可． 【详解】若将长的木条分为两段，则分成的两段木条的长度之和为，大于，能组成三角形，故可以将长的木条分为两段； 若将长的木条分成两段，则分成的两段木条的长度之和为，小于，不能组成三角形，故不可以将长的木条分为两段； 故选B． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系在实际中的应用，属于基本题型，熟练掌握三角形的三边关系是关键． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式除以单项式，先把原式变形为，再分别计算单项式除以单项式，最后合并同类项即可，熟知相关计算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故选A． 4. 一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，则这个正多边形的边数是（ ） A. 十二 B. 十一 C. 十 D. 九 【答案】A 【解析】 【分析】先求出这个正多边形的一个外角等于，再根据多边形的外角和等于即可得． 【详解】解：一个正多边形，它的一个内角恰好是一个外角的5倍，且一个内角与一个外角的和为， 这个正多边形的每个外角都相等，且外角的度数为， 这个正多边形的边数为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正多边形的外角和，熟练掌握正多边形的每个外角都相等，且外角和等于是解题关键． 5. 下列式子从左到右的变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据因式分解的定义判断即可． 【详解】解：A．是整式的乘法，故A错误； B．把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故B正确； C．因式分解出现错误，，故C错误； D．没把一个多项式转化成几个整式积乘积的形式，故D错误； 故选B． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，熟记因式分解的定义是解题的关键，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解． 6. 现有两根木棒，它们的长是20cm和30cm，若要钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（ ） A. 10cm B. 50cm C. 60cm D. 40cm 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析． 【详解】解：根据三角形三边关系， ∴三角形的第三边x满足：，即， 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键． 7. 下列说法正确的是（ ） A. 代数式是分式 B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C. 分式的值为0，则x的值为 D. 分式是最简分式 【答案】D 【解析】 【分析】根据分式的定义，一般地，如果、（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式，逐项分析判断即可 【详解】A. 代数式不是分式，故该选项不正确，不符合题意； B. 分式中x，y都扩大3倍，分式的值扩大3倍，故该选项不正确，不符合题意； C. 分式的值为0，则x的值为，故该选项不正确，不符合题意； D. 分式是最简分式，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的定义，分式的性质，分式的值为0的条件，最简分式的定义，掌握以上知识是解题的关键． 8. 如图，中，AD为中线，，，，则AC长（ ） A. 2.5 B. 2 C. 1 D. 1.5 【答案】D 【解析】 【分析】延长AD到E，使AD=ED，连接BE，证明△BED≌△CAD，根据全等三角形的性质可得BE=AC，∠BED=∠CAD=90°，在Rt△AEB中，∠BAE=30°，，根据30°角直角三角形的性质即可求得AC的长． 【详解】延长AD到E，使AD=ED，连接BE， ∵AD为中线， ∴BD=CD， 在△BED和△CAD中， ∴△BED≌△CAD（SAS）， ∴BE=AC，∠BED=∠CAD， ∵， ∴∠CAD=90°， ∴∠BED=∠CAD=90°， 在Rt△AEB中，∠BAE=30°，， ∴AC==1.5． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质、30°角直角三角形的性质，正确作出辅助线，构造全等三角形是解决问题的关键． 9. 如图，等边三角形与互相平行的直线a，b相交，若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质及平行线的判定和性质，作直线的平行线，根据平行线的性质及等边三角形的性质即可得答案，准确构造辅助线是解题的关键． 【详解】解：过点C作， ∵直线， ∴， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 10. 如图，是等边三角形，D是线段上一点（不与点重合），连接，点分别在线段的延长线上，且，点D从B运动到C的过程中，周长的变化规律是（ ） A. 不变 B. 一直变小 C. 先变大后变小 D. 先变小后变大 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，由“”可证，由全等三角形的性质可得，可得周长，即可求解． 【详解】是等边三角形， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 在和中，， ， ， 则周长为， 在点D从B运动到C的过程中，长不变，长先变小后变大，其中当点D运动到的中点位置时，最小， 在点D从B运动到C过程中，周长的变化规律是先变小后变大， 故选：D． 二．填空题（共5题，总计15分） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可得． 【详解】解：原式， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了综合利用提公因式法和公式法进行因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． 12. 若等腰三角形一内角为，则一腰上的高与另一腰的夹角度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】由题意，等腰三角形的一内角为40°，分两种情况解答，①当底角为40°时，②当顶角为40°时，根据等腰三角形的性质，解答出即可． 【详解】解：①如图一，当底角为40°时， ∵∠BDC=90°，∠C=40°， ∴∠DBC=90°-40°=50°， ∴∠ABD=50°-40°=10°； ②如图二，当顶角为40°时， ∵∠A=40°， ∴∠C=∠ABC=70°， 在直角△DBC中， ∵∠BDC=90°， ∴∠ABD=90°-40°=50°． 故答案为：或 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，知道等腰三角形的一内角为40°，有可能是顶角或底角为40°，读懂题意，是解答本题的关键． 13. 如图，已知，添加下列条件中的一个：①，②，③，其中不能确定≌△的是_____（只填序号）． 【答案】② 【解析】 【分析】一般三角形全等的判定方法有SSS，SAS，AAS，ASA，据此可逐个对比求解． 【详解】∵已知，且 ∴若添加①，则可由判定≌； 若添加②，则属于边边角的顺序，不能判定≌； 若添加③，则属于边角边的顺序，可以判定≌． 故答案为②． 【点睛】本题考查全等三角形几种基本判定方法，只要判定方法掌握得牢固，此题不难判断． 14. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒、组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，，点D、E可在槽中滑动．若，则的度数是_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质以及三角形的内角和和三角形外角的性质，根据，可得，，根据三角形的外角性质可知，进一步根据三角形的外角性质可知，即可求出的度数，进而求出的度数． 【详解】解：， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，与相交于点F，且，则之间的数量关系是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用同角的余角相等得到=，再通过证，得到即，再 利用三角形内角和得可得，最后利用角的和差即可得到答案，=． 【详解】证明：∵， ∴， ∴= 又∵， ∴ ∴即 ∵ ∴即 ∴= 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质、内角和定理以及全等三角形的判定和性质，能通过性质找到角与角之间的关系是解答此题的关键． 三．解答题（共8题，总计75分） 16 解答下列各题 （1）计算： （2）分解因式： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用整式乘法中的单项式乘以多项式法则、完全平方公式、平方差公式进行计算，去掉括号后进行合并同类项即可得出答案． （2）首先提取公因式，再对后面的多项式因式利用完全平方公进行分解即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 【点睛】本题考查了整式的混合运算、因式分解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 17. 先化简，再求值：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2，其中a＝4． 【答案】﹣11a+31，-13. 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将a的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解：（2﹣a）（3+a）+（a﹣5）2 ＝6+2a﹣3a﹣a2+a2﹣10a+25 ＝﹣11a+31， 当a＝4时，原式＝﹣11×4+31＝﹣44+31＝﹣13． 【点睛】本题考查整式的混合运算﹣化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法． 18. 在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别为． （1）请在如图所示的网格内作出x轴、y轴； （2）请作出关于y轴对称的，并写出点的坐标； （3）求出的面积． 【答案】（1）见解析 （2）图见解析， （3）4 【解析】 【分析】本题考查了作图——轴对称图形，坐标与图形，写出直角坐标系中点的坐标，利用网格求三角形面积，正确建立直角坐标系是解题关键． （1）根据所给坐标建立直角坐标系即可； （2）作出关于y轴对称的即可，根据图形即可得到的坐标； （3）利用网格求出三角形面积即可． 【小问1详解】 解：如图，根据，点C向右平移1个格为y轴，点C向下平移3个格为x轴，两轴交点为原点O； 【小问2详解】 如图，即为所求， ； 【小问3详解】 ． 19. 如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF． 求证：（1）Rt△ABF≌Rt△DCE； （2）OE＝OF． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由于△ABF与△DCE是直角三角形，根据直角三角形全等的判定的方法即可证明； （2）先根据三角形全等的性质得出∠AFB＝∠DEC，再根据等腰三角形的性质得出结论． 【详解】证明：（1）∵BE＝CF， ∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE， ∵∠A＝∠D＝90°， ∴△ABF与△DCE都为直角三角形， 在Rt△ABF和Rt△DCE中 ∵， ∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）； （2）∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证）， ∴∠AFB＝∠DEC， ∴OE＝OF． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的判定定理，掌握HL判断两个直角三角形全等，是解题的关键． 20. 如图，直线是中BC边垂直平分线，点P是直线m上的一动点，若，，． （1）求的最小值，并说明理由． （2）求周长的最小值． 【答案】（1）6，理由见解析 （2）10 【解析】 【分析】（1）根据线段的性质即可得到结论； （2）根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，AP+CP值的最小，求出AB长度即可得到结论． 【小问1详解】 解：当A,B,P三点共线时，PA+PB最小短 ； 原因：两点之间，线段最短． 【小问2详解】 ∵直线m是BC的垂直平分线，点P在m上， ∴点C关于直线m的对称点是点B， 则， ∵， ∵， 要使周长最小， 即最小， 当点P是直线m与AB的交点时，最小， 即，此时． 【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题的应用，解此题的关键是找出P的位置． 21. 阅读以下材料，并解决问题： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式则不能直接用上述两种方法进行分解，比如多项式．．这样我们就需要结合式子特点，探究新的分解方法．仔细观察这个四项式，会发现：若把它的前两项结合为一组符合平方差公式特点，把它的后两项结合为一组可提取公因式，而且对前后两组分别进行因式分解后会出现新的公因式，提取新的公因式就可以完成对整个式子的因式分解．具体过程如下： 例1： ……………………分成两组 ………………分别分解 ………………………提取公因式完成分解 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法．分组分解法一般是针对四项或四项以上的多项式，关键在恰当分组，分组须有“预见性”，预见下一步能继续分解，直到完成分解． （1）材料例1中，分组的目的是_________． （2）若要将以下多项式进行因式分解，怎样分组比较合适？ _____________； _____________． （3）利用分组分解法进行因式分解：． 【答案】（1）分组后能出现公因式，分组后能应用公式 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题主要考查的因式分解的方法，掌握提取公因式法公式法分解因式，理解分组分解的方法是解题的关键． （1）根据因式分解的方法“提取公因式，公式法”即可求解； （2）根据材料提示的“分组分解法”进行分解因式即可求解； （3）运用分组分解法进行分解因式，先把前三项看做一个整体，是完全平方公式，再与后一项结合，运用平方差公式分解因式即可求解． 【小问1详解】 解：分组后能出现公因式，分组后能应用公式； 【小问2详解】 解：，前两项为一组，后一项为一组， ∴原式， ，第一项和第三项作为一组，第二、四、五项作为一组， ∴原式， 故答案为：，． 【小问3详解】 解： ． 22. 一项工程，甲，乙两公司合做，12天可以完成，共需付施工费102000元；如果甲，乙两公司单独完成此项工程，乙公司所用时间是甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元． （1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司的施工费较少？ 【答案】（1）甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天；（2）让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【解析】 【分析】（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天，根据“甲、乙两公司合做，12天可以完成这项工程”，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元，根据“甲、乙两公司合做，12天的施工费为102000元”，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出y值，再利用施工费=每天需付的施工费×施工天数，可分别求出甲、乙两队单独完成这项工程所需的施工费，比较后即可得出结论． 【详解】解：（1）设甲公司单独完成此项工程需x天，则乙公司单独完成此项工程需1.5x天． 根据题意，得， 解得x=20． 经检验，x=20是方程的解且符合题意． 1.5 x=30． ∴甲，乙两公司单独完成此项工程，各需20天，30天． （2）设乙公司每天的施工费为y元，则甲公司每天的施工费为（y+1500）元， 依题意得：12y+12（y+1500）=102000， 解得：y=3500． ∴甲公司单独完成这项工程所需施工费为（3500+1500）×20=100000（元）， 乙公司单独完成这项工程所需施工费为3500×30=105000（元）． ∵100000＜105000， ∴若让一个公司单独完成这项工程，甲公司的施工费较少． 【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 23 课堂上，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，平分交于点D，且，求证：，小明的方法是：如图2，在上截取，使，连接，构造全等三角形来证明． （1）小天提出，如果把小明的方法叫做“截长法”，那么还可以用“补短法”通过延长线段构造全等三角形进行证明．辅助线的画法是：延长至F，使=______，连接请补全小天提出的辅助线的画法，并在图1中画出相应的辅助线； （2）小芸通过探究，将老师所给的问题做了进一步的拓展，给同学们提出了如下的问题： 如图3，点D在的内部，分别平分，且．求证：．请你解答小芸提出的这个问题（书写证明过程）； （3）小东将老师所给问题中的一个条件和结论进行交换，得到的命题如下： 如果在中，，点D在边上，，那么平分小东判断这个命题也是真命题，老师说小东的判断是正确的．请你利用图4对这个命题进行证明． 【答案】（1），证明见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）延长至F，使，连接，根据三角形的外角性质得到，则可利用证明，根据全等三角形的性质可证明结论； （2）在上截取，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质即可证明结论； （3）延长至G，使，连接，则可利用证明，根据全等三角形的性质、角平分线的定义即可证明结论． 【小问1详解】 证明：（1）如图1，延长至F，使，连接，则， ∴， ∵平分 ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 证明：如图3，在上截取，使，连接 ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 证明：如图4：延长至G，使，连接，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，即平分． 【点睛】本题主要考查的是三角形全等的判定和性质、角平分线的定义等知识点，灵活运用全等三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$