7.3.2复数乘、除运算的三角表示及其几何意义 说课稿-2023-2024学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

《7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》说课稿 一、说教材的地位和作用 《复数乘、除运算的三角表示及其几何意义》是高中数学人教A版（2019）必修第二册第七章第三节的内容。这一章节的教学内容，一方面对复数四则远算尤其是乘除运算起到了补充作用，另一方面解决乘除运算的几何意义的问题。复数的乘法、除法、乘方和开方，用三角表示非常简洁，而且反映本质。另外通过建立起与向量的旋转、伸缩的联系在解决实际问题时候十分便捷。例如证明线段相等, 可转化成证明两复数(或向量)的模相等;证垂直问题, 就可转化成将一向量绕端点旋转 , 也就是将向量所对应的复数乘以;又如轨迹问题, 平面中的许多图形都可以用复数形式表达, 也可借助复数及向量来解决。 二、学生学习情况分析 显性知识层面：学生通过高一上学期的学习已经掌握了向量、三角函数以及三角恒等变换等相关知识。学生经过本章前几课时的学习，已经掌握了复数的代数形式、复数的四则运算、复数的几何意义以及代数形式下的复数加减的几何意义、复数的三角表达式。 隐形思想层面：他们具有运用数形结合、化归与转化、类比等思想方法解决数学问题的意识。但是在具体情境的应用中，比如本节在探究复数乘、除运算的几何意义时，学生使用这些方法可能会遇到困难。 三、教学目标以及重难点分析 教学目标： ①经历复数的代数表达式、复数加减运算的几何意义的学习理解复数乘除的三角表示式以及相应的几何意义。 ②通过体验复数三角表达式解决复数乘除运算几何意义的过程，体验数学新旧知识之间的紧密联系，提升学生类比总结的能力，培养其相关核心素养，为大学学习复变函数等高等数学知识打好基础。 教学重点：复数乘、除运算的三角表示式的理解和掌握，乘、除运算几何意义的掌握和应用。 教学难点：如何建立起复数乘除运算的几何意义与向量的旋转、伸缩之间联系。 四、教学方法分析 问题探究法：根据学生认知规律，在教学中按照提出问题——分析问题——解决问题次序进行。本节课中按照复数乘除运算三角表示式示什么？复数乘除几何意义是什么？——通过特殊复数三角表示式的乘法及其几何意义的观察——推导出一般形式下复数乘除三角表示式及其几何意义。 练习法：是指在教师指导下巩固与应用知识，掌握技能与技巧的方法。本节中学生通过完成教师设置的练习题来内化相关概念和知识。 5、 教学过程分析 ①创设问题情境 分别对向量做如下变换，并求变换后的向量坐标。 ①伸长到原来的两倍，方向不变； ②逆时针旋转，长度不变； ③逆时针旋转，同时伸长到原来的两倍。 设计意图：学生通过常规方法计算新的向量，引出今天学习主题——复数乘、除运算的三角表示及其几何意义。利用复数乘除运算几何意义简化计算过程！ ②构建新知（一）——复数乘法运算的三角表示式及其几何意义 问题1：写出三角表示式，并说出两个复数模长和主辐角大小。 问题2：计算（值同问题1），用三角表示式表示乘积的结果。并说出乘积的模长和主辐角，和问题1结果比较发现了什么？是不是巧合？ 问题3：请尝试在三角形式下推导复数、 的乘积(结果用三角形式表示)。并说说乘积的模长和辐角，对比的模长和辐角，发现了什么？ 三角形式下的复数、乘积 。 总结：两个复数相乘，积的模等于各复数的模的积，积的辐角等于各复数的辐角的和！ 设计意图：问题1和2的设置从特殊复数入手，得出复数乘积的模长为原来两个复数模长之积，辐角主值为两个复数主辐角之和，进一步讨论，由于三角函数具有周期性，当辐角不取主值时积的辐角依旧为两个复数辐角之和。由此引起学生进一步思考：对于任意的两个复数，是否有相应结论成立？问题3的设置恰好解决了一般性的问题，得出结论。 复数加减运算几何意义都是借助向量来说明的，因此乘法几何意义我们依旧借助向量说明。而描述向量时从模长和方向两个方面进行分析，因此设置了如下三个活动探究复数乘法几何意义。 活动一：学生在教师的指导下利用多媒体画出对应的向量，借助积的三角表示式画出对应的向量。并用自己语言描述积的向量如何由得到？ 活动二：学生在教师的指导下利用多媒体画出对应的向量，借助积的三角表达式画出对应的向量。并用自己语言描述积的向量如何由向量得到？ 活动三：学生在教师的指导下利用多媒体画出对应的向量，借助积的三角表达式画出对应的向量。并用自己语言描述积的向量如何由向量得到？ 通过三个例子总结一般性结论：设复数的模长和辐角分别为，复数的乘法对应的向量，就是由被乘数所对应的向量按逆时针方向旋转一个角（如果则按顺时针方向旋转一个角 ）再把其模变为原来的倍（应伸长；应缩短；模长不变），所得的向量就表示复数的积，这是复数乘法的几何意义。 思考题：请解释和的几何意义！ 重新思考课前提出的问题，能否借助刚刚学习的知识加以解决 分别对向量做如下变换，并求变换后的向量坐标。 ①伸长到原来的两倍，方向不变； ②逆时针旋转，长度不变； ③逆时针旋转，同时伸长到原来的两倍。 问题②③用复数乘法几何意义来解决：， ②构建新知（二）——复数除法的三角表示式及其的几何意义 问题4：计算的值，结果用三角形式表示。其中、并比较商的模长和辐角与模长和辐角的关系？ 问题5：根据除法是乘法逆运算，请尝试在三角形式下推导复数 、的商，其中。 设计意图：学生通过特殊复数除法得出结论，利用复数一般形式验证结论，即：，两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。加深了对复数三角形式下除法概念的理解。 问题6：借助复数除法是乘法的逆运算以及复数乘法的几何意义，用自己的语言归纳复数除法的几何意义。 ③例题精讲——棣莫弗公式的介绍 例1：已知，求，请把结果化为代数形式，并作出几何解释。 例2：已知，求。能否总结复数的表达式。 例3：计算，把结果化为代数形式并在平面直角坐标系中画出被除数、除数、商所对应向量。 设计意图：例2设计意图，通过特殊复数总结出规律，更一般的扩展出下面的棣莫弗公式：对任何正整数，有： ④小结与作业布置 小结： （1）复数乘法的三角表达式、乘法的几何意义、复数乘法公式的扩展——棣莫弗公式。 （2）复数除法的三角表达式、除法几何意义。 作业布置： 必做题：课本90页练习3、4、7 思考题：我们知道在实数范围内方程只有唯一一个解1，如果扩充到复数范围，请借助复数乘法的三角表达式思考该方程有几个解？ 学科网（北京）股份有限公司 $$