高考数学中一类关于零点的难度较大的填空与选择题解法

高考数学中一类关于零点的难度较大的填空与选择题解法 山东东营 徐新华 纵观近几年的高考数学题，出现了许多关于零点的填空题与选择题，其中尤以天津高考数学卷为代表。这类题型多为根据含参的函数（或方程）满足一定的条件，求参数的取值范围的问题，这些含参的函数（或方程）可以是二次函数、绝对值函数、无理函数等形式及其组合。这类题型往往具有方法性强、难度大、得分率极低等特点，解答时，一定要将函数的零点、方程的根、方程组的解、两线的公共点的联系理解到位，同时还要不断强化思想、数形结合思想的渗透，力求将问题简单化和直观化。 1.（2024天津高考数学的15题）若函数f(x)=2 -|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围 为 。 解析：方法一 第一种情况：当a=0时,f(x)=2|x|-1,函数f(x)有两个零点-，， 不合题意。 第二种情况：当a>0时，由x2-ax≥0得x≥a或x≤0. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1(Ⅰ)有且只有一个实数根,方程(Ⅰ)化为2=ax-3 (x≥)①或2=-ax+1(x<)② 易得当≤x<时方程①无实数根；当<x<时方程②无实数根； 即当<x<时方程①与②都无实数根。 此时方程(Ⅰ)的根问题转化2=ax-3 (x≥)或 2=-ax+1(x≤)的根的问题， 即方程(-4)-2ax+9=0 (x≥)或(-4)+2ax+1=0(x≤)的根的问题。 令g(x)=(-4)-2ax+9 (x≥)③, h(x)=(-4)+2ax+1(x≤)④. 当a=2时，函数③与④分别有且只有一个零点，∴f(x)有两个零点，不合题意。 当a≠2时，g(x)=(-4)-2ax+9与, h(x)=(-4)+2ax+1都为二次函数，对称轴及判别式分别为 (1)当0<a≤1时，a≤<, ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≥}={x|x≥} ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≤}={x|x≤0或a≤x≤} 此时函数③为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≥) >0,g()=<0,如图1，函数③没有零点； 此时函数④化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≤0或a≤x≤)，其中>0, h(a)=(a2-1)2≥0,h()=≤0,当a=1时，h(a)=h()=0，如图2， 函数④总有两个零点； 即函数③与④合计有2个零点，不合题意。 (2)当1<a<时，<a<, ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≥}={x|x≥} ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≤}={x|x≤0} 此时函数③为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≥)同(1)，没有零点； 此时函数④化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≤0)， 如图3，函数④有且只有一个零点； 即函数③与④合计有且只有一个零点，符合题意。 (3)当≤a<2时，≤a<2, ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≥}={x|x≥a} ∴{x|x≥a或x≤0}∩{x|x≤}={x|x≤0} 此时函数③化为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≥a),>0,g(a)=(a2-3)2≥0, 如图4，函数③有且只有一个零点； 此时函数④为h(x)=(-4)+2ax+1(x≤0)，同(2)，有且只有一个零点； 即函数③与④合计有两个零点，不符合题意。 (4) 当a>2时，a>，a2-4>0, >0, {x|x≥a或x≤0}∩{x|x≤}={x|x≤0} 此时函数④化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≤0)， 如图5，函数④有两个零点； 即函数③与④合计至少有两个零点，不符合题意。 综合(1)(2)(3)(4)得a>0时，③与④合计有且只有一个零点时a的取值范围是（1，）。 第三种情况：当a<0时，由x2-ax≥0得x≥0或x≤a. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1（Ⅱ）有且只有一个实数根, 方程（Ⅱ）化为2=ax-3 (x≤)❶或2=-ax+1(x>)❷ 易得当<x≤时方程❶无实数根；当<x<时方程❷无实数根； 即当<x<时方程❶与❷都无实数根。 此时方程(Ⅱ)的根问题转化 2=ax-3 (x≤)或=-ax+1(x≥)的根的问题， 即方程(-4)-2ax+9=0 (x≤)或(-4)+2ax+1=0(x≥)的根的问题。 令g(x)=(-4)-2ax+9 (x≤)❸, h(x)=(-4)+2ax+1(x≥)❹. 当a=-2时，函数❸与❹分别有且只有一个零点，∴f(x)有两个零点，不合题意。 当a≠-2时，g(x)=(-4)-2ax+9与h(x)=(-4)+2ax+1都为二次函数，对称轴及判别式分别为 (ⅰ)当-1≤a<0时，a≥>, ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≤}={x|x≤} ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≥}={x|x≥0或≤x≤a} 此时函数❸为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≤) >0,g()=<0,如图6，函数❸没有零点； 此时函数❹化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≥0或≤x≤a)，其中>0, h(a)=(a2-1)2≥0,h()=≤0,当a=-1时，h(a)=h()=0，如图7， 函数❹总有两个零点； 即函数❸与❹合计有2个零点，不合题意。 (ⅱ)当-<a<-1时，<a< ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≤}={x|x≤} ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≥}={x|x≥0} 此时函数❸为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≤)同（ⅰ），没有零点； 此时函数❹化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≥0)， 如图8，函数❹有且只有一个零点； 即函数❸与❹合计有且只有一个零点，符合题意。 (ⅲ)当-2<a≤-时，-2<a≤< ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≤}={x|x≤a} ∴{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≥}={x|x≥0} 此时函数❸化为g(x)=(-4)-2ax+9 (x≤a) g(a)=(a2-3)2≥0,如图9，函数❸有且只有一个零点. 此时函数❹化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≥0)， 函数❹同（ⅱ)有且只有一个零点； 即函数❸与❹合计有两个零点，不符合题意。 (ⅳ)当a<-2时，a<，a2-4>0,{x|x≥0或x≤a}∩{x|x≥}={x|x≥0} ∴此时函数❹化为h(x)=(-4)+2ax+1(x≥0)， 如图10，函数❹有两个零点； 即函数❸与❹合计至少有两个零点，不符合题意. 综合(ⅰ)(ⅱ)(ⅲ)(ⅳ)得a<0时，❸与❹合计有且只有一个零点时a的取值范围是（-，-1）。 综上所述:函数f(x)有且只有一个零点时a的取值范围是 （-，-1）∪（1，）. 1.（2024天津高考数学的15题）若函数f(x)=2 -|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围 为 。 解析：方法二 第一种情况：当a=0时,f(x)=2|x|-1,函数f(x)有两个零点-，， 不符合题意. 第二种情况：当a>0时，由x2-ax≥0得x≥a或x≤0. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1有唯一实数根，即方程组（*）有唯一实数解。 转化为曲线（x≥a或x≤0，y≥0）与 折线有唯一的公共点。 令曲线化为2-2（≥1或≤-1，≥0）Ⓐ; 曲线Ⓐ的渐近线的斜率为1和-1. 将代入折线中得 即|+| = （a>0) Ⓑ 折线Ⓑ可看作由射线= 与射线=两部分组成。 射线与的公共点为M(,)，所在直线的斜率分别为与-； 当a=2时，折线为,该折线过点（0，-），其中两条射线所在直线的斜率分别为1与-1，∴该折线Ⓑ与曲线Ⓐ一定有两个不同的公共点，不符合题意. 当0<a≤1时，0<||<1，公共点M(,)在第四象限，两条射线所在直线的斜率的绝对值都小于曲线Ⓐ的渐近线的斜率的绝对值， ∵h(-1)=>0, h(1)=-a +≥0，∴射线与曲线Ⓐ有两个的公共点， ∵g(-1)=-<0, g(1)=a - <0，∴射线与曲线Ⓐ没有公共点；如图㈠，故折线Ⓑ与曲线Ⓐ至少有两个的公共点，不符合题意. 当1<a<2时，公共点M(,)在第四象限，∵h(-1)=>0, h(1)=-a +< 0，∴射线与曲线Ⓐ有唯一的公共点，如图㈡， ∵g(-1)=-<0, g(1)=a - ，∴当且仅当 g(1)<0时射线与曲线Ⓐ没有公共点；由a-<0得a<.即当1<a<时，折线Ⓑ与曲线Ⓐ有唯一的公共点。 当a>2时，公共点M(,)在第三象限，两条射线所在直线的斜率的绝对值都大于曲线Ⓐ的渐近线的斜率的绝对值，此时射线与曲线Ⓐ没有公共点；如图㈢，∵h(-1)=>0, h(1)=-a +< 0，现在证明射线与曲线Ⓐ不会有唯一的公共点（即切点）。 假设射线与曲线Ⓐ相切于点（m,n），则m-n=1, m+n=1, = - ; ∴ + = , ∴) + = ∴n= , m= .易得m,n的这一组数值不符合m2-n2=1,即射线与曲线Ⓐ不会有唯一的公共点（即切点）。 故折线Ⓑ与曲线Ⓐ不会有唯一的公共点。 综上，当a>0时，折线Ⓑ与曲线Ⓐ有唯一的公共点时，a的取值范围是（1，）。 由得程组（*）有唯一实数解，。 第三种情况：当a<0时，由x2-ax≥0得x≥0或x≤a. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1有唯一实数根，即方程组（*）有唯一实数解。 转化为曲线（x≥0或x≤a，y≥0）与 折线有唯一的公共点。 令曲线化为2-2（≥1或≤-1，0）Ⓒ; 曲线Ⓐ的渐近线的斜率为1和-1. 将代入折线中得 即|+| =(a<0) Ⓓ ∴由第二种情况得当1<-a<，即-<a<-1时，曲线Ⓒ与折线Ⓓ 有唯一公共点。 综上，当a<0时，折线Ⓑ与曲线Ⓐ有唯一的公共点时，a的取值范围是（-，-1）； 由得程组（*）有唯一实数解。 综上所述:函数f(x)有且只有一个零点时a的取值范围是 （-，-1）∪（1，）. 1.（2024天津高考数学的15题）若函数f(x)=2 -|ax-2|+1有唯一零点，则a的取值范围 为 。 解析：方法三 第一种情况：当a=0时,f(x)=2|x|-1,函数f(x)有两个零点-，， 不符合题意. 第二种情况：当a>0时，由x2-ax≥0得x≥a或x≤0. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1有唯一实数根，即方程组（*）有唯一实数解。 转化为曲线（x≥a或x≤0，y≥0）与 折线有唯一的公共点。 令曲线化为2-2（≥1或≤-1，≥0）Ⓐ; 曲线Ⓐ的渐近线的斜率为1和-1. 将代入折线中得 即|+| = （a>0）Ⓑ 折线Ⓑ可看作由射线= 与射线=两部分组成。 射线与的公共点为M(,)，所在直线的斜率分别为与-； 当a=2时，折线为,该折线过点（0，-），其中两条射线所在直线的斜率分别为1与-1，∴该折线Ⓑ与曲线Ⓐ一定有两个不同的公共点，不符合题意. 当a≠2时，联立得2-[2=1, ∴2--=0. =（）2+=， ∴= ∴=； =; 将，分别代入得 =;=. 即或 （1）当0<a≤1时，公共点（，，（，都在曲线Ⓐ上，分别位于第一，二象限的分支上，射线与曲线Ⓐ有两个公共点，不合题意。 （2）当1<a<2时，只有公共点（，在曲线Ⓐ上，此时，射线所在直线的斜率大于0且小于1，公共点为M(,)位于第四象限，当且仅当射线上的点（1，a-)位于点（1，0）的下方时，射线与曲线Ⓐ没有公共点；如下图，由a-<0得a<.即当1<a<时，折线与曲线Ⓐ有唯一的交点。 （3）当a>2时，公共点（，，（，都在曲线Ⓐ位于第二象限的分支上，射线与曲线Ⓐ有两个公共点，不合题意。 综上：当a>0时，折线Ⓑ与曲线Ⓐ有唯一的公共点时，a的取值范围是（1，）. 由得程组（*）有唯一实数解。 第三种情况：当a<0时，由x2-ax≥0得x≥0或x≤a. 令f(x)=0得：关于x的方程2=|ax-2|-1有唯一实数根，即方程组（*）有唯一实数解。 转化为曲线（x≥0或x≤a，y≥0）与 折线有唯一的公共点。 令曲线化为2-2（≥1或≤-1，0）Ⓒ; 曲线Ⓐ的渐近线的斜率为1和-1. 将代入折线中得 即|+| = （a<0）Ⓓ 用折线Ⓓ中的a代替折线Ⓑ中的-a,由第二种情况得，当1<-a<，即-<a<-1时，曲线Ⓒ与折线Ⓓ有唯一公共点。 综上，当a<0时，折线Ⓑ与曲线Ⓐ有唯一的公共点时，a的取值范围是（-，-1）； 由得程组（*）有唯一实数解。 综上所述:函数f(x)有且只有一个零点时a的取值范围是 （-，-1）∪（1，）. 2.（2023天津高考数学的15题） 函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且只有两个零点， 则a的取值范围为 。 解析：函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且只有两个零点，转化为方程 ax2-2x=|x2-ax+1|有且只有两个不等的实数根，即函数g(x)=ax2-2x与 h(x)=|x2-ax+1|有且只有两个公共点。 （1） 当a=0时，g(x)=-2x与h(x)=x2+1的图像有且只有一个公共点 （-1，2），不合题意。 （2） 当a=1时，g(x)=x2-2x与h(x)=|x2-x+1|（即h(x)=x2-x+1）的图像 有且只有一个公共点（-1，3），不合题意。 （3）当0<a≤2且a≠1时,a2-4≤0, x2-ax+1≥0, ∴h(x)=x2-ax+1.方程 ax2-2x=|x2-ax+1|化为(a-1)x2+(a-2)x-1=0,解得x=-1或x=;符合题意。 （4）当a>2时，a2-4>0, 方程x2-ax+1=0有两个不等的实数根x1，x2（不妨设x1<x2）。 h(x)=|x2-ax+1|=即 h(x)=|x2-ax+1|= ∵x1x2=1>0, x1+x2=a>0, ∴0<x1<x2, h(x)的图像如图由实线①②两部分组成; ∵g(x)的零点分别为0，，且()2-a+1=<0，∴g(x)与h(x)的图像②有且只有一个公共点（m,n) 。 联立g(x)与h(x)的①得ax2-2x=x2-ax+1，∴（a-1）x2+（a-2)x-1=0, 解得x=-1或x=，∵()2-a+1=<0，∴x=不合要求， 即当a>2时，g(x)与h(x)的图像有且只有两个公共点（-1，2-a）,（m,n), 符合题意。 （5）当-2≤a<0且a≠-1时,a2-4≤0, x2-ax+1≥0, ∴h(x)=x2-ax+1.方程 ax2-2x=|x2-ax+1|化为(a-1)x2+(a-2)x-1=0,解得x=-1或x=;符合题意。 （6）当a<-2时，a2-4>0, 方程x2-ax+1=0有两个不等的实数根x1，x2（不妨设x1<x2）。 h(x)=|x2-ax+1|=即 h(x)=|x2-ax+1|= ∵x1x2=1>0, x1+x2=a<0, ∴x1<x2<0, h(x)的图像如图由实线①②两部分组成; ∵g(x)的零点分别为0，，且()2-a+1=<0，∴g(x)与h(x)的图像②有且只有一个公共点（p,q) 。 联立g(x)与h(x)的①得ax2-2x=x2-ax+1，∴（a-1）x2+（a-2)x-1=0, 解得x=-1或x=，∵()2-a+1=>0，∴x=符合要求， 但（-1）2-a（-1）+1=a+2<0, ∴x=-1不合要求， 即当a<-2时，g(x)与h(x)的图像有且只有两个公共点（p,q), (,)符合要求。 综上所述：函数f(x)=ax2-2x-|x2-ax+1|有且只有两个零点时，a的取值范围为（ - ，0）∪（0，1）∪（1，+ ）. 3.（2022天津高考数学的15题） 设aR,对任意的实数x，记f(x)=min{|x|-2, x2-ax+3a-5},若f(x)至少有三个零点，则a的取值范围为 。 解析：∵g(x)=|x|-2有两个零点，若f(x)至少有三个零点，则h(x)=x2-ax+3a-5至少有一个零点，=(-a)2-4(3a-5)=a2-12a+20≥0, ∴a≤2或a≥10. 当h(x)的所有零点都不小于2或都不大于-2时，f(x)至少有三个零点，如图㈠、㈡。 当h(x)有两个零点，并且至少有一个零点在区间（-2,2）上时，f(x)有且只有两个零点。如图㈢、㈣。 当h(x)有两个零点，并且一个零点不大于-2时，另一个零点不小于2时f(x)有且只有两个零点。如图㈤。 当h(x)有且只有一个零点，并且该零点等于2或-2时，f(x)有且只有两个零点。 由或 解得。 即f(x)至少有三个零点，a的取值范围为[10, + ）. 3.（2022天津高考数学的9题） 已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有四个零点，则k的取值范围为 。 A. ( - ，-）∪（2, + ) B.（ - ，-）∪（0，2) C.（ - ，0）∪（0，2,) D.（ - ，0）∪（2, + ) 解析：函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有四个零点，转化为方程f(x)-|kx2-2x|=0,恰有四个不等的实数根，由于x=0该方程的一个实数根，转化为方程 x2-|kx-2|=0与-1+|kx-2|=0(x<0)合计恰有三个不等的实数根。∴函数h(x)=与函数t(x)=|kx-2|的图像恰有三个的公共点。 当k=0时，函数h(x)与函数t(x)的图像恰有一个的公共点，不合要求。 当k>0时，如图㈠, 函数t(x)与h(x)=1(x<0)的图像没有公共点，与h(x)=x2(x>0)的图像至少有一个的公共点，由kx-2=x2得x2-kx+2=0,由=k2-8>0得k>2. 即当k>2时，函数h(x)与函数t(x)的图像恰有三个的公共点。 当k<0时，如图㈡,函数t(x)与h(x)=1(x<0)的图像有两个公共点， 由-kx+2=x2得x2+kx-2=0,∵=k2+8>0,得该方程有两个不等的实数根，∵这两个的实数根之积等于-2，∴函数t(x)与h(x)=x2(x>0)的图像有且只有一个公共点。 即当k<0时，函数h(x)与函数t(x)的图像恰有三个的公共点。 综上所述：函数g(x)=f(x)-|kx2-2x|恰有四个零点时，则k的取值范围为（ - ，0）∪（2, + )。 学科网（北京）股份有限公司 $$