第五章三角函数单元检测卷-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章三角函数同步练习检测卷-高一数学上学期人教A版（2019）必修第一册 一、单选题 1．若角的终边经过点，且，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．若函数满足，则的值为（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．已知关于x的方程在上有两个不同的实数解，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．若，则点在第（   ）象限． A．一 B．二 C．三 D．四 6．函数的部分图象如图所示，则其解析式为（    ） A． B． C． D． 7．已知为第一象限角，若函数的最大值是2，则（    ） A． B． C． D． 8．故宫博物院收藏着一幅《梧桐双兔图》.该绢本设色画纵约，横约，挂在墙上最低点离地面，小兰身高(头顶距眼睛的距离为.为使观测视角最大，小兰离墙距离应为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．方程在区间上的解为（    ） A．0 B． C． D．π 10．设函数的最小正周期为，且过点，则（    ） A．在单调递增 B．的一条对称轴为 C．的周期为 D．把函数的图象向左平移个长度单位得到函数的解析式为 11．下列命题中正确的是（　　） A．若角是第三象限角，则可能是第三象限角 B．若角的终边过点，则的值是 C．若，则为第一象限角或第二象限角 D．若，且，则 三、填空题 12．已知函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则 ， ． 13．将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的后，再将图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则 . 14．如表给出的是某港口在某季节每天几个时刻的水深关系． 时刻 0 3 6 9 12 15 18 21 24 水深（m） 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 7.0 5.0 3.0 5.0 若该港口的水深和时刻的关系可用函数（其中）来近似描述，则该港口在11:00的水深为 m． 四、解答题 15．计算求值. (1) (2)若，且，求下列式子. （i） （ii）. 16．函数． (1)若函数的图象在内没有对称轴，求的取值范围； (2)若函数满足恒成立，且在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点，求的最小值． 17．已知函数的图象关于直线对称，且两相邻对称中心之间的距离为． (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数为偶函数，求的最小值． 18．如图，某园林单位准备绿化一块直径为的半圆形空地，的外面种草，的内接正方形为一水池，其余的地方种花.若，，设的面积为，正方形的面积为. (1)用a、表示和； (2)当a固定，变化时，求的最小值时的角. 19．我校南门有条长米，宽米的道路（如图所示的矩形），路的一侧划有100个长米，宽米的停车位（如矩形），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校保安李师傅提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度，其中. (1)若，求和的长； (2)求关于的函数表达式； (3)若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】根据三角函数定义得，然后根据角的范围即可得解. 【详解】由三角函数定义可得， 因为，所以， 解得， 易知，点A在第二象限，所以. 故选：D 2．B 【分析】首先求出，，再由两角和的正弦公式计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，，所以， 所以. 故选：B 3．B 【分析】根据题意，得到关于点对称，得到，且，再结合三角函数的性质，求得，即可求解. 【详解】因为函数满足， 可得函数关于点对称，所以，且， 所以，则， 又，当时，，所以. 故选：B. 4．B 【分析】设，则可得有两个根，进而利用二次函数的性质可得时可满足条件. 【详解】在上有两个零点， 设，则有两个根． 因为，且是开口向上，对称轴为的二次函数， 因为，，则存在，使得， 若方程在上有两个根，则，解得， 所以非零实数a的取值范围为． 故选：B. 5．D 【分析】根据三角函数的符号可判断点的位置. 【详解】因为，所以，， 所以点在第四象限． 故选：D． 6．B 【分析】根据已知中函数的部分图象，求出满足条件的值，可得答案． 【详解】由图可得：函数的最大值为2，最小值为，故， ，故，解得， 故. 将代入可得：， 则，解得. ∵，∴， ​​​​​​​∴. ​故选:B. 7．A 【分析】利用三角恒等变换整理得，结合最大值，解得，代入运算求得结果. 【详解】由题意可得， ， 则，解得，又为第一象限角，， 所以 . 故选：A. 8．C 【分析】由题意只需最大，设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，求出，，设，则，求出，，代入，利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意可得为锐角，故要使最大，只需最大， 设小兰眼睛所在的位置点为点，过点做直线的垂线，垂足为，如图， 则依题意可得（cm），（cm），， 设，则，且， ， 故 所以，当且仅当即时等号成立， 故使观赏视角最大，小兰离墙距离应为cm. 故选：C. 9．ACD 【分析】求出相位的范围，再由给定值求出角即可得解. 【详解】当时，， 由，得或或， 解得或或， 所以方程在区间上的解为. 故选：ACD 10．BD 【分析】A选项，根据三角恒等变换和函数性质得到，整体法求出函数单调性；B选项，在A基础上，整体法得到函数对称轴；C选项，，从而求出的周期；D选项，根据左加右减得到平移后的解析式. 【详解】A选项，， ∵最小正周期为，即. 函数过点，， 则.当时.即. 令，则，， 当时，在单调递减，故A错误； B选项，令，则， 当时，的一条对称轴为，故B正确； C选项，因为为偶函数，所以， 则的周期为且，故C错误； D选项，函数的图象向左平移个长度单位得到 函数，故D正确， 故选：BD. 11．AB 【分析】对A：由的范围求出的范围判断；对B：根据三角函数定义计算即可；对C：根据三角函数定义即可判定；对D：由同角三角函数基本关系计算即可. 【详解】对A：若角是第三象限角，即，， 所以，， 当时，，所以可能为第三象限角，故正确； 对B：若角的终边过点，则，故正确； 对C：若，由三角函数定义可知，角终边在轴上方，故错误； 对D：，因为，解得， 所以，故错误. 故选：AB 12． 4 0 【分析】根据线段长度与周期的关系求出，再代入计算即可. 【详解】的图象的相邻两支截直线所得线段的长度即为的一个周期， ∴，，， ∴． 故答案为：4；0. 13． 【分析】利用平移、伸缩变换得出解析式. 【详解】函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的后， 得到的图象， 再将图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象， 故答案为： 14．4 【分析】由表中的数据可得，可求出，由最大值和最小值可求出，从而可求出函数关系式，然后将代入可求得答案. 【详解】由题意得函数（其中）的周期为， 所以，得， 由表中数据可知最大值为7，最小值为3，则，解得， 所以， 所以该港口在11:00的水深为． 故答案为：4. 15．(1)； (2)（i）；（ii）. 【分析】（1）根据给定条件，利用诱导公式求解即得. （2）（i）（ii）利用同角公式求出，再利用诱导公式及齐次式法计算即得. 【详解】（1）由于， 所以. （2）（i）由，，得，， 所以. （ii）. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据函数单调性列出不等式组求解； （2）由题可知12为的一个周期且，求解即可． 【详解】（1）的图象在内没有对称轴， 或 解得或，即的取值范围为． （2）恒成立， 为的一个周期，即，解得①， 又在任意两个相邻奇数所形成的闭区间内总存在至少两个零点， ，且， 解得②， ①②联立，得到的最小值为． 17．(1)最小正周期；单调递增区间为 (2) 【分析】（1）由两相邻对称中心之间的距离为，可得，再利用周期公式可求出，然后由图象关于直线对称可求出的值，从而可得函数解析式，进而可求出的最小正周期和单调递增区间； （2）由为偶函数，可得，从而可求出的最小值． 【详解】（1）函数，且两相邻对称中心之间的距离为， 则，解得． 函数的图象关于直线对称，则， 解得． 由于，则， 故函数． 所以的最小正周期． 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为． （2）函数为偶函数， 则， 得，解得， 当时，． 18．(1)，. (2). 【分析】（1）根据已知条件及锐角三角形中正余弦函数，利用三角形的面积公式和正方形的面积公式即可求解； （2）根据（1）的结论，将表示为的函数，利用倍角公式对函数进行转化，利用换元法，借助对勾函数的单调性，从而求得最小值. 【详解】（1）在中，，，. 设正方形的边长为x，则，. 由，得，故. 所以. （2）由（1）知，，， 所以， 令，因为， 所以，则， 所以， 设， 根据对勾函数的单调性可知，在上单调递减， 因此当时，有最小值， 此时，解得， 所以当时，的最小，最小值为. 19．(1)， (2)， (3)个 【分析】（1）根据图，找到的等角，解直角三角形即可； （2）在（1）的思路下结合图，解直角三角形，表示出即可； （3）由（2）和先求出，设改造后停车位数量的最大值为，由图可得第个车位顶点到的距离为，利用求解. 【详解】（1）注意到，又， 则. 则， 又，则，； （2）由图，， 又由（1），则， 即，； （3）由（2），. 则，则， 化简得：，解得或. 因，则，故， 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，，又. 则， 令, 即改造后最大停车位数量为，则改造后的停车位比改造前增加个. 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将车位数量和停车位顶点到停车场边界距离联系起来，然后在利用之前所得到的部分结论解决问题. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$