第28章 锐角三角函数 单元测试卷 2023--2024学年人教版九年级数学下册

人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2024年单元测试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1．2cos60°的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 2．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么sinα的值等于（　　） A． B． C． D．1 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，BC＝6cm，则AC的长度为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 4．如果sin2α+cos230°＝1，那么锐角α的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 5．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 6．在△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C．若已知塔身AB＝54.5m，∠A＝5°28′，则BC的长为（　　） A．54.5•sin5°28′m B．54.5•cos5°28′m C．54.5•tan5°28′m D． 8．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于（　　） A． B． C．2 D． 9．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度为（　　）（参考数据：≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数） A．232m B．246m C．254m D．310m 10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，，那么BC＝　 　． 12．某坡面的坡度为1：1，则它的坡角是 　 　度． 13．在▱ABCD中，AB＝14cm，两条对角线的长分别为16cm，18cm，则△AOB的周长为 　 　cm． 14．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 　 　． 15.王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地　 　. 16.如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为 　 　． 三、解答题 17．（5分）计算：cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°． 18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形． 19．（7分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为30m．求这栋高楼的高度（结果保留根号）． 20.（8分）图1是某云梯消防车，图2是其侧面示意图，OA为车身，云梯OB可绕点O旋转，点O，C，B在同一直线上，BC可伸缩，套管OC＝10米，液压杆CD底端D为OA上的固定点，OD＝2.3米．在某种工作状态下，BC＝OC，∠O＝34°．求此时： （1）点B到OA的距离为多少米？ （2）tan∠ADC的值． （参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，结果精确到0.1） 21．（8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援， （1）求点C到直线AB的距离； （2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 22. （8分） 2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC分别为机器人的大、小臂，其中小臂BC为2米，大臂AB为3米，移动基座AO＝3.02米，AB与水平方向的夹角为30°，BC与水平方向的夹角为53°，求点C到工作台EF的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） 23．（10分）如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB的高度，他们都从C处出发．小亮沿着水平方向步行48m到达D处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF为9m、顶部A的仰角为37°，求该建筑物AB的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．） 人教新版九年级下册《第28章 锐角三角函数》2024年单元测试卷 参考答案与试题解析 一、选择题 1．2cos60°的值等于（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】根据60°角的余弦值等于进行计算即可得解． 【解答】解：2cos60°＝2×＝1． 故选：A． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键． 2．如果∠α是等边三角形的一个内角，那么sinα的值等于（　　） A． B． C． D．1 【分析】由题意知∠α＝60°，求sin60°即可． 【解答】解：∵∠α是等边三角形的一个内角， ∴∠α＝60°， ∴sinα＝sin60°＝． 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形，等边三角的性质，关键是掌握60°角的正弦值． 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，BC＝6cm，则AC的长度为（　　） A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm 【分析】直接利用锐角三角函数关系表示出三角形各边长进而得出答案． 【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，BC＝6cm， ∴设AC＝4x，则AB＝5x， ∴BC＝3x＝6， 解得：x＝2， 则AC＝8cm． 故选：B． 【点评】此题主要考查了锐角三角函数关系，正确表示出各边长是解题关键． 4．如果sin2α+cos230°＝1，那么锐角α的度数是（　　） A．15° B．30° C．45° D．60° 【分析】根据特殊角的三角函数值计算． 【解答】解：∵sin2α+cos230°＝1，cos30°＝， ∴sin2α＝1﹣（）2＝， ∴sinα＝， ∴α＝30°． 故选：B． 【点评】本题考查特殊角三角函数值，熟记各特殊角三角函数值是解题的关键． 5．如图是长春市人民大街下穿隧道工程施工现场的一台起重机的示意图，该起重机的变幅索顶端记为点A，变幅索的底端记为点B，AD垂直地面，垂足为点D，BC⊥AD，垂足为点C．设∠ABC＝α，下列关系式正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】由锐角三角函数的定义即可得出结论． 【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝α， ∴sinα＝sin∠ABC＝，tanα＝tan∠ABC＝，cosα＝cos∠ABC＝， 故选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数定义是解题的关键． 6．在△ABC中，∠C＝90°，3a＝b，则cosA＝（　　） A． B． C． D． 【分析】根据题意画出△ABC，利用锐角三角函数的定义求解即可． 【解答】解：如图， ∵∠C＝90°，3a＝b， ∴＝， ∴tanA＝， ∴∠A＝30°， ∴cosA＝cos30°＝． 故选：C． 【点评】本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．比萨斜塔是意大利的著名建筑，设塔顶中心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A，过点B向垂直中心线引垂线，垂足为点C．若已知塔身AB＝54.5m，∠A＝5°28′，则BC的长为（　　） A．54.5•sin5°28′m B．54.5•cos5°28′m C．54.5•tan5°28′m D． 【分析】根据题意得：BC⊥AC，然后在Rt△ACB中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：BC⊥AC， 在Rt△ACB中，∠A＝5°28′，AB＝54.5m， ∴BC＝AB•sinA＝54.5•sin5°28′m， 故选：A． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 8．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB的长为8cm，P是AB延长线上一点，BP＝2cm，则tan∠OPA等于（　　） A． B． C．2 D． 【分析】作OC⊥AB，构造直角三角形，运用三角函数的定义求解． 【解答】解：作OC⊥AB于C点． 根据垂径定理，AC＝BC＝4． 在Rt△OCP中，有CP＝4+2＝6，OC＝＝3． 故tan∠OPA＝＝． 故选：D． 【点评】本题考查锐角三角函数的概念：在直角三角形中，正弦等于对比斜；余弦等于邻比斜；正切等于对比邻． 9．如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角为36°，看这栋楼底部C处的俯角为60°，热气球A处与楼的水平距离为100m，则这栋楼的高度为（　　）（参考数据：≈1.73，tan36°≈0.73，sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，结果保留整数） A．232m B．246m C．254m D．310m 【分析】根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得BD和CD的长从而可以得到BC的长． 【解答】解：如图， 由题意可知：AD⊥BC，AD＝100m，∠BAD＝36°，∠DAC＝60°， ∴BD＝AD•tan36°≈100×0.73＝73（m），CD＝AD•tan60°＝100×＝100≈173（m）， ∴BC＝BD+CD＝73+173＝246（m）， 故选：B． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 10．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD＝∠BDC＝90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F，若BC＝4，∠CBD＝30°，则AE的长为（　　） A． B． C． D． 【分析】如图，作EH⊥AB于H．解直角三角形求出AH，EH即可解决问题． 【解答】解：如图，作EH⊥AB于H． 在Rt△BDC中，BC＝4，∠DBC＝30°， ∴BD＝2， 在Rt△ABD中，∠ABD＝30°，BD＝2， ∴AB＝3， 在Rt△BEH中，∵BE＝EC＝2，∠EBH＝60°， ∴BH＝BE＝1，HE＝EH＝， 在Rt△AEH中，AE＝＝＝， 故选：D． 【点评】本题考查勾股定理，角平分线的性质，直角三角形30度角的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 二、填空题 11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果AB＝6，，那么BC＝　3　． 【分析】根据三角函数的定义求解． 【解答】解：Rt△ABC中，∠C＝90°，AB是斜边， ∵AB＝6，， ∴BC＝AB•sinA＝6×＝3． 【点评】本题考查三角函数定义的应用． 12．某坡面的坡度为1：1，则它的坡角是 　45　度． 【分析】根据坡度可以求得该坡角的正切值，根据正切值即可求得坡角的角度． 【解答】解：∵坡度为1：1， ∴tanα＝1， ∵α为锐角， ∴α＝45°． 故答案为：45°． 【点评】本题考查了坡度的定义、特殊角的三角函数值、三角函数值在直角三角形中的应用，正确掌握坡度的定义是解题关键． 13．在▱ABCD中，AB＝14cm，两条对角线的长分别为16cm，18cm，则△AOB的周长为 　31　cm． 【分析】根据平行四边形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵平行四边形ABCD的对角线相交于点O， ∴OB＝OD＝8cm，OA＝OC＝9cm，AB＝CD＝14cm， ∴OB+OA+AB＝8+9+14＝31（cm）， ∴△AOB的周长为31cm， 故答案为：31． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理逆定理，利用勾股定理逆定理证直角三角形是本题的关键． 14．在△ABC中，若|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0，则∠C的度数是 　105°　． 【分析】先利用非负数的性质得到sinA﹣＝0，﹣cosB＝0，即sinA＝，cosB＝，则根据特殊角的三角函数值得到∠A、∠B的度数，然后根据三角形内角和定理计算出∠C的度数． 【解答】解：∵|sinA﹣|+（﹣cosB）2＝0， ∴sinA﹣＝0，﹣cosB＝0， 即sinA＝，cosB＝， ∴∠A＝30°，∠B＝45°， ∴∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝105°． 故答案为：105°． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．也考查了非负数的性质． 15．王英同学从A地沿北偏西60°方向走100m到B地，再从B地向正南方向走200m到C地，此时王英同学离A地　 　. A．50m B．100m C．150m D．100m 【分析】根据三角函数分别求AD，BD的长，从而得到CD的长．再利用勾股定理求AC的长即可． 【解答】解：∵AD＝AB•sin60°＝50m，BD＝AB•cos60°＝50m， ∴CD＝150m． ∴AC＝＝100（m）． 故答案为：100m 【点评】本题考查了解直角三角形﹣﹣方向角问题．解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线． 16.如图，在4×5的网格中，每个小正方形的边长均为1．若△ABC的顶点都在格点上，则sinC的值为 　　． 【分析】连接格点B、D，利用勾股定理先求出AB、AD、BD、BC的长，再利用勾股定理的逆定理判断△ABD是直角三角形，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【解答】解：连接格点B、D． 由题图知：AB＝＝，BC＝＝， BD＝＝2，AD＝＝． ∵AD2+BD2＝2+8＝10，AB2＝10， ∴AD2+BD2＝AB2． ∴△ABD是直角三角形． ∴∠ADB＝90°． ∴∠BDC＝90°． 在Rt△BDC中， sinC＝ ＝ ＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，掌握勾股定理及其逆定理、直角三角形的边角间关系等知识点是解决本题的关键． 三、解答题 17．（5分）计算：cos60°﹣2sin245°+30°﹣sin30°． 【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 【点评】本题主要考查了特殊三角函数值的混合计算，熟知相关特殊角的三角函数值是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/11 19:06:59；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 18．（6分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∠B＝60°，解这个直角三角形． 【分析】根据三角形内角和定理求出∠A，根据∠B的正弦函数和正切函数分别求出AB、BC的长即可得． 【解答】解：∵∠C＝90°、∠B＝60°， ∴∠A＝30°， 又∵AC＝15， ∴AB＝＝＝10， BC＝＝＝5． 【点评】本题考查了解直角三角形，三角形的内角和定理的应用，主要考查学生的计算能力． 19．（7分）如图，热气球的探测器显示，从热气球A处看一栋高楼顶部B的仰角为30°，看这栋高楼底部C的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离AD为30m．求这栋高楼的高度（结果保留根号）． 【分析】要求楼高BC，即求出BD、CD的长度，分别在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD和CD的长度，继而可求解． 【解答】解：在Rt△ABD中， ∵tan∠BAD＝， ∴BD＝ADtan30°＝30×＝（米）， 在Rt△ADC中， ∵tan∠CAD＝， ∴CD＝ADtan60°＝30×＝（米）， ∴BC＝BD+CD＝+＝（米）． 答：这栋高楼的高度为40米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是根据仰角构造直角三角形，利用三角函数求解． 20.（8分）图1是某云梯消防车，图2是其侧面示意图，OA为车身，云梯OB可绕点O旋转，点O，C，B在同一直线上，BC可伸缩，套管OC＝10米，液压杆CD底端D为OA上的固定点，OD＝2.3米．在某种工作状态下，BC＝OC，∠O＝34°．求此时： （1）点B到OA的距离为多少米？ （2）tan∠ADC的值． （参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，结果精确到0.1） 【分析】（1）过点B作BE⊥AO，垂足为E，根据已知易得：BO＝20米，然后在Rt△BEO中，利用锐角三角函数的定义求出BE的长，即可解答； （2）过点C作CF⊥OE，垂足为F，在Rt△CFO中，利用锐角三角函数的定义求出CF和OF的长，从而求出DF的长，最后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点B作BE⊥AO，垂足为E， ∵BC＝OC＝10米， ∴BO＝BC+CO＝20（米）， 在Rt△BEO中，∠O＝34°， ∴BE＝BO•sin34°≈20×0.56＝11.2（米）， ∴点B到OA的距离约为11.2米； （2）过点C作CF⊥OE，垂足为F， 在Rt△CFO中，∠O＝34°，OC＝10米， ∴CF＝OC•sin34°≈10×0.56＝5.6（米）， OF＝OC•cos34°≈10×0.83＝8.3（米）， ∵OD＝2.3米， ∴DF＝OF﹣OD＝8.3﹣2.3＝6（米）， 在Rt△CDF中，tan∠CDF＝＝≈0.9． ∴tan∠ADC的值约为0.9． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 21．（8分）一艘观光游船从港口A以北偏东60°的方向出港观光，航行80海里至C处时发生了侧翻沉船事故，立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东37°方向，马上以40海里每小时的速度前往救援， （1）求点C到直线AB的距离； （2）求海警船到达事故船C处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 【分析】（1）作CD⊥AB，在Rt△ACD中，由∠CAD＝30°知CD＝AC，据此可得答案； （2）根据BC＝求得BC的长，继而可得答案． 【解答】解：（1）如图，过点C作CD⊥AB交AB延长线于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80海里， ∴点C到直线AB距离CD＝AC＝40． （2）在Rt△CBD中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°， ∴BC＝≈＝50（海里）， ∴海警船到达事故船C处所需的时间大约为：50÷40＝（小时）． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 22.（8分） 2024年1月17日，天舟七号货运飞船，携带着支持航天员3人280天的生活物资、平台设备、推进剂和科学载荷，成功发射．如图是工作中的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC分别为机器人的大、小臂，其中小臂BC为2米，大臂AB为3米，移动基座AO＝3.02米，AB与水平方向的夹角为30°，BC与水平方向的夹角为53°，求点C到工作台EF的距离．（结果精确到0.1米） （参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，tan53°≈1.33） 【分析】过点C作CM⊥BG，垂足为M，过点B作BN⊥AH，垂足为N，在Rt△CBM中，利用锐角三角函数的定义求出CM的长，再在Rt△ABN中，利用含30度角的直角三角形的性质求出BN的长，然后利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：过点C作CM⊥BG，垂足为M，过点B作BN⊥AH，垂足为N， 在Rt△CBM中，∠CBM＝53°，BC＝2米， ∴CM＝BC•sin53°＝2×0.8＝1.6（米）， 在Rt△ABN中，∠BAN＝30°，AB＝3米， ∴BN＝AB＝1.5（米）， ∵AO＝3.02米， ∴点C到工作台EF的距离＝CM+BN+AO＝1.6+1.5+3.02≈6.1（米）， ∴点C到工作台EF的距离约为6.1米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 23（10分）.如图，小亮和小刚为测量某建筑物AB的高度，他们都从C处出发．小亮沿着水平方向步行48m到达D处，测得顶部A的仰角为56°；小刚沿着坡角为14°的坡道行至E处，分别测得他沿垂直方向上升的高度EF为9m、顶部A的仰角为37°，求该建筑物AB的高度．（参考数据：tan14°≈0.25，tan37°≈0.75，tan56°≈1.50．） 【分析】在Rt△CEF中，根据三角函数的定义得到CF＝＝＝36（m），过E作EH⊥AB于H，则BH＝EF＝9m，EH＝BF，在Rt△ABD中，设AB＝x m，根据三角函数的定义得到BD＝x，求得AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m，在Rt△AEH中，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解答】解：在Rt△CEF中， ∵∠C＝14°，EF＝9m， ∴CF＝＝＝36（m）， 过E作EH⊥AB于H， 则BH＝EF＝9m，EH＝BF， 在Rt△ABD中，设AB＝x m， ∵∠ADB＝56°， ∴＝＝tan56°＝1.5， ∴BD＝x， ∴AH＝（x﹣9）m，EH＝BC﹣CF＝（x+48﹣36）m， 在Rt△AEH中，∵∠AEH＝37°， ∴＝＝tan37°≈0.75， ∴x＝36， ∴AB＝36m， 答：该建筑物AB的高度约为36m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确地作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/8/11 17:46:33；用户：初中数学14；邮箱：tlshiyan017@xyh.com；学号：27405248 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$