1.3.2 空间向量运算的坐标表示 课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第一章 空间向量与立体几何 1.3 空间向量及其运算的坐标表示 1.3.2 空间向量运算的坐标表示 一 二 三 学习目标 会求出空间向量的坐标 空间向量垂直，平行及模长的坐标表示及应用 运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题 学习目标 复习回顾 回忆上节课，我们学习了哪些知识？ 1.空间直角坐标系的概念. 2.空间点的坐标. 3.空间向量的坐标. 新课导入 前面我们通过引入空间直角坐标系，将空间向量的坐标与空间点的坐标一一对应起来. 那么有了空间向量的坐标表示，类比平面向量的坐标运算，是否可以探究出空间向量运算的坐标表示并给出证明？ 新知探究 问题1 你能类比平面向量的坐标运算，类比出空间向量的坐标运算？ 平面向量的坐标运算 类 比 空间向量的坐标运算 你能证明吗？ 新知探究 下面证明：空间向量数量积运算的坐标表示 设 为空间的一个单位正交基底,则： 所以, 得到 利用向量数量积的分配律以及 由上述结论可知，空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一致的． 新知探究 问题2 我们回忆下平面向量的坐标表示证明平行、垂直，求取模长、角度等问题。类比到空间向量中，是否有类似的公式？ 平面向量坐标运算 已知 ,则 当 时 类 比 空间向量坐标运算 已知 ,则 当 时 7 巩固练习 课本P21 1. 已知 求: 2. 已知 求x的值. O P2 P1 新知探究 问题3 你能利用空间向量运算的坐标表示推导空间两点间的距离公式吗? 如图，建立空间直角坐标系 设 是空间中任意两点，则 于是 所以 ——空间两点间的距离公式 将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，不仅可以解决夹角和距离的计算问题，而且可以使一些问题的解决变得简单. 典例解析 例2 如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是BB1, D1B1的中点，求证：EF⊥DA1. O A D C B A1 D1 C1 B1 E F 证明： 问题4 你能从例2的解答过程中体会到根据问题的特点，建立适当的空间直角坐标系，用向量表示相关元素，并通过向量及其坐标的运算求解问题的基本思路吗？ 新知探究 建系 表示 运算 定结果 建立恰当坐标系 用向量表示元素 进行向量坐标运算 由运算结果定结论 A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 典例解析 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 E1 F1 M 典例解析 例3 如图示，在棱长为1的正方体ABCD –A1B1C1D1中，M为BC1的中点，E1, F1分别在棱A1B1, C1D1上， (1) 求AM的长. (2) 求BE1与DF1所成角的余弦值. 巩固练习 课本P21 3. 在z轴上求一点M，使点M到点A(1,0,2)与点B(1,-3,1)的距离相等. 巩固练习 课本P21 4. 如图, 正方体OABC-D'A'B'C'的棱长为a, 点N, M分别在AC, BC'上, AN=2CN，BM=2MC', 求MN的长. A O C B A' D' C' B' M N 巩固练习 课本P21 5. 如图，在正方体ABCD –A1B1C1D1中，M是AB的中点，求DB1与CM所成角的余弦值. A D C B A1 D1 C1 B1 M 课堂达标 1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ，则AB1与BC1所成角的大小为( ). (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° A C B A1 C1 B1 x O y z B 课堂达标 2. 已知A(2,-5,1)，B(2,-2,4)，C(1,-4,1)，则 与 的夹角为( @28@ ) A. 30° B.45° C.60° D.90° C 解：设</m>与<m></m>的夹角为</m>. 由题意得</m>，</m> ， <m></m> ， <m></m> 课堂达标 3. 若A(-1,2,3)，B(2,1,4)，C(m,n,1)三点共线，则m+n的值为______. 解:由已知得 <m></m> ， <m></m> . <m></m> ， <m></m> ， <m></m> 三点共线， ∴存在实数 <m></m> ，使得 <m></m> ， 即 <m></m> ， ∴ <m></m> 解得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， ∴</m> . -3 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容？ 1.空间向量运算的坐标表示 2.空间向量中垂直向量坐标之间的关系. 3.空间中两点间的距离公式和空间两向量夹角余弦值的计算公式. 4.利用空间向量的坐标运算解决简单的立体几何问题. $$