5.5.2 简单的三角恒等变换 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.5.2　简单的三角恒等变换 一、必备知识基础练 1.[探究点一]已知cos α=,α∈(,2π),则sin等于(　　) A. B.- C. D. 2.[探究点一·2024甘肃武威高一期末]已知sin α=,cos α=,则tan等于(　　) A.2- B.2+ C.-2 D.±(-2) 3.[探究点二]2cos(2x+)sin(2x-)=(　　) A.+cos 4x B.-sin 4x C.+cos 4x D.-+sin 4x 4.[探究点二]若sin α+sin β=,cos α+cos β=,则tan的值为(　　) A.2 B. C.-2 D.- 5.[探究点三·2024四川资阳高二阶段练习]函数f(x)=sin xcos x+cos 2x的最小正周期为(　　) A. B. C.π D.2π 6.[探究点二·苏教版教材习题改编]的值是　　　　　. 7.[探究点一]已知180°<α<270°,且sin(α+270°)=,则sin=　　　　,tan=　　　　. 8.[探究点二]若coscos,则sin4θ+cos4θ=　　　　　. 二、关键能力提升练 9.若函数f(x)=(1+tan x)cos x,则f=(　　) A. B.- C.1 D. 10.若3π<x<4π,则=(　　) A.cos() B.-cos() C.sin() D.-sin() 11.设函数f(x)=2cos2x+sin 2x+a(a为实常数)在区间上的最小值为-4,那么a的值等于(　　) A.4 B.-6 C.-4 D.-3 12.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于,则它的底角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 13.(多选题)为了得到函数y=cos(2x+)的图象,只要把函数y=cos x图象上所有的点(　　) A.横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度 B.横坐标变为原来的,再向左平移个单位长度 C.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的2倍 D.向左平移个单位长度,再将横坐标变为原来的 14.若cos θ=-,θ∈(π,2π),则sin+cos=　　　　　,sin-cos=　　　　　.  三、学科素养创新练 15.已知sin A+sin B+sin C=0,cos A+cos B+cos C=0,求证:cos2A+cos2B+cos2C=. 答案 1.A　∵α∈(,2π),∴∈(,π),sin.故选A. 2.C　∵sin α=,cos α=,∴tan-2. 3.D　2cos(2x+)sin(2x-)=sin[(2x+)+(2x-)]-sin[(2x+)-(2x-)]=sin 4x-sin=sin 4x-.故选D. 4.A　由sin α+sin β=sin()+sin()=2sincos, cos α+cos β=cos()+cos()=2coscos, 两式相除得tan=2.故选A. 5.C　由二倍角公式和辅助角公式化简f(x)=sin xcos x+cos 2x, 可得f(x)=sin 2x+cos 2x=sin(2x+φ),其中tan φ=2, 由三角函数的周期公式可得最小正周期T==π.故选C. 6.-　原式==-=-. 7.　-3　∵sin(α+270°)=-cos α=, ∴cos α=-. 又180°<α<270°,∴90°<<135°, ∴sin,tan=-=-=-3. 8.　coscos =cos·sin =sin =cos 2θ=, ∴cos 2θ=. ∴sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-sin22θ=1-(1-cos22θ)=1-. 9.D　∵f(x)=cos x=cos x+sin x=2sin, ∴f=2sin=2sin. 10.C　因为3π<x<4π, 所以<2π,sin<0,cos>0. 于是=|cos|+|sin|=cos-sincossin)=sin(). 11.C　f(x)=2cos2x+sin 2x+a=1+cos 2x+sin 2x+a=2sin+a+1. 当x∈时,2x+,sin(2x+)∈[-,1],∴f(x)min=2·+a+1=-4,∴a=-4. 12.B　设等腰三角形的顶角为α,底角为β,则cos α=,则sin>0. 又β=,即cos β=cos=sin. 13.AD 14.　因为θ∈(π,2π),所以, 所以sin, cos=-=-, 所以sin+cos,sin-cos. 15.证明 由已知,得sin A+sin B=-sin C, ① cos A+cos B=-cos C. ② ①2+②2,得2+2cos(A-B)=1,即cos(A-B)=-, ∴cos2A+cos2B+cos2C=cos2A+cos2B+(cos A+cos B)2=2cos2A+2cos2B+2cos Acos B =1+cos 2A+1+cos 2B+2cos Acos B =2+cos[(A+B)+(A-B)]+cos[(A+B)-(A-B)]+cos(A+B)+cos(A-B) =2+cos(A+B)cos(A-B)+cos(A+B)+cos(A-B),代入cos(A-B)=-得原式成立. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$