精品解析：安徽省合肥市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　） A. B. C. D. 3. 将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y＝﹣3（x+2）2+1 B. y＝﹣3（x﹣2）2﹣3 C. y＝﹣3（x+2）2﹣3 D. y＝﹣3（x﹣2）2+1 4. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 28° D. 32° 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 45° 6. 如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，△ABC的面积为2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 8. 如图所示，直径为的经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C D. 10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，则的值为 _____． 12. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____． 13. 如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是______． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°． 16. 如图，．求的长度． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 18. 如图，在由边长为1个单位长度小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0. （1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1； （2）将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2； 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE的距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，） 20. 如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 六、（本大题1小题，满分12分） 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使值最小，求满足条件的点P的坐标． 七、（本大题1小题，满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线解析式． （2）若时，，则d的取值范围是______． （3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值． 八、（本大题1小题，满分14分） 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期安徽省合肥市九年级数学期末模考训练卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 随着人们健康生活理念的提高，环保意识也不断增强，以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、是中心对称图形，符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、不是中心对称图形，不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了中心对称图形的定义，解题的关键在于能够熟知定义． 2. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则sinA＝（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目的已知设AC＝4a，AB＝5a，然后利用勾股定理求出BC的长，最后利用锐角三角函数的定义进行计算即可． 【详解】在△ABC中，∠C＝90°，， ∴设AC＝4a，AB＝5a， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查勾股定理与锐角三角函数．掌握锐角三角函数的定义是解题关键． 3. 将抛物线y＝﹣3x2﹣1向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　） A. y＝﹣3（x+2）2+1 B. y＝﹣3（x﹣2）2﹣3 C. y＝﹣3（x+2）2﹣3 D. y＝﹣3（x﹣2）2+1 【答案】C 【解析】 【分析】先确定抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1），再利用点平移的坐标变换规律得到点（0，﹣1）平移后所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y＝﹣3x2﹣1的顶点坐标为（0，﹣1）， 把点（0，﹣1）向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得对应点的坐标为（﹣2，﹣3）， ∴平移后的抛物线解析式为y＝﹣3（x+2）2﹣3． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图像与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转至的位置，连接，若，，则的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 28° D. 32° 【答案】C 【解析】 【分析】由旋转性质可得出是等腰三角形，即可得出，即可得出的度数． 【详解】解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正确理解旋转的性质是解题的关键． 5. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，连接AO并延长交⊙O于点D，若∠B=55°，则∠CAD的度数为（ ） A. 25° B. 30° C. 35° D. 45° 【答案】C 【解析】 【分析】连接CD，根据圆周角定理得到∠ACD=90°，∠D=∠B=55°，再利用互余得出∠CAD的度数． 【详解】如图所示：连接CD， ∵AD为直径， ∴∠ACD=90°， ∵∠D=∠B=55°， ∴∠CAD=90°-∠D=90°-55°=35°． 故选：C． 【点睛】考查了圆周角定理的推论，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等．掌握这些性质是及作出合适的辅助线是解题的关键． 6. 如图，平行四边形中，的平分线分别与、交于点、．当，时，的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，，根据角平分线的定义、等腰三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、平行四边形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 7. 如图，、、分别是双曲线（x<0）与（x>0）及x轴上的点，AB//x轴，△ABC的面积为2，则k的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点B的坐标，根据平行知点A、B的纵坐标相同得到点A的纵坐标，再代入y1的解析式求出点A的横坐标，然后求出AB的长，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】解：点B在上， 设B(a，)， ∵AB∥x轴， ∴ ∵点A在上， ∴ ∴ ∴A ∴AB==a-ak， ∴ 即1-k=4， 解得k=-3． 故选A． 【点睛】本题考查了反比例函数系数的几何意义，用点A、B的横坐标表示出AB的长度是解题的关键． 8. 如图所示，直径为的经过点和点，B是y轴右侧优弧上一点，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设交x轴于D点，连接，如图，根据圆周角定理得到为的直径，，再利用勾股定理计算出，然后根据余弦的定义求出，从而得到的值． 【详解】解：设交x轴于D点，连接，如图， ∵， ∴为的直径， 即， ∵点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 9. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 10. 如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵抛物线与y轴交点在负半轴， ∴， ∵对称轴为， ∴， ∴， 故①正确； ∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， 故②正确； ∵函数与直线有两个交点． ∴关于的方程一定有两个不相等的实数根， 故③正确； ∵时，即， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故④正确， 故选：D 【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 已知，则的值为 _____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． 12. 如图，在正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ABC的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过A作AE⊥BC，交BC延长线于E，再根据锐角三角函数的定义求出答案即可． 【详解】解：过A作AE⊥BC，交BC延长线于E， 设小正方形的边长为1， 则AE=3，BE=4， 所以tan∠ABC=， 故答案为： 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能构造直角三角形是解此题的关键． 13. 如图，是直径，弦与相交，若，则的大小是______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，可得，利用等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 则， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝10，AB＝8，将AB沿AE翻折，使点B落在处，AE为折痕；再将EC沿EF翻折，使点C恰好落在线段EB'上的点处，EF为折痕，连接．若CF＝3，则tan＝_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接AF，设CE＝x，用x表示AE、EF，再证明∠AEF＝90°，由勾股定理得通过AF进行等量代换列出方程便可求得x，再进一步求出B′C′，便可求得结果． 【详解】解：连接AF，设CE＝x，则C′E＝CE＝x，BE＝B′E＝10﹣x， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD＝8，AD＝BC＝10，∠B＝∠C＝∠D＝90°， ∴AE2＝AB2+BE2＝82+（10﹣x）2＝164﹣20x+x2， EF2＝CE2+CF2＝x2+32＝x2+9， 由折叠知，∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF， ∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°， ∴∠AEF＝∠AEB′+∠C′EF＝90°， ∴AF2＝AE2+EF2＝164﹣20x+x2+x2+9＝2x2﹣20x+173， ∵AF2＝AD2+DF2＝102+（8﹣3）2＝125， ∴2x2﹣20x+173＝125， 解得，x＝4或6， 当x＝6时，EC＝EC′＝6，BE＝B′E＝8﹣6＝2，EC′＞B′E，不合题意，应舍去， ∴CE＝C′E＝4， ∴B′C′＝B′E﹣C′E＝（10﹣4）﹣4＝2， ∵∠B′＝∠B＝90°，AB′＝AB＝8， ∴tan∠B'AC′＝=． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，锐角三角函数，勾股定理，掌握折叠的性质是解题关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°． 【答案】 【解析】 【分析】将特殊角的三角函数值代入求解． 【详解】解：原式 =﹣+ =． 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 16. 如图，．求的长度． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，由，可得，所以，所以，代入数据即可得出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴C， ∴， ∴， ∴． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. “圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.5m，地面入口宽为1m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用，运用圆的性质，垂径定理构造直角三角形，用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆心为点O，洞高为，入口宽为，门洞的半径为， 根据题意，得，， 根据勾股定理，得， 解得， 答：该门洞的半径为． 18. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点(网格线的交点)为顶点的△ABC和格点0. （1）以点O为位似中心，将△ABC放大2倍得到ΔA1B1C1，在网格中画出ΔA1B1C1； （2）将△ABC绕点0逆时针旋转90°得ΔA2B2C2，画出ΔA2B2C2； 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）利用相似变换的性质分别作出A，B，C的对应点A1，B1，C1即可； （2）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点A2，B2，C2即可． 【小问1详解】 解：如图，△A1B1C1即为所求； 小问2详解】 解：如图，△A2B2C2即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣旋转变换，相似变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，相似变换的性质，属于中考常考题型． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 如图①是一台手机支架，图②是其侧面示意图，AB、BC可分别绕点A、B转动，测量知，．当AB，BC转动到，时，求点C到直线AE距离．（精确到0．1cm，参考数据：，，） 【答案】cm 【解析】 【分析】过如图所示：点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为可知四边形是矩形，从而得出在中，利用锐角三角函数的定义求出的长和由求出在中，利用锐角三角函数的定义求出即可得出结果． 【详解】解：如图所示：过点作垂足为过点作垂足为过点作垂足为 ∴四边形是矩形， 在中， 中， 即 ∴点C到直线AE的距离为 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 20. 如图，为的直径，切于点E，于点D，交于点C，连接． （1）求证：平分； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由切于点E知, 结合于点D知, 从而得, 即可得证； （2）连接交于点F，证四边形是矩形，根据相似三角形的判定和性质，求出，即可得出答案． 【小问1详解】 证明：∵与相切于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴平分． 【小问2详解】 解∶连接交于点F， ∵是的直径， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，点O是的中点， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查切线的性质、圆周角定理、垂径定理及矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质、圆周角定理、垂径定理等知识点是解题的关键． 六、（本大题1小题，满分12分） 21. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 七、（本大题1小题，满分12分） 22. 在平面直角坐标系中，抛物线（b，c是常数）经过点，点B．点P在此抛物线上，其横坐标为m． （1）求此抛物线解析式． （2）若时，，则d的取值范围是______． （3）点P和点A之间（包括端点）的函数图象称为图象G，当图象G的最大值和最小值差是5时，求m的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出抛物线的顶点坐标，得出函数的最小值为，把代入求出，，根据时，，得出时，函数能够取到最小值，从而得出d的取值范围； （3）分情况讨论，当点P在顶点的右侧，即时，当点P在顶点与点A之间，即时，当点P在点A的左侧，即时，分别求出m的值即可． 【小问1详解】 解：把点，点B，代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴的最小值为， 把代入得， 解得：，， ∵时，， ∴时，函数能够取到最小值， ∴； 故答案为：． 小问3详解】 解：当点P在顶点的右侧，即时， 此时函数能够取到最小值， ∵图象G的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为， 把代入得，， 解得：或（舍去）； 当点P在顶点与点A之间时，即，图象G的最大值和最小值差不可能是5； 当点P在点A的左侧，即时， 此时函数的最小值为0， ∵图象G的最大值和最小值差是5， ∴此时点P的纵坐标，即点P的坐标为， 把代入得，， 解得：或（舍去）； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，抛物线的图象和性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 八、（本大题1小题，满分14分） 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）成立；理由见解析；（3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）结论仍成立； 理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$