4.3 公式法 课件 2023--2024学年北师大版八年级数学下册

北师大版 数学 八年级下册 第1课时 第四章 因式分解 3 公式法 学习目标 1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想. （重点） 2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.（难点） 一、创设情境，引入新知 填空： （1）（x+5）（x-5） = ； （2）（3x+y）（3x-y）= ； （3）（3m+2n）（3m–2n）= ． 它们的结果有什么共同特征？ 以上都是用平方差公式：(a+b)( a-b)＝a2-b2计算得出来的. 整式的乘法 9 – 9 – 根据上面的结果将多项式写成两个因式的乘积： 一、创设情境，引入新知 （x+5）（x-5） （3m+2n）（3m–2n） （3x+y）（3x-y） 因式分解 它们有什么共同特征？你能由此得到什么结论？ 共同特征：两个数（式）的平方差可以化成这两个数（式）的和与这两个数（式）的差的积的形式,这种变形就是我们今天学习的内容. 二、自主合作，探究新知 探究一：用平方差公式因式分解 把乘法公式(a+b)( a-b)＝a2-b2反过来，就得到 a2-b2＝(a+b)( a-b). 语言叙述：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积. 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2. 即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 想一想：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，如果能，请将其转化成（　）２－（　）２的形式. (1) 2 －81 (2) 1 －162 (3) 42+9 (4 (5) 二、自主合作，探究新知 不能转化为平方差形式. 不能转化为平方差形式. = 2 －92 = 12－(4 )2 二、自主合作，探究新知 解：（1）25-16x2 =52-(4x)2 =(5+4x)(5-4x)； 归纳：第一步，将两项写成平方的形式，找出a、b; 第二步，利用a2-b2=(a-b)(a+b)分解因式. 典型例题 例1 把下列各式因式分解. （1）25-16x2； （2）. （2） = = 二、自主合作，探究新知 议一议：观察各式的特点，运用平方差公式进行因式分解. (1)a4-b4；　 (2)x3y2-xy4. 还能继续分解吗？ 解：(1)a4-b4 =(a2+b2)(a2-b2) =(a2+b2)(a+b)(a-b) (2) x3y2-xy4 ＝xy2(x2-y2) 有公因式的要先提公因式,再进一步分解. ＝xy2(x+y)(x-y). 二、自主合作，探究新知 典型例题 解：(1)9(m+n)2-(m-n)2 =[3(m+n)]2-(m-n)2 =[3(m+n)+(m-n)][3(m+n)-(m-n)] =(3m+3n+m-n)(3m+3n-m+n) =(4m+2n)(2m+4n) =4(2m+n)(m+2n); 例2 把下列各式因式分解： （1）9(m+n)2-(m-n)2； （2）2x3-8x. （2）2x3-8x =2x(x2-4) =2x(x2-22) =2x(x+2)(x-2). 二、自主合作，探究新知 知识要点 运用平方差公式因式分解的步骤： 有公因式的先提取公因式（一提）； 套用平方差公式（二套）； 多项式的因式分解分解到不能再分解为止.（三查） 二、自主合作，探究新知 知识要点 运用平方差公式因式分解的注意事项： 1.具有平方差形式的多项式才可运用平方差公式分解因式. 2.公式中的字母 可以是单项式，也可以是多项式，应视具体情形灵活运用. 3.若多项式中有公因式，应先提取公因式，然后再进一步分解因式. 4.分解因式要彻底.要注意每一个因式的形式要最简，直到不能再分解为止. 二、自主合作，探究新知 探究二：用平方差公式因式分解的应用 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除. 证明：原式＝(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)＝4n·2＝8n， ∵n为整数，∴8n被8整除， 即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除. 3.因式分解：2a2-18=　　　 　. 2.若x2-9=(x+a)(x+3),则a=　　　　. 三、当堂练习，巩固新知 -3 2(a+3)(a-3) 1.因式分解：(x-1)2-9= . (x+2)(x-4) 4.如图所示，在边长为6.8cm的正方形钢板上挖去4个边长为1.6cm的小正方形，求剩余部分的面积. 三、当堂练习，巩固新知 解:根据题意得6.82-4×1.6=6.82-(2×1.6)2=6.82-3.22 =(6.8+3.2)(6.8-3.2)=10×3.6=36(cm2) 答:剩余部分的面积为 36cm2. 四、课堂小结 公式法1 平方差公式因式分解 步骤 一提：有公因式的先提取公因式； 二套：套用公式（平方差公式）； 三查：多项式的因式分解有没有分解到不能再分解为止. a2-b2＝(a+b)( a-b).（两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.） 注意：能用平方差公式分解因式的多项式的特点:a2-b2.即多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反. 教材习题4.4.　　　　 五、布置作业 预习作业 将下列式子因式分解 a2+4ab+4b2＝ 9a2-6ab+b2＝ （提示：完全平方公式） 教学阐释 说教学与教法 说教学重难点 说教学目标 说学情 说教材 说教学过程 阐 释 流 程 教学阐释 01 说教材 本节课是北师大版八年级数学下册第四章第三节《公式法》的内容。 本节课是《公式法》的第一课时，因式分解与数系中分解因数类似，是代数中一种重要的恒等变形，它是在学生学习了整式运算的基础上提出来的，是整式乘法的逆向变形，在后面的学习过程中应用广泛，如下一章就要学习的分式的通分和约分，为下一章以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。本章介绍了最基本的两种因式分解方法：提公因式法和运用公式法（平方差、完全平方公式）。本节课重点就是学习利用平方差公式因式分解。 教学阐释 02 说学情 学生在前边学习的基础上，已经对整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系有所了解，学习了提公因式法分解因式。在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础。通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论、动手计算等方法，让学生有充分活动时间。 初二学生已经具备了一定的分析能力和自主学习能力，所以本节课应多为学生创造自主学习、合作学习的机会，让他们主动参与，探究出如何用提公因式法分解因式。 教学阐释 03 说教学目标 理解平方差公式的本质，会用平方差公式进行因式分解。 经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维。 培养学生独立思考的习惯，同时又要培养大家合作交流和勇于探索的意识。 学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。 教学阐释 04 说重难点 重点：学生掌握运用平方差公式分解因式。 难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式进行因式分解；培养学生多步骤分解因式的能力。 教学阐释 05 说教法学法 3.教学手段 采用多媒体辅助教学。 2.学法 在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体。 1.教法 本节课选择类比、探究式教学法，就是让学生共同讨论，并用类比推理的方法学习，由浅入深，由特殊到一般地提出问题。引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。 教学阐释 06 说教学过程 教学过程主要分成三个部分，一是引入新知，二是探究新知，三是巩固新知。由浅入深，由易到难，由学习到应用。 引入新知。问题导入，多媒体展示两组题目，一组为学过的知识点，另一组为预习作业。通过练习初步感受应用平方差公式来分解因式。 探究新知。探究一：用平方差公式因式分解。一是直接讲解平方差公式法，且强调多项式是二项式，两项都能写成平方的形式，符号相反，再通过题目讲解进行强化。二是对一组题目进行因式分解，体会因式分解的步骤，着重强调因式分解的注意事项。探究二：用平方差公式因式分解的应用。展示例题，通过灵活的应用公式法分解因式求得答案。 巩固新知。课上巩固分成当堂练习和课堂总结，当堂练习可检验学生学习效果，针对学生出现的问题及时查缺补漏；以提问的方式进行小结，最后教师总结。课下巩固为布置作业。 教学阐释 感谢倾听！ $$