第三章圆锥曲线的方程同步练习检测卷-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第三章圆锥曲线的方程同步练习检测卷-高二数学上学期人教A版（2019）选择性必修第一册 一、单选题 1．如果直线经过双曲线的中心，且与该双曲线不相交，则的斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若方程表示椭圆，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，则（    ） A． B．2 C． D．4 4．过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（    ） A． B． C． D． 5．已知椭圆的上顶点、左焦点、右顶点分别为A，F，B，且点A为的垂心，则椭圆C的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（     ）. A．1 B． C．2 D． 7．1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 8．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经拋物线反射之后得到的光线平行于抛物线的对称轴：反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过拋物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知曲线，则（    ） A．当时，曲线是椭圆 B．当时，曲线是以直线为渐近线的双曲线 C．存在实数，使得过点 D．当时，直线总与曲线相交 10．已知抛物线：的焦点为，点为抛物线上一动点，点，则（   ） A．抛物线的准线方程为 B．的最小值为5 C．当时，则抛物线在点处的切线方程为 D．过的直线交抛物线于两点，则弦的长度为16 11．已知，是椭圆C：的上、下焦点，是椭圆上一点，则（    ） A．的周长等于 B．时，满足的点有2个 C．的最大值为 D．面积的最大值为 三、填空题 12．椭圆的焦点的坐标为 ，若为椭圆上任意一点，则 . 13．设双曲线的左、右焦点为、，点是上一点，满足，则的面积为 ． 14．已知抛物线：，为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且直线，斜率之积为，则点到直线的最大距离为 . 四、解答题 15．在平面直角坐标系中，点到点与到直线的距离之比为，记点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)若点是圆上的一点（不在坐标轴上），过点作曲线的两条切线，切点分别为，记直线的斜率分别为，且，求直线的方程. 16．已知抛物线C：的焦点F到准线的距离为2． (1)求C的方程； (2)已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求点Q的轨迹方程． 17．已知双曲线的一条渐近线方程为，焦点到渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程与离心率； (2)已知斜率为的直线与双曲线交于轴上方的两点，为坐标原点，直线的斜率之积为，求的面积． 18．已知椭圆的右焦点恰为抛物线的焦点，过点且与轴垂直的直线截抛物线､椭圆所得的弦长之比为. (1)求的值； (2)已知为直线上任一点，分别为椭圆的上､下顶点，设直线与椭圆的另一交点分别为，求证：直线过定点.并求出该定点. 19．在平面直角坐标系中，已知三点，曲线C上任意一点满足：． (1)求曲线C的方程； (2)设点P是曲线C上的任意一点，过原点的直线L与曲线相交于M，N两点，若直线PM，PN的斜率都存在，并记为．试探究的值是否与点P及直线L有关，并证明你的结论； (3)设曲线C与y轴交于D、E两点，点在线段DE上，点P在曲线C上运动．若当点P的坐标为时，取得最小值，求实数m的取值范围． 参考答案： 1．B 【分析】设直线方程为，与双曲线联立消去得，，因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根，所以，即可求出答案. 【详解】依题意知，直线的斜率存在，设为，双曲线的中心为， 因为直线经过双曲线的中心，所以设直线方程为， 由，消去得，， 因为直线与该双曲线不相交，所以方程没有实数根， 所以，即，解得或， 所以直线l的斜率的取值范围是：. 故选：B. 2．A 【分析】根据方程表示椭圆列不等式组，即得实数的取值范围. 【详解】由题意知表示椭圆，则， 解得. 故选：A. 3．C 【分析】分别求出两双曲线的渐近线方程，由题意列式计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为，双曲线的渐近线方程为， 所以，所以. 故选：C 4．B 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 5．A 【分析】根据三角形相似即可结合椭圆性质得由齐次式即可求解. 【详解】的垂心为点是以为直角顶点的直角三角形，又, 与相似（为坐标原点），， ，解得或（舍）， 故选：A． 6．A 【分析】利用抛物线定义可知，再由等边三角形的边长为2即可求得. 【详解】根据题意，易知，由抛物线定义可得， 设准线与l的交点为，如下图所示：    因此与平行，又是边长为2的等边三角形， 所以，即, 可得，即. 故选：A 7．C 【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，即可判断A，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即可判断BD，根据即可判断C. 【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 8．D 【分析】根据给定条件，求出点的坐标，进而求出直线方程，与抛物线方程联立求出点的坐标即得. 【详解】抛物线的焦点为，准线为，由点在抛物线上，则， 直线方程为：，即， 由，消去得，解得或，由，得， 于是，， 而， 所以的周长为. 故选：D    9．ABC 【分析】A：根据的正负以及大小关系判断；B：先表示出双曲线方程，然后可知渐近线方程；C：代入于曲线方程，然后判断方程是否有解即可；D：考虑时的情况. 【详解】当时，，所以方程表示的曲线是椭圆，故A正确； 当时，方程为，所以，其渐近线方程为，即，故B正确； 令，整理得且，此方程有解，故C正确； 当时，曲线为双曲线，直线为的一条渐近线，此时无交点，故D错误. 故选：ABC. 10．ABD 【分析】对于A，直接由抛物线标准方程即可判断；对于B，由抛物线定义结合三角形三边关系即可判断；对于C，设出切线方程（斜率为参数），联立抛物线方程由判别式为0即可验算；对于D，联立方程和抛物线方程，结合韦达定理、焦点弦公式即可判断. 【详解】对于A，由题意抛物线：的准线方程为，故A正确； 对于B，如图所示： 过点向准线作垂线，设垂足为点，过点向准线作垂线，设垂足为点， 所以， 等号成立当且仅当点与点重合，点为与抛物线的交点，故B正确； 对于C，切点为，且切线斜率存在，所以设切线方程为， 联立抛物线方程得， 所以，解得， 所以当时，则抛物线在点处的切线方程为，故C错误； 对于D，由题意，所以， 所以直线，即，联立抛物线方程得， 所以，，故D正确. 故选：ABD. 11．BCD 【分析】对于A，求出的周长，由，即可判断真假；对于B，由，的关系，进而可得以，为直径的圆与椭圆的交点个数，即满足的点的个数；对于C，利用椭圆定义，结合基本不等式求解即可；对于D，结合椭圆的性质和基本不等式的公式即可求出面积的最大值. 【详解】对于A，椭圆的长轴长为，焦距为，则的周长为：，由，所以的周长小于，故A不正确； 对于B，当时，则，满足的点，以为圆心，为半径的圆与椭圆交于椭圆短轴两端点，即使得的点为椭圆短轴的端点，故B正确； 对于C，设，，，则，由椭圆的定义知：，所以，当且仅当时，等号成立，故的最大值为，所以C正确； 对于D，由椭圆几何性质，焦点三角形面积仅当P点在短轴顶点时最大，为，故D正确. 故选：BCD 12． 【分析】将椭圆化为标准方程即可求出焦点，再利用椭圆定义即可得到. 【详解】该椭圆的方程是，即，，故，所以焦点坐标为. 根据椭圆的定义，有. 故答案为：，. 13． 【分析】由双曲线的方程得到，设，再根据双曲线的定义余弦定理，求得，进而求得三角形的面积. 【详解】 由题意，，不妨设， 则，由余弦定理， 所以，， 所以，. 故答案为：. 14．1 【分析】设出直线的方程，把直线与抛物线联立，表示出，运用韦达定理即可. 【详解】设直线：，，，则， 所以，，，， ，所以， 则直线：，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1. 故答案为：1. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据椭圆的第二定义列出等式，整理即可得曲线的方程为； （2）设直线的方程为并于椭圆方程联立，由直线与椭圆相切可得，同理可知是关于方程的两个根，可求得直线的方程为. 【详解】（1）根据题意可得，即， 整理可得， 因此曲线的方程为； （2）如下图所示： 设，则， 又点不在坐标轴上，所以且； 因此直线的方程为，直线的方程为， 又直线与椭圆相切与点， 联立整理可得 可得，即， 整理可得， 又，可得； 直线与椭圆相切与点，同理可得， 所以是关于的一元二次方程的两个不同的实数根， 因此， 再由可得，即； 所以直线的斜率为， 因此直线的方程为. 【点睛】方法点睛：在求解直线与椭圆相切问题时，可联立直线和椭圆方程再利用判别式为0可得关系式，再由韦达定理可求得参数之间的关系，即可求得直线的斜率为，可得直线方程. 16．(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义求出，即可得解； （2）根据，将点的坐标用的坐标表示，再根据点P在C上，代入即可得解. 【详解】（1）由抛物线的定义可知，焦点F到准线的距离为p，故， 所以C的方程为； （2）由（1）知，设，， 则，， 因为， 所以，可得， 又点P在抛物线C上，所以，即， 化简得， 则点Q的轨迹方程为． 17．(1)，； (2). 【分析】（1）根据点到直线距离公式求出，再根据渐近线方程及，求出，，得到双曲线方程； （2）设出直线：，与双曲线方程联立，得到两根之和，两根之积，根据直线，的斜率之积为，列出方程，得到，得到直线方程，数形结合得到的面积. 【详解】（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为，则， 由一条渐近线方程为，得，而，解得，， 所以双曲线的标准方程为，离心率. （2）依题意，设直线：，， 由消去y并整理得，显然， 则，， 由， 而，解得，于是，，直线：交y轴于， 又， 所以的面积为.    18．(1)； (2)证明见解析，. 【分析】（1）根据给定条件，求出过焦点的弦长，建立方程组求解即得. （2）设出点的坐标，求出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再求出直线方程即可得解. 【详解】（1）设点，则椭圆半焦距，由得，由得， 依题意，，又，解得， 所以. （2）由（1）知，椭圆的方程为，，设点， 当时，直线的方程为的方程为， 由，得，解得， 由，得，解得， 即点，则直线的斜率， 于是直线的方程为， 整理得，显然直线恒过定点直线， 当时，直线的方程为，也经过， 所以直线恒过定点直线.    【点睛】思路点睛：过圆锥曲线上的动点的直线过定点问题，借助圆锥曲线方程设出动点坐标，求出相关的直线方程，并与圆锥曲线方程联立，求出另一交点坐标，再与已知结合推理求解即可. 19．(1) (2)无关，证明见解析 (3) 【分析】（1） 结合向量运算得出轨迹方程； （2） 设点的坐标结合点差法证明定值； （3）应用两点间距离公式，消参结合参数范围求范围. 【详解】（1）由题意，，则， 由此可得，， 又，且， ∴， 化简整理得：，即为所求曲线C的方程． （2）因为过原点的直线L与椭圆相交的两点M，N关于坐标原点对称， 所以可设． ∴P，M，N在椭圆上，则①，②， ①﹣②，得． 又，， ∴， 因此，的值恒等于，与点P的位置和直线L的位置无关． （3）由于在椭圆C：上运动，可得且， ∵， ∴|| 由题意，点P的坐标为时，取得最小值， 即当时，取得最小值，而，故有，解之得． 又∵椭圆C与y轴交于D、E两点的坐标为，而点N在线段DE上，即， ∴，实数m的取值范围是． 【点睛】方法点睛：先设点的坐标再应用点差法证明斜率乘积为定值. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$