精品解析：福建省泉州市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

福建省泉州市2023—2024学年上学期九年级期末数学模拟试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使有意义，则x取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 7 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为 B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 C. 天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　　）． A. B. C. D. 6. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如果把方程变形为形式，那么以长为直角边的 中的值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A. B. 0 C. 7 D. 11 9. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 计算_________． 12. 一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了次，其中有次取到黑棋子，由此估计盒子中有______枚黑棋子. 13. 在中，点D、E分别在边、上，如果，，，，那么的长是______． 14. 如图，，如果，，，那么的长是______． 15. 如图，在中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则_______________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是_________． 三、解答题：本题共9小題，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 18 解方程：． 19. 如图，在中，，，，点O为边中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在上作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，连接，若，则的面积为 ． 20. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 21. 一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________． （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率． 22. 如图1，中，，点D，E分别是，中点，连接．将绕点C逆时针旋转得到（如图2），连接，． （1）求证：； （2）已知，，分别延长，交于点F． ①若，求的长； ②连接，若，直接写出的值． 23. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼的高度； （2）求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得成立?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 25. 如图1，在矩形中，，点是对角线上任意一点，连接，过点作，且，连接． （1）证明：． （2）四边形可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形的面积，如果不可能，请说朋理由； （3）如图2，作，垂足为，当点从点运动到点时，直接写出点运动的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 福建省泉州市2023—2024学年上学期九年级期末数学模拟试题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 要使有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，牢记二次根式的被开方数是非负数是解题关键． 直接利用二次根式中的被开方数是非负数列不等式求解即可． 【详解】解：要使式子有意义， 则，解得：． 故选：A． 2. 若，则的值是（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由，则设a=4k，b=3k，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴设a=4k，b=3k， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查分式求值，利用设参数求解是解题的关键． 3. 下列说法正确的是（ ） A. 抛一枚质地均匀的硬币8次，其中正面朝上的有5次，所以正面朝上的概率为 B. 某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖 C. 天气预报说明天下雨的概率是50%，所以明天将有一半时间在下雨 D. 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是事件的可能性的含义，随机事件的概率的理解，等可能事件的含义，利用以上知识逐一判断即可，熟记概念是解本题的关键. 【详解】解：抛一枚质地均匀的硬币8次，正面朝上的概率为，故A不符合题意； 某种彩票中奖的概率是1%，是随机事件，因此买100张该种彩票不一定会中奖，故B不符合题意； 天气预报说明天下雨的概率是50%，是随机事件，所以明天将有一半时间在下雨的说法是错误的，故C不符合题意； 抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上不是等可能事件，所以钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，故D符合题意； 故选D 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．根据同类二次根式的定义进行解答即可． 【详解】解：∵，，，， ∴上述二次根式中，与是同类二次根式． 故选：B． 5. 用配方法解方程时，原方程应变形为（　　　）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据配方法即可求解，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法． 【详解】方程移项得：， 配方得：， 即． 故选：． 6. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子的长为10米，梯子与地面形成的夹角为，则墙的高度为（　　） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：在中，米，， ， （米， 故选：B． 7. 如果把方程变形为的形式，那么以长为直角边的 中的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查配方法的应用，勾股定理，求角的余弦值．掌握配方法，勾股定理和余弦的定义是解题关键．根据配方法可求出，结合勾股定理可求出的斜边长为5，最后根据余弦的定义求解即可． 【详解】解：方程变形为的形式为， ∴． ∵以长为直角边， ∴的斜边长为， ∴． 故选B． 8. 已知为一元二次方程的两个根，则的值为（ ） A B. 0 C. 7 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，，由题意得出，，代入计算即可得出答案． 【详解】解：∵为一元二次方程的两个根， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图所示，的顶点是正方形网格的格点，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了解直角三角形，勾股定理的逆定理．取格点D，连接，根据勾股定理的逆定理可证得，即可求解． 【详解】解：如图，取格点D，连接， 根据题意得：，，， ∴， ∴， ∴． 故选：D 10. 如图，以点O为位似中心，将放大得到．若，则与的周长之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出与的位似比，得到相似比，周长之比等于相似比． 【详解】解：以点O为位似中心，将放大得到， ∴， ∵， ∴， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． 故选：D． 【点睛】本题考查的是位似变换，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的周长之比等于相似比． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分 11. 计算_________． 【答案】6 【解析】 【分析】利用二次根式的乘法法则进行求解即可． 【详解】解：． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法，熟练掌握二次根式的乘法法则和二次根式的性质是解题的关键． 12. 一个不透明的盒子中装有黑棋子和白棋子共枚，这些棋子除颜色外无其他差别，从盒中随机取出一枚棋子，记下颜色，再放回盒中.不断重复上述过程，一共取了次，其中有次取到黑棋子，由此估计盒子中有______枚黑棋子. 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由频率估计概率，根据摸到黑棋子的频率得出其概率即可求解． 【详解】解：由题意得：取到黑棋子的概率约为：， ∴估计盒子中有黑棋子：（枚）， 故答案为： 13. 在中，点D、E分别在边、上，如果，，，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解答本题的关键． 根据题意，得到，可以证明，再根据相似三角形的性质，可以得到，由此得到答案． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，，如果，，，那么的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 故答案为：． 15. 如图，在中，，点为斜边上的一点，连接，将沿翻折，使点落在点处，点为直角边上一点，连接，将沿翻折，点恰好与点重合．若，则_______________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查翻折变换、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题．根据折叠的性质得到，求出的长，故，再根据勾股定理得到，代入即可求解． 【详解】解：在中，， ∵将沿翻折，使点落在点处， ， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，在平面直角坐标系中，直线l与轴交于点，与轴交点于，且，，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，过点作平行于轴，交直线l于点，以为边长作等边三角形，按此规律进行下去，则点的横坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形等，过作于A，过作于B，过作于C，根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，可得的横坐标为，的横坐标为，的横坐标为，进而可得的横坐标为，由此可解． 【详解】解：如图所示，过作于A，则， 即的横坐标为， ∵， ∴， ∵轴， ∴，， ∴， ∴， 过作于B，则， 即的横坐标为， 过作于C， 同理可得，，， 即的横坐标为， 同理可得，的横坐标为， 由此可得的横坐标为， ∴点的横坐标是． 故答案为：． 三、解答题：本题共9小題，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先化简二次根式，计算乘法，再合并同类二次根式即可得． 【详解】原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． 18. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握直接开平方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．利用直接开平方法解出方程． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，． 19. 如图，在中，，，，点O为边中点． （1）请用无刻度的直尺和圆规按要求作图：在上作一点D，使得；（不写作法，保留作图痕迹．） （2）在（1）的条件下，连接，若，则的面积为 ． 【答案】（1）见解析 （2）16 【解析】 【分析】（1）在的延长线上截取，再作线段的垂直平分线，交于点D，则点D即为所求． （2）连接，则可得，由作图可得，，则，利用三角形的面积公式计算可得答案． 【小问1详解】 解：如图，在的延长线上截取， 再作线段的垂直平分线，交于点D， 则， 即， 则点D即所求． 【小问2详解】 连接， 由（1）可知，，点D为的中点， ∵O为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴的面积为． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图、中位线、勾股定理的应用，线段的垂直平分线的性质，等腰直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 20. 超市销售某种商品，平均每天可售出件，每件盈利元，为了扩大销售，增加盈利该店采取了降价措施，在让顾客得到更大实惠的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低元，平均每天可多售出件． （1）若降价元，则平均每天销售数量为多少件； （2）当每件商品降价多少元时，该商店每天销售利润为元？ 【答案】（1）件； （2）20. 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用平均每天的销售量每件商品降低的价格，即可求出结论； （2）设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，利用总利润每件盈利平均每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在让顾客得到更大实惠的前提下，即可得出每件商品应降价元． 【小问1详解】 根据题意得：（件）， 答：平均每天销售数量为件； 【小问2详解】 设每件商品降价元，则每件盈利元，平均每天可售出元，依题意得： ， 整理得：， 解得：，， 又要让顾客得到更大实惠， ． 答：当每件商品降价元时，该商店每天销售利润为元． 21. 一个不透明的袋子里有4个小球，小球上各标有一个数字，分别是2，3，5，8．这些小球除标有的数字不同外其他都相同． （1）从这个袋子里随机摸出一个小球（摸出后不放回），摸出标有数字“3”的小球的概率是________；下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是________． （2）先从袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字后，放回、摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，第一次记下的数放在十位，第二次记下的数放在个位组成两位数，请利用画树状图或列表的方法，求这个两位数是奇数的概率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到这个两位数是奇数的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有4个数字，每个数字被摸到的概率相同， ∴摸出标有数字“3”的小球的概率是； ∵摸出后不放回， ∴再下一次摸球过程中，只有3个球，每个球被摸到的概率相同， ∴下一次在袋子中摸出的是标有数字“8”的小球的概率是； 故答案为：；； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中这个两位数是奇数的结果数有8种， ∴这个两位数是奇数的概率为． 22. 如图1，中，，点D，E分别是，的中点，连接．将绕点C逆时针旋转得到（如图2），连接，． （1）求证：； （2）已知，，分别延长，交于点F． ①若，求的长； ②连接，若，直接写出的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）由中线可得，即可得证； （2）①通过证明，可得，由勾股定理可求解；②通过证明，可得，，由勾股定理可求解． 【小问1详解】 证明：∵点D，E分别是，的中点， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：①如图，设交于点G，连接， ∵，，， ∴， 由（1）得， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； ②如图，过点C作，交于N， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 23. 小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： （1）求高楼的高度； （2）求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】（1）高楼的高度为米 （2）点离地面的距离为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； 【小问2详解】 解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 24. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，． （1）求实数k的取值范围； （2）是否存在实数k，使得成立?若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2）不存在实数，使得成立，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根判别式，一元二次方程根与系数的关系等知识点， （1）根据判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）根据根与系数的关系得到，，再把变形为，所以，然后解方程后利用（1）中的范围确定满足条件的k的值； 熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的应用是解题的关键． 【小问1详解】 ∵原方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴当时，原方程有两个实数根． 【小问2详解】 不存在实数，使得成立 理由如下：假设存在实数，使得成立. ∵，是原方程的两根， ∴，， 由，得， ∴，整理得 ∴只有当时，不等式才能成立. 又∵由（1）知， ∴不存在实数，使得成立． 25. 如图1，在矩形中，，点是对角线上任意一点，连接，过点作，且，连接． （1）证明：． （2）四边形可能为矩形吗？如果可能，求出此时四边形的面积，如果不可能，请说朋理由； （3）如图2，作，垂足为，当点从点运动到点时，直接写出点运动的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2）四边形可能是矩形，此时四边形的面积为 （3）8 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和已知条件可得，即可证明； （2）结合（1），证明四边形为矩形，再根据勾股定理即可解决问题； （3）根据题意画出图形证明点Q在直线上运动，由（2）知：图3中四边形是矩形，根据矩形对角线相等即可得点Q运动的距离． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 四边形可能为矩形，理由如下： 由（1）得， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴四边形为矩形， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴； 小问3详解】 点Q运动的距离为8，理由如下： 如图2， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 如图3， ∴， 因此点Q在直线上运动， 由（2）知：图3中四边形是矩形， ∴． 【点睛】本题属于几何综合题，考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定与性质，动点问题，勾股定理，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$