1.3 集合的基本运算（4知识点+12题型）-2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.3 集合的基本运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点 1 并集的概念及运算 1、并集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 2、理解： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． (4)并集的运算技巧 ①若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 知识点 2 交集的概念及运算 1、交集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 2、理解： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. (4)交集运算的关注点 ①求集合交集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法． ②若A，B是无限数集，多用数轴求解．需注意含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 知识点 3 全集与补集的概念及运算 1、全集的概念 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2、补集的概念及性质 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 3、理解： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． (4)两种求补集的方法 ①若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． ②若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． 4、交、并、补集的综合运算 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 5、利用集合间的关系求参数范围 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解． 知识点4 区间及相关概念 一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 ≥ 半开半闭区间 开区间 ≤ 半开半闭区间 实数集R 开区间 (－∞，＋∞) 思路方法总结 1、交、并、补运算的方法技巧 （1）如果所给集合是有限集，那么先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． （2）如果所给集合是无限集，那么常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补运算．解答过程中要注意边界问题． 2、有关交、并、补的参数范围 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 3、运用补集思想的方法步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其方法步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 典例·举一反三 题型一 并集的概念及运算 例1．集合，，则（    ） A． B． C．R D． 跟踪训练1 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，集合，则 . 3．已知集合，，则 ． 题型二 根据并集结果求参数 例2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练2 1．设或，，若，，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 3．设集合，集合，且，则的取值范围是 ． 题型三 交集的概念及运算 例3．已知集合，，（    ） A． B． C．    D 跟踪训练3 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 3．设集合，，则 . 题型四 根据交集的结果求参数 例4．设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 题型五 补集的概念及运算 例5．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．已知全集，集合，那么为（　　） A． B． C． D． 2．若集合，，满足：BU，则（    ） A． B． C． D． 3．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 题型六 根据补集的结果求参数 例6．设，=,,则m的取值范围是 A．[0， ) B．{0}(，+) C．(-，0] D．( -，0](，+) 跟踪训练6 1．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 2．设全集，，则集合 ． 3．设集合，，若，则 ； . 题型七 交并补的综合运算 例7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练7 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知集合（   ） A．或 B．或 C． D． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 题型八 根据交并补的结果求参数 例8．设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 跟踪训练8 1．已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 2．已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 3．已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 题型九 Venn图的应用 例9．设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 跟踪训练9 1．已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A．或 B．或 C． D． 2．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 3．如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A．｛或 ｝ B．｛或｝ C．｛或｝ D．｛或｝ 题型十 容斥原理的应用 例10．某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 跟踪训练10 1．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 2．某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    3．深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 题型十一 集合的新定义问题 例11．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练11 1．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 2．定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 3．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 题型十二 集合的综合大题 例12．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 跟踪训练12 1．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 2．已知集合． (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 3．已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3 集合的基本运算 内容导图预览 新知要点探究 知识点 1 并集的概念及运算 1、并集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作A∪B(读作“A并B”) 符号语言 A∪B＝{x|x∈A，或x∈B} 图形语言 性质 A∪B＝B∪A，A∪A＝A，A∪∅＝A，A∪B＝A⇔B⊆A，A⊆A∪B 2、理解： (1)A∪B仍是一个集合． (2)并集符号语言中的“或”包含三种情况：①x∈A且x∉B；②x∈A且x∈B；③x∉A且x∈B. (3)对概念中“所有”的理解，要注意集合元素的互异性． (4)并集的运算技巧 ①若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集合中元素的互异性． ②若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意是否去掉端点值． 知识点 2 交集的概念及运算 1、交集的概念及性质 文字语言 一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交B”) 符号语言 A∩B＝{x|x∈A，且x∈B} 图形语言 性质 A∩B＝B∩A，A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝A⇔A⊆B，(A∩B)⊆(A∪B)，(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B 2、理解： (1)A∩B仍是一个集合． (2)文字语言中“所有”的含义：A∩B中任一元素都是A与B的公共元素，A与B的公共元素都属于A∩B. (3)如果两个集合没有公共元素，不能说两个集合没有交集，而是A∩B＝∅. (4)交集运算的关注点 ①求集合交集的运算，其方法为①定义法，②数形结合法． ②若A，B是无限数集，多用数轴求解．需注意含有端点的值用实心点表示，不含有端点的值用空心圈表示． 知识点 3 全集与补集的概念及运算 1、全集的概念 定义 一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集 记法 U 2、补集的概念及性质 定义 文字语言 对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作∁UA 符号语言 ∁UA＝{x|x∈U，且x∉A} 图形语言 性质 (1)∁UA⊆U；(2)∁UU＝∅，∁U∅＝U； (3)∁U(∁UA)＝A； (4)A∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅ 3、理解： (1)“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题加以选择的． (2)补集是集合之间的一种运算关系，求集合A的补集的前提是A是全集U的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也不同，因此它们是相互依存、不可分割的两个概念． (3)∁UA包含三层含义：①A⊆U；②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U；③∁UA是U中所有不属于A的元素构成的集合． (4)两种求补集的方法 ①若所给的集合是用列举法表示，则用Venn图求解． ②若所给的集合是有关不等式的集合，则常借助于数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后再根据补集的定义求解，注意端点值的取舍． 4、交、并、补集的综合运算 解决集合交、并、补运算的技巧 (1)如果所给集合是有限集，则先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助于Venn图来求解． (2)如果所给集合是无限实数集，则常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补集的运算．解答过程中要注意边界问题． 5、利用集合间的关系求参数范围 由集合的补集求解参数的方法 (1)由补集求参数问题，若集合中元素个数有限，可利用补集定义并结合集合知识求解． (2)与集合交、并、补运算有关的求参数问题，若集合中元素有无限个，一般利用数轴分析法求解． 知识点4 区间及相关概念 一般区间的表示：设a，b是两个实数，而且a<b，我们规定：这里的实数叫做区间的端点. 在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示. 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半开半闭区间 半开半闭区间 开区间 ≥ 半开半闭区间 开区间 ≤ 半开半闭区间 实数集R 开区间 (－∞，＋∞) 思路方法总结 1、交、并、补运算的方法技巧 （1）如果所给集合是有限集，那么先把集合中的元素一一列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义来求解．在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象且解答时不易出错． （2）如果所给集合是无限集，那么常借助数轴，把已知集合及全集分别表示在数轴上，然后进行交、并、补运算．解答过程中要注意边界问题． 2、有关交、并、补的参数范围 （1）根据并集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集；若B有参数，则； （2）根据交集求参数范围： 若A有参数，则需要讨论A是否为空集； 若B有参数，则 3、运用补集思想的方法步骤 当从正面考虑情况较多、问题较复杂时，往往考虑运用补集思想，其方法步骤为： 第一步：否定已知条件，考虑反面问题； 第二步：求解反面问题对应的参数范围； 典例·举一反三 题型一 并集的概念及运算 例1．集合，，则（    ） A． B． C．R D． 【答案】B 【分析】解绝对值不等式求出集合A，由二次函数的性质求出集合B，最后求并集. 【详解】根据题意，， ， 所以. 故选：B 跟踪训练1 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解不等式化简结合，结合并集的概念即可求解. 【详解】因为，， 所以. 故选：A. 2．已知集合，集合，则 . 【答案】 【分析】求出集合、，利用并集的定义可求出集合. 【详解】因为，， 因此，. 故答案为：. 3．已知集合，，则 ． 【答案】 【分析】根据并集的运算求解即可. 【详解】集合，， 所以. 故答案为： 题型二 根据并集结果求参数 例2．已知集合，集合，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将集合化简，根据条件可得，然后分，，讨论，化简集合，列出不等式求解，即可得到结果. 【详解】因为或，解得或 即， 因为，所以 当时，，满足要求. 当时，则，由， 可得，即 当时，则，由， 可得，即 综上所述， 故选:B. 跟踪训练2 1．设或，，若，，则有（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由题知，再解方程即可. 【详解】解：因为或，， ， 所以，，解得， 故选：D 2．已知集合，，且，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】按并集定义计算即可得解. 【详解】，又 所以 故答案为： 3．设集合，集合，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先求出集合，再由得，然后由集合包含关系可得． 【详解】，， ，则，∴，， 故答案为：． 题型三 交集的概念及运算 例3．已知集合，，（    ） A． B． C．    D 【答案】C 【分析】解分式不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解不等式，得，解得或， 则或，而， 所以. 故选：C 跟踪训练3 1．已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出两集合，再求两集合的交集. 【详解】解：由，，得到，即， 由，得到， 则， 故选：C． 2．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析集合的元素特性，求出集合的关系，再结合交集、并集的定义判断即得. 【详解】集合中元素，是奇数， 集合中元素，是整数，因此，ACD错误； ，B正确. 故选：B 3．设集合，，则 . 【答案】 【分析】解不等式化简集合，再利用交集的定义求解即得. 【详解】解，得，解得，则， 而不等式，即恒成立，则， 所以. 故答案为： 题型四 根据交集的结果求参数 例4．设集合或，集合，若中恰有两个整数，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，分类讨论的整数的情况，求出参数的范围. 【详解】由题知，方程的两根异号，且两根之积为. 设，， ①若中恰有两个整数为，，则，解得； ②若中恰有两个整数为，， 则且，； ③若中有两个整数为，， 则且，； 综上可得 故选：B 跟踪训练4 1．设集合,，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在数轴上表示出集合，根据交集的定义即可求解. 【详解】由已知条件在数轴上表示出集合，如下图所示： 由此可知，所以的取值范围是， 故选: . 2．设为实数，集合，，若，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据交集的定义求解即可. 【详解】由，，， 所以，即， 所以的取值范围是. 故答案为：. 3．已知集合，，若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】可求出集合，然后根据，得到，从而求出实数的取值范围. 【详解】由，可得， 由于，且，则， 所以，则实数的取值范围是， 故答案为： 题型五 补集的概念及运算 例5．设集合，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据交集与补集的定义求解即可. 【详解】由题意，. 故选：C 跟踪训练5 1．已知全集，集合，那么为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据题干信息和集合的运算法则计算求解即可． 【详解】 集合， 则或 故选：D． 2．若集合，，满足：BU，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】有集合关系，作出Venn图，数形结合即可求解. 【详解】由集合，，满足：BU，，如图所示： ，， 故选：B 3．已知全集，则集合（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用集合的并集运算，可求得A∪B，发现C＝∁U（A∪B）即可求得答案． 【详解】∵A＝{x|﹣4<x<}，B＝{x|x≤﹣4}， ∴A∪B═{x|x<}， ∴∁U（A∪B）＝{x|x}=C， 故选D． 【点睛】本题考查并、补集的混合运算，考查了逻辑推理能力，属于基础题． 题型六 根据补集的结果求参数 例6．设，=,,则m的取值范围是 A．[0， ) B．{0}(，+) C．(-，0] D．( -，0](，+) 【答案】A 【详解】∵，∴， 时，不等式为，满足题意； 当时，，解得， 综上有， 故选:A． 跟踪训练6 1．设集合U＝{－1,1,2,3}，M＝{x|x2－5x＋p＝0}，若∁UM＝{－1,1}，则实数p的值为(　　) A．－6 B．－4 C．4 D．6 【答案】D 【详解】∵集合，且 ∴ ∵ ∴ 故选D 2．设全集，，则集合 ． 【答案】 【分析】依题意，，即可得到，从而求出参数的值，即可求出集合，即可得解； 【详解】解：因为，，所以，，所以，解得，所以，解得或，所以，所以 故答案为： 3．设集合，，若，则 ； . 【答案】 1 1 【分析】先求解集合A，B中的不等式，再结合，列出关于的等量关系，即得解 【详解】由题意，集合 由于，即或 故，否则 故集合或 故 解得 故答案为：1，1 题型七 交并补的综合运算 例7．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用并集和补集的定义可求得集合. 【详解】因为合，，则， 因此，. 故选：C. 跟踪训练7 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】化简集合A，B，后由交集补集定义可得答案. 【详解】，， ，则或 故. 故选：C． 2．已知集合（   ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】化简集合，结合集合运算法则求即可. 【详解】解不等式，可得或， 所以或， 又， 则或． 故选：B． 3．设集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定，再根据集合的运算法则依次计算得到答案. 【详解】， 对选项A：，错误； 对选项B：，正确； 对选项C：，则，错误； 对选项D：，，错误； 故选：B 题型八 根据交并补的结果求参数 例8．设全集，集合，若，则的值为（    ） A．4 B．2 C．2或4 D．1或2 【答案】B 【分析】由可知，由此即可解出，则可求出，再由可知，由此即可求出答案. 【详解】因为 所以 所以解得：， 或 所以， 所以， 所以解得：或， 且解得：且 所以. 故选：B 跟踪训练8 1．已知集合.若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】由，得到，分与讨论即可. 【详解】由，得到 分两种情况考虑： ①当，即时，，符合题意； ②当，即时，需， 解得：，综上得：，则实数的取值范围为. 故选：A 2．已知集合，，若中恰好含有个整数，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可根据题意得出∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}，根据条件得出A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}，从而可得出a的取值范围． 【详解】根据题意，a＞﹣4，则∁RB＝{x|﹣4＜x≤a}， 又A＝{x|x＜﹣3或x＞1}，A∩（∁RB）中恰好含有2个整数， ∴A∩（∁RB）＝{x|﹣4＜x＜﹣3或1＜x≤a}， ∴3≤a＜4． 故选：B． 【点睛】本题考查描述法的定义，以及交集、补集的运算，注意数轴法的应用及端点值问题，是易错题 3．已知集合，设集合，，若，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】当时，，此时符合题意；当时，，求出再与集合进行交集运算，根运算的结果列不等式，解不等式即可求解. 【详解】当时，，解得：，此时， ，符合题意； 当时，，解得， 因为集合，， 所以或， 因为， 所以，解得：， 所以时，， 综上所述：实数的取值范围是. 故答案为：. 题型九 Venn图的应用 例9．设全集，集合，那么图中的白色部分所表示的集合是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由并集的概念以及韦恩图的辨析即可得解. 【详解】由题意，那么图中的白色部分所表示的集合是. 故选：C. 跟踪训练9 1．已知集合，则图中的阴影部分表示的集合为（    ）    A．或 B．或 C． D． 【答案】A 【分析】由题可知图中阴影部分表示，结合集合的交运算、并运算求解即可. 【详解】由题意知，，， 所以图中阴影部分表示或. 故选：A. 2．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的子集个数为（    ） A．3 B．4 C．7 D．8 【答案】D 【分析】先求出集合B，然后确定图中阴影部分指的集合，即可得出答案. 【详解】，所以, 图中阴影部分指的是在集合A中，不在集合B中的元素构成的集合， 又，所以图中阴影部分指的集合是，有三个元素， 所以它有个子集， 故选：D. 3．如图，设全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A．｛或 ｝ B．｛或｝ C．｛或｝ D．｛或｝ 【答案】C 【分析】化简集合A,B,求出，，阴影部分表示的集合是以为全集中的补集，求解即可. 【详解】由，，则，，可得图中阴影部分表示的集合为或. 故选：C 【点睛】本题主要考查了集合的交并补运算，属于基础题. 题型十 容斥原理的应用 例10．某校为了丰富校园文化，培养学生能力，增强学生自我认知，组建了形式多样的学生社团．已知该校某班共有29名学生参加书法、篮球两个社团，这29名学生每人至少参加这两个社团中的一个社团，其中有22名学生参加书法社团，16名学生参加篮球社团，则两个社团都参加的学生人数为（    ） A．9 B．7 C．13 D．6 【答案】A 【分析】利用集合交集的性质进行运算. 【详解】设两个社团都参加的学生人数为，则，解得． 故选：A. 跟踪训练10 1．高一（8）班共有30名同学参加秋季运动会中的100米短跑、立定跳远、跳高三项比赛.已知参加100米短跑比赛的有12人，参加立定跳远比赛的有16人，参加跳高比赛的有13人，同时参加其中两项比赛的有9人，则这三项比赛都参加的有（    ） A．3人 B．2人 C．1人 D．4人 【答案】C 【分析】作出图形即可得到方程，解出即可. 【详解】设这三项比赛都参加的有人，则，解得． 故选：C.    2．某社团有100名社员，他们至少参加了A，B，C三项活动中的一项.得知参加A活动的有51人，参加B活动的有60人，参加C活动的有50人，数据如图，则图中 ； ； .    【答案】 9 8 10 【分析】根据题意结合图形列方程组求解即可. 【详解】由题意得 ，则，解得， 故答案为：9，8，10 3．深圳科学高中先后举办了多个学科的课余活动.已知高一(1)班有50名同学，其中30名同学参加了数学活动，26名同学参加了物理活动，16名同学同时参加了数学，物理两个学科的活动，则这个班既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数是 . 【答案】10 【分析】先分别求出只参加数学活动和只参加物理活动的人数，然后画出韦恩图，利用韦恩图的性质求解即可. 【详解】由题意得只参加数学活动的学生数为人， 只参加物理活动的学生数为，如图所示的韦恩图， 则由图可知既没有参加数学活动，也没有参加物理活动的同学人数为 人， 故答案为：10 题型十一 集合的新定义问题 例11．定义集合运算：.若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，从而可得或，或，再根据新定义得，再代入验证即可得答案. 【详解】因为，所以或 所以或，或 所以或，， 代入验证得点在该直线上， 故. 故选：D. 跟踪训练11 1．对集合，2，3，，的每一个非空子集，定义一个唯一确定的“交替和”，概念如下：按照递减的次序重新排列该子集，然后从最大的开始，交替减或加后继的数所得的结果．如：集合的“交替和”为，集合的“交替和”为，集合的“交替和”为10，则集合所有非空子集的“交替和”的总和为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为集合A的非空子集有个，逐个计算“交替和”再求总和是不可能的，必须通过分析“交替和”的特点，寻找“交替和”的规律.为了找到“交替和”的规律，令，则的非空子集共有15个，写出它们的全部“交替和”如下：    ；      ；       ；      ；             ；              3；      ；           ；         4.        ；                 ；        ；                ；          1；                            2； 从以上写出的“交替和”我们发现，除了集合以外，可以把集合A的子集分成两类：一类子集中包含4，另一类不包含4，并且可以在这两类集合之间建立起一个一一映射：设是集合A的一个不包含4的子集，则令与集合相对应，显然与的“交替和”之和为4.因为这样的共有个，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为 【详解】解：集合，2，3，，的非空子集中，除去集合，还有个非空子集，将这个子集分成两类：第一类是包含元素的子集；第二类是不包含元素的子集；在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系，其中是第二类子集，显然这种对应是一一映射，设的“交替和”为，则的“交替和”为，这一对集合的“交替和”的和等于，所以集合A的所有非空子集的“交替和”的总和为. 故选: A. 2．定义集合运算：.若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题意求出和，然后再求 【详解】因为， 所以， 所以当时，， 所以， 所以 ， 故选：D 3．若X是一个非空集合，M是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①，；②对于X的任意子集A，B，当且时，有；③对于X的任意子集A，B，当且时，有，则称M是集合X的一个“M-集合类”.例如：是集合得一个“M—集合类”.若，则所有含的“M—集合类”的个数为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】确定M中一定含有，再分类讨论，一一列举出能含有的其他元素，综合即可得答案. 【详解】的子集有， 由题意知M中一定含有， 则M中可以含有的其他元素从剩余的5个集合中选取； 当剩余的5个集合都不选时，，共1个； 当只取1个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取2个时，或， 或，满足题意，此时M有3个； 当取3个时，或， 或或，满足题意，此时M有4个； 当取4个时，没有符合题意的情况； 当5个全选时，，共1个， 故所有含的“M—集合类”的个数为， 故选：D 题型十二 集合的综合大题 例12．已知全集，集合，， (1)分别求； (2)若，求的取值范围； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2) (3) 【分析】（1）先利用一元二次不等式和绝对值不等式解得集合，根据集合的运算的定义求出结果； （2）对集合分类讨论参数的取值范围； （3）若，对集合分类讨论参数的取值范围； 【详解】（1）集合 或， 或 （2）， ①当时，， ②当时，则， 解得， 综上所述，的取值范围为； （3）若， ①当时，， ②当时，或， 或， 综上所述，若，则的取值范围为， 所以若，则的取值范围． 跟踪训练12 1．设集合，； (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； （2）分为和两种情形进行讨论，根据，列不等式组求实数a的取值范围； 【详解】（1）由题意，集合，，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以， 解得，， 综上所述，实数的取值范围为. （2）由题意，需分为和两种情形进行讨论： 当时，， 解得，，满足题意； 当时， 因为， 所以，解得， 或无解； 综上所述，实数的取值范围为． 2．已知集合． (1)求，，； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据交集、并集和补集的定义结合已知条件求解即可； （2）由，得，从而可列出关于的不等式，进而可求得结果. 【详解】（1）因为， 所以，， 所以， 因为， 所以． （2）因为，所以， 因为， 所以，解得． 所以实数a的取值范围是． 3．已知集合或，． (1)求，； (2)若集合是集合的真子集，求实数的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 【分析】（1）根据集合的运算法则计算即可得； （2）由子集的定义得出不等关系后计算即可得． 【详解】（1）， 则， ，或， ∴或； （2）∵集合是集合的真子集， ∴或，解得或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$