1.2 集合间的基本关系（4知识点+11题型）-2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.2 集合间的基本关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 子集的概念及其理解 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4.判断两个集合是否相等的方法 两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 5.理解： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． (3)判断集合间关系的常用方法 知识点2 真子集的概念及其理解 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 4.理解： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 5.求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 知识点3 集合间的关系 1.韦恩图表示集合间关系 2.集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3.有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点4 由集合间的关系求参数范围 利用集合间的关系求参数的要点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 思路方法总结 1.子集个数的确定 确定子集个数的三个关键： （1）元素确定：确定所求集合的元素； （2）个数确定：合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）特殊优先：注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2.两个集合相等的判定 重点是要把握住两个原则： （1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同； （2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 3.已知集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系． （1）分析相等元素：首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况， （2）列等量关系式：然后通过列方程（组）求解． （3）分类讨论意识：当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 4.集合的参数（范围）问题 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 典例·举一反三 题型一 子集的概念 例1．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练1 1．下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 2．写出集合的所有子集 . 3．已知集合，则集合的一个非空子集为 . 题型二 子集的个数 例2．已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 跟踪训练2 1．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）． A．4 B．3 C．16 D．15 2．已知集合，则的子集个数为 ． 3．集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 题型三 集合间的包含关系的判定 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设，则与的关系是 ． 3．若集合，，则 （用列举法表示），集合与集合的关系为：A B（填入适当的符号）. 题型四 已知包含关系求参数 例4．集合，，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练4 1．设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 3．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 题型五 空集的概念 例5．给出下列说法： ①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 跟踪训练5 1．下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 题型六 空集的性质及其应用 例6．如果，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练6 1．若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若集合,则实数的取值范围是 . 3．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 题型七 集合相等的判定 例7．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练7 1．下列各组中的 表示同一集合的是（    ） A．; B．; C．; D．. 2．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 3．集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 题型八 已知集合相等求参数 例8．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 跟踪训练8 1．已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 2．已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 3．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 题型九Venn图表示集合关系 例9．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   2．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   3．已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 题型十 集合包含关系的综合问题 例10．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 跟踪训练10 1．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 2．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 3．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 题型十一 集合新定义压轴题 例11．设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 跟踪训练11 1．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 2．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 3．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.2 集合间的基本关系 1.2 集合间的基本关系 内容导图预览 新知要点探究 知识点1 子集的概念及其理解 1.Venn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn图． 2.子集 定义 一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集 记法与读法 记作A⊆B(或B⊇A)，读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图示 结论 (1)任何一个集合是它本身的子集，即 A⊆A； (2)对于集合A，B，C，若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C 3.集合相等：一般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等，记作A＝B. 也就是说，若A⊆B，且B⊆A，则A＝B. 4.判断两个集合是否相等的方法 两个原则：（1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同；（2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 5.理解： (1)“A是B的子集”的含义：集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，即由任意x∈A，能推出x∈B. (2)集合A与集合B相等，就是集合A与集合B中的元素完全一致，集合“A＝B”可类比实数中的结论“若a≤b，且b≤a，则a＝b”，即“若A⊆B，且B⊆A，则A＝B”，反之亦成立． (3)判断集合间关系的常用方法 知识点2 真子集的概念及其理解 1.真子集 定义 如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集 记法与读法 记作AB(或BA)，读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图示 2.空集 定义 一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集 记法 ∅ 规定 空集是任何集合的子集，即∅⊆A 特性 (1)空集只有一个子集，即它本身，∅⊆∅； (2)A≠∅，则∅A 3.性质 (1)反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A； (2)传递性：对于集合A，B，C，如果AB，且BC，那么AC. 4.理解： (1)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A. (2)∅与{0}的区别： ∅是不含任何元素的集合；{0}是含有一个元素的集合，∅{0}． 5.求集合的子集的两个关注点 (1)要注意两个特殊的子集：∅和自身． (2)按集合中含有元素的个数由少到多，分类一一写出，保证不重不漏． 知识点3 集合间的关系 1.韦恩图表示集合间关系 2.集合间的关系与实数大小的关系类比 实数 集合 定义 包含两层含义：或 包含两层含义：或 相等 若且，则 若，，则 传递性 若，，则 若，，则． 若，，则 若，，则 3.有限集的子集个数确定 如果集合A中含有n个元素，则有 （1）A的子集的个数有2n个． （2）A的非空子集的个数有2n－1个． （3）A的真子集的个数有2n－1个． （4）A的非空真子集的个数有2n－2个． 知识点4 由集合间的关系求参数范围 利用集合间的关系求参数的要点 (1)此类问题通常借助数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数，还要注意验证端点值． (2)要注意“空集”的情况，空集是任何集合的子集． 思路方法总结 1.子集个数的确定 确定子集个数的三个关键： （1）元素确定：确定所求集合的元素； （2）个数确定：合理分类，若集合中的元素较少，则用列举法按照子集所含元素的个数依次写出，一般按元素从少到多的顺序逐个写出满足条件的集合；若集合中的元素较多，可根据结论计算出； （3）特殊优先：注意两个特殊的集合，即空集和集合本身． 2.两个集合相等的判定 重点是要把握住两个原则： （1）对于元素较少的有限集，可用列举法将元素一一列举出来，看两个集合中的元素是否完全相同； （2）若两个集合是无限集，则从“互为子集”入手进行判断． 3.已知集合相等求参数 从集合相等的概念入手，寻找两个集合中元素之间的关系． （1）分析相等元素：首先分析一个集合中的元素与另一个集合中的哪个元素相等，共有几种情况， （2）列等量关系式：然后通过列方程（组）求解． （3）分类讨论意识：当集合中未知元素不止一个时，往往要分类讨论．求出参数值后要注意检验是否满足集合中元素的互异性． 4.集合的参数（范围）问题 对于两个集合和，或中含有待定的参数（字母），常采用分类讨论或数形结合的方法： （1）分类讨论：若，在未指明非空时，应分为和两种情况来讨论． （2）数形结合：对这种情况，在确定参数时，需要借助数轴来完成，将两个集合在数轴上表示出来，分清端点处是实心点还是空心点，确定两个集合间的包含关系，列不等式（组）求解． 典例·举一反三 题型一 子集的概念 例1．集合的一个子集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简集合，结合选项可得答案. 【详解】因为，所以的子集有，； 故选：D. 跟踪训练1 1．下列各个选项中，满足的集合有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先化简集合，利用子集的含义可得答案. 【详解】因为，即有， 所以中定有和3，故排除B，又因为是的真子集，故排除D． 故选：AC. 2．写出集合的所有子集 . 【答案】，，， 【分析】利用子集的定义写出所有子集即可. 【详解】由子集的定义，得集合的所有子集有： ，，，. 故答案为：，，，. 3．已知集合，则集合的一个非空子集为 . 【答案】（或或） 【分析】首先求集合，再根据非空子集的定义，即可列举求解. 【详解】，则集合的一个非空子集为，，. 故答案为：（或或） 题型二 子集的个数 例2．已知集合满足，这样的集合有（    ）个 A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】根据子集概念得，根据真子集概念得不全部是的元素，所以集合个数等于集合的真子集个数. 【详解】由得且不全部是的元素， 令，则，所以集合个数等于集合的个数， 即的真子集个数，为个， 故选：B. 跟踪训练2 1．已知集合，则集合A的真子集个数为（    ）． A．4 B．3 C．16 D．15 【答案】D 【分析】解出集合，根据集合中的元素个数即可求解. 【详解】因为， 有4个元素， 则集合A的真子集个数为， 故选：D. 2．已知集合，则的子集个数为 ． 【答案】4 【分析】利用描述法及子集的概念计算即可. 【详解】易知，有2个元素， 所以的子集个数为． 故答案为：4 3．集合满足，则满足条件的集合的个数为 . 【答案】7 【分析】据子集和真子集的定义即可写出所有满足条件的集合，从而求出满足题意的集合的个数． 【详解】根据题意，集合至少含有0,2两个元素，但集合， 所以满足条件的集合为，共7个， 所以满足条件的集合的个数为7， 故答案为：7. 题型三 集合间的包含关系的判定 例3．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定集合A中的元素，再确定两个集合的关系. 【详解】由题意可得，所以. 故选：A 跟踪训练3 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用集合包含关系判断即可. 【详解】因为任意，都有，故，则B正确，A错误； 但，故CD错误. 故选：B 2．设，则与的关系是 ． 【答案】 【分析】根据表示元素的范围确定出，然后再判断的关系. 【详解】对于：因为，所以，所以； 对于：因为，所以， 所以， 故答案为：. 3．若集合，，则 （用列举法表示），集合与集合的关系为：A B（填入适当的符号）. 【答案】 【分析】由集合及集合中元素与的关系知是由集合的子集构成的集合，应用列举法写出集合，即可得到答案 【详解】因为，， 所以集合中的元素是集合的子集：， 所以集合， 因为集合是集合的一个元素，所以， 故答案为：； 题型四 已知包含关系求参数 例4．集合，，若，，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】讨论是否为空集，参照子集问题模板求解即可. 【详解】因为，，且， ①当时，即无解，此时，满足题意． ②当时，即有解，当时，可得， 要使，则需要，解得． 当时，可得，要使，则需要，解得， 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 跟踪训练4 1．设集合，若是的真子集，则的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别解出集合，利用是的真子集逐个元素判断即可. 【详解】因为集合， ， 当时，，是的真子集， 当时，，因为是的真子集，所以或，解得或， 故选：B 2．已知集合．若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由，分集合为空集和不为空集两种情况，结合根的判别式即可. 【详解】因为 由于 所以可以分为三种情况： ①当为空集时，，解得； ②当不为空集时， 当时，， 此时，满足题意. 当时，，有韦达定理得 ，此时无解， 综上：故实数的取值范围是. 故答案为： 3．已知集合，，若，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用集合间的基本关系计算即可. 【详解】由题意可知. 故答案为：. 题型五 空集的概念 例5．给出下列说法： ①空集没有子集； ②任何集合至少有两个子集； ③空集是任何集合的真子集； ④若，则． 其中正确的说法有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据空集的定义和子集和真子集的定义即可得出结论. 【详解】由于任何一个集合都是它本身的子集，空集的子集还是空集，故①不正确； 由于空集的子集还是空集，所以空集的子集只有一个，故②不正确； 由于空集的子集还是空集，但不是真子集，故③不正确； 由于，则或，故④不正确； 综上，正确的说法有0个. 故选：A. 跟踪训练5 1．下列关于空集的说法中，错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据元素与集合之间的关系可判断A、C选项，根据空集是任何集合的子集可判断B、D选项. 【详解】对于A，因为用于元素与集合之间，故A错误； 对于BD，因为空集是任何集合的子集，故BD正确； 对于C，因为是集合中的元素，故C正确. 故选：A. 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 3．下列集合是空集的是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【解析】根据空集的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】A、B、C选项的集合中均含有元素，均不为空集； 对D，因为，所以不存在实数，使得，所以. 故选：D 题型六 空集的性质及其应用 例6．如果，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可分为，两种情况具体讨论 【详解】，当时，；当时，需满足对应的，即，解得， 综上所述， 故选：B 【点睛】本题考查根据空集情况求解参数，属于基础题 跟踪训练6 1．若集合，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】先假设集合为空集，得到不等式恒成立，求出范围，再求其补集，即可得出结果. 【详解】若集合，则不等式恒成立， 当时，不等式可化为，则，不满足题意； 当时，为使不等式恒成立，只需，解得， 综上集合时，； 又集合，所以. 故选：A. 2．若集合,则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】本题首先要理解,即无实数解,即可求得答案. 【详解】当时,原不等式无实解,故符合题意. 当时, 无实数解, 故,可得: 解得: 综上所述,实数的取值范围是:. 故答案为:. 【点睛】本题考查了根据集合为空集求参数,解题关键是掌握一元二次方程基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于基础题. 3．设集合A={}，B={x}，且AB，则实数k的取值范围是 (写成集合形式). 【答案】 【分析】由知，集合B为A的非空子集或空集，列出满足的包含关系，求得k的范围. 【详解】由知，集合B为A的非空子集或空集， 即或， 解得或 故答案为： 题型七 集合相等的判定 例7．下列集合中表示同一集合的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据同一集合的概念可知，两个集合中的元素应一样. 【详解】A：根据集合元素具有无序性，则，故A正确； B：和是不同元素，故B错误； C：图为中的元素是有序实数对，而中的元素是实数，所以C错误； D：因为中有两个元素，即4，3，而中有一个元素，即，所以D错误. 故选：A 跟踪训练7 1．下列各组中的 表示同一集合的是（    ） A．; B．; C．; D．. 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念求解即可. 【详解】A. 中有两个元素，中有一个元素，; B. 有序数对 ; C. ; D. 的元素是实数，的元素是有序数对，. 故选：C 2．设所示有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③；④；与相同的集合有（    ） A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】根据集合相等的含义，逐一分析①②③④，即可得答案 【详解】对于①：集合，则， 解得，即，是一一对于，所以与集合相同. 对于②：集合，则，也是一一对应，所以与集合相同. 对于③：集合，，一一对应，，所以与集合相同. 对于④：，但方程无解，则，与不相同． 故选：D 3．集合 之间的关系是（　　） A． B． C．  D． 【答案】A 【分析】根据集合中元素满足的特征即可求解. 【详解】∵集合 ∴， ， ∴， 故选：A 题型八 已知集合相等求参数 例8．含有三个实数的集合可表示为，也可表示为，则 . 【答案】 【分析】根据集合相等可得出关于实数、的等式组，解出、的值，即可得出的值. 【详解】由题意可知，，则，所以，，可得， 从而，所以，，且，解得， 因此，. 故答案为：. 跟踪训练8 1．已知集合，，若，则a等于（    ） A．或3 B．0或 C．3 D． 【答案】C 【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可. 【详解】因为，且， 即，解得或， 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去， 当时，，符合题意. 故选：C 2．已知集合，其中，则实数（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】根据集合相等的概念列式求解即可. 【详解】∵集合， 当且时，结合，解得， 经检验，不符合元素的互异性，舍去； 当且时，结合，解得，经检验，符合题意， 故. 故选：C. 3．已知集合，集合，若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据集合相等的概念以及集合中元素的互异性求解. 【详解】因为，且集合中， 所以集合中的元素，解得， 又因为，所以，所以或， 若，解得或， 经检验，时，与集合中元素的互异性矛盾，时，满足题意， 若，由上述过程可知，不满足题意； 综上，所以， 故选：A. 题型九Venn图表示集合关系 例9．已知集合，，则正确表示与的关系的示意图是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意求出，进而，结合韦恩图即可求解. 【详解】由，得，即， 所以，即. 故选：B 跟踪训练9 1．已知全集，能表示集合关系的Venn图是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】先求得集合，判断集合的关系，由此确定正确选项. 【详解】解可得，所以， 又，所以，根据选项的Venn图可知选项A符合. 故选：A 2．下列表示集合和关系的Venn图中正确的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题意先分别把集合求出来，然后对比集合，观察它们所具有的关系即可求解. 【详解】由题意可知集合是由6的正因数构成的集合， 而6的正因数有1，2，3，6， 所以， 若，则， 即或， 即或， 分别解得或，或， 所以， 从而可知集合是部分交叉的关系. 故选：A. 3．已知全集，能表示集合与关系的图是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图，结合集合的元素特征进行判断即可. 【详解】解：， 因为，所以，C正确． 故选：C 题型十 集合包含关系的综合问题 例10．已知集合. (1)若，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)不存在 【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，结合，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：①当时，即，解得，此时满足； ②当时，要使得， 则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围是. （2）解：由题意，要使得，则满足，此时不等式组无解， 所以实数不存在，即不存在实数使得. 跟踪训练10 1．已知集合，其中是关于的方程的两个不同的实数根. (1)若，求出实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据得到，结合方程的两根得到方程，求出； （2），故，结合方程的两根得到不等式，求出. 【详解】（1）因为，故， 又的两根分别为， 故， 故； （2）因为，故， 又的两根分别为， 故，解得， 故实数的取值范围是. 2．已知. (1)若，求a的值； (2)若，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2)或或. 【分析】（1）先求出集合，再利用条件，根据集合与集合间的包含关系，即可求出值； （2）对集合进行分类讨论：和，再利用集合与集合间的包含关系，即可求出的范围； 【详解】（1）由方程，解得或 所以，又，， 所以，即方程的两根为或， 利用韦达定理得到：，即； （2）由已知得，又， 所以时，则，即，解得或； 当时， 若B中仅有一个元素，则，即，解得， 当时，，满足条件；当时，，不满足条件； 若B中有两个元素，则，利用韦达定理得到，，解得，满足条件. 综上，实数a的取值范围是或或. 3．已知集合 (1)若A中只有一个元素，求a的值 (2)若A中至多有一个元素，求a的取值范围 (3)若，求a的取值范围 【答案】(1)0或 (2) (3) 【分析】（1）分和两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （2）分A中有一个元素或两种情况，结合二次方程的判别式分析求解； （3）分类讨论A是否为空集以及是否为0，结合二次方程的判别式和韦达定理分析求解. 【详解】（1）若时，，符合题意； 当时，可知方程为一元二次方程，则，解得； 综上所述：或. （2）若A中至多有一个元素，即A中有一个元素或， 若A中有一个，由（1）可知：或； 若，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. （3）因为，则有： 若，由（2）可知：； 若，则有： 若时，由（1）可知，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：a的取值范围为. 题型十一 集合新定义压轴题 例11．设集合且满足①;②若，则. (1)能否为单元素集合，为什么? (2)求出只含有两个元素的集合； (3)满足题设条件的集合共有几个?能否列出来? 【答案】(1)不为单元素集合，理由见解析； (2)或或； (3)共7个，，，，，，，. 【分析】（1）假设为单元素集合，其元素为，则得到方程，求出，不为正整数，得到结论； （2）分析得到，则，故只需满足，从而由12的正整数公约数求出答案； （3）在（2）的基础上进行求解. 【详解】（1）假设为单元素集合，其元素为，则， 故，解得或，均不是正整数，不满足， 故假设不成立，不为单元素集合； （2）由题意得，则， 故只需满足， 其中能整除的正整数有， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 令，即时，，此时集合， 综上：或或； （3）由（2）可知，中元素只能从选取，且同时出现，同时出现，同时出现， 故满足条件的集合为，，，，，，，共7个. 跟踪训练11 1．定义：若任意（m，n可以相等），都有，则集合称为集合A的生成集； (1)求集合的生成集B； (2)若集合，A的生成集为B，B的子集个数为4个，求实数a的值； (3)若集合，A的生成集为B，求证. 【答案】(1) (2)或 (3)证明见解析 【分析】（1）根据新定义算出的值即可求出； （2）B的子集个数为4个，转化为B中有2个元素，然后列出等式即可求出的值； （3）求出的范围即可证明出结论 【详解】（1）由题可知， (1)当时， ， (2) 当时，， （3）当或时， 所以 （2）（1）当时，， （2）当时， （3）当或时， B的子集个数为4个，则中有2个元素， 所以或 或 ， 解得或（舍去）, 所以或. （3）证明：， ， ， ， ， 设任意，取，则，所以， 则， 所以； 所以 2．设A是正整数集的非空子集，称集合，且为集合A的生成集． (1)当时，写出集合A的生成集B； (2)若A是由5个正整数构成的集合，求其生成集B中元素个数的最小值； (3)判断是否存在4个正整数构成的集合A，使其生成集，并说明理由． 【答案】(1)； (2)4； (3)不存在，理由见解析. 【分析】（1）利用集合的生成集定义直接求解； （2）设，且，利用生成集的定义即可求解； （3）假设存在集合，可得，，，，然后结合条件说明即得. 【详解】（1）因为，所以， 所以； （2）设，不妨设， 因为， 所以中元素个数大于等于4个， 又，则，此时中元素个数等于4个， 所以生成集B中元素个数的最小值为4； （3）不存在，理由如下： 假设存在4个正整数构成的集合，使其生成集， 不妨设，则集合A的生成集由组成， 又， 所以， 若，又，则，故， 若，又，则，故， 所以，又，则，而， 所以不成立， 所以假设不成立， 故不存在4个正整数构成的集合A，使其生成集. 【点睛】方法点睛:新定义题型的特点是:通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的:遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决. 3．已知集合（，），若存在数阵满足： ①； ②． 则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． (1)已知数阵是的一个“好数阵”，试写出，，，的值； (2)若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； (3)判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】(1)，，， (2)证明见解析 (3)是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，；不是“好集合”，证明见解析 【分析】（1）直接根据定义解出未知量的值； （2）可构造恰当的映射，以证明结论； （3）第三问可通过分类讨论求解问题. 【详解】（1）由“好数阵”的定义，知，，，，故，，，，进一步得到，. 从而，，，. （2）如果是一个“好数阵”，则，. 从而，. 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 这就说明两数阵和的第1行第2列的数不相等，从而是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 这就表明，从而是满射，由是有限集，知也是单射，从而是一一对应. 对“好数阵”，已证两数阵和是不同的数阵，故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则；如果，则. 所以当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 这表明，每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. （3）若是“好数阵”，则有 ， 所以，这表明一定是偶数. 若，设是“好数阵”，则，从而， 故. 由于，故，同理. 若，设，则，故，从而. 进一步有，而，故. 假设，设，则，故，则，. 由于，，故，. 此时，从而，，但此时，矛盾； 所以，故，分别尝试所有24种可能的对应方式，知符合条件的“好数阵”有，； 若，则，从而. 若，则或. 若，则，，分别尝试3种可能，知符合条件的“好数阵”有，. 若，则，，若，则，或且，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，分别尝试所有可能，知符合条件的“好数阵”有； 若，则，假设，由于，，故，矛盾，所以. 对尝试所有组合，知符合条件的“好数阵”有，，，. 综上，全部的“好数阵”有，，，，，，，，，， 其中，满足的有，，，. 综上，是“好集合”，满足的“好数阵”有，，，. 若，由于此时不是偶数，所以不存在“好数阵”，从而不是“好集合”. 【点睛】关键点点睛：关键是第3小问需要较为繁琐的分类讨论，耐心尝试所有情况才可不重不漏. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$