1.1 集合的概念（3知识点+11题型）-2024-2025学年高一数学同步讲与练（人教A版2019必修第一册）

1.1 集合的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 思路方法总结 1、构成集合的判断标准 判断一些对象能否构成集合，关键看其是否满足确定性，如果能满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是确定的，只需要判断该元素是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，需要判断该元素是否符合集合中元素所具有的特征． 3、利用集合中元素的特性求参数 （1）核心点：集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）三大特性：构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）检验意识：利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的关系 （1）集合与方程：方程的解集可以用集合表示．集合中的元素就是方程的实数根，但需注意互异性． （2）分类讨论思想：当方程中含有参数时，往往需要根据方程实数根的情况来进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性（互异性）． 5、集合的新定义 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣题中定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）熟悉集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处熟悉并应用集合的性质． 典例·举一反三 题型一 集合的定义 例1．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 跟踪训练1 1．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 2．下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 3．下列对象能构成集合的是（    ） ①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 题型二 元素与集合的关系 例2．集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 跟踪训练2 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 题型三 已知元素与集合的关系求参数 例3．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟踪训练3 1．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 2．设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 题型四 元素互异性的应用 例4．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 跟踪训练4 1．已知集合，若，则（    ）． A．1或 B．1 C． D．或0 2．若，则a的值为 . 3．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝ ； 题型五 列举法表示集合 例5．集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 跟踪训练5 1．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 2．方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 3．已知集合，集合，则集合的所有元素之和为 . 题型六 描述法表示集合 例6．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 跟踪训练6 1．用描述法表示被4除余3的正整数集合： ． 2．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    3．用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 题型七 已知集合相等求参数 例7．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 跟踪训练7 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 2．已知集合，则 . 3．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 题型八 元素的个数 例8．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 跟踪训练8 1．若集合，则N中元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 2．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 3．已知集合，则集合中的元素个数为 . 题型九 已知元素个数求参数 9．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟踪训练9 1．已知集合，求 ． 2．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 3．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 题型十 集合的新定义 例10．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 跟踪训练10 1．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 3．当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a+b，a﹣b，ab∈G，且b≠0时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素； ②若数域G有非零元素，则2017∈G； ③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域； ④有理数集是一个数域． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型十一 集合元素的综合问题 例11．已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 跟踪训练11 1．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 2．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 3．已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.1 集合的概念 内容导图预览 新知要点探究 知识点 1 集合的含义 1、元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． 2、集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 3、对集合概念的理解： （1）描述性：“集合”是一个原始的不加定义的概念，它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样，都只是描述性的说明． （2）整体性：集合是一个整体，暗含“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象． （3）广泛性：组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程，也可以是人或物等． 知识点 2 元素与集合 1、元素与集合的关系 （1）属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A，读作a属于A． （2）不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A，读作a不属于A． 【注意】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，表示元素与集合之间的从属关系，注意开口方向． 2、集合中元素的三大特性 （1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． 【注意】如果元素的界限不明确，即不能构成集合． 例如：著名的科学家、比较高的人、好人、很难的题目等． （2）互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． （3）无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 3、集合相等：根据集合中元素的无序性，我们可以判断两个集合是否相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 知识点 3 集合的表示方法与分类 1、常用数集及表示符号 名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 或 2、集合的表示方法 （1）自然语言法：用文字叙述的形式表述集合的方法。如小于10的所有的自然数组成的集合．N+ （2）列举法：把集合的所有元素一 一列举出来，并用花括号“{　}”括起来表示集合的方法叫做列举法． 【注意】（1）元素与元素之间必须用“，”隔开；（2）集合中的元素必须是明确的． （3）集合中的元素不能重复；（4）集合中的元素可以是任何事物． （3）描述法：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． 【注意】用描述法表示集合时，注意区分是数集还是点集．区分的关键在于代表元素． （4）图示法（Venn图法）：用平面上封闭曲线的内部表示集合的方法。 3、集合的分类 按照集合中元素的个数的多少，可将集合分为有限集和无限集 （1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，集合是有限集． （2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，所有自然数组成的集合是无限集． 有限集常用列举法表示，一目了然，有些无限集也可以用列举法表示，如．而描述法更适用于无限集或元素个数较多的集合，如可表示为． 思路方法总结 1、构成集合的判断标准 判断一些对象能否构成集合，关键看其是否满足确定性，如果能满足确定性，就可以组成集合，否则，不能组成集合.同时还要注意集合中元素的互异性、无序性. 2、元素与集合关系的判断 （1）直接法：如果集合中的元素是确定的，只需要判断该元素是否出现即可． （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，需要判断该元素是否符合集合中元素所具有的特征． 3、利用集合中元素的特性求参数 （1）核心点：集合问题的核心即研究集合中的元素，在解决这类问题时，要明确集合中的元素是什么； （2）三大特性：构成集合的元素必须是确定的(确定性)，且是互不相同的(互异性)，书写时可以不考虑先后顺序(无序性)． （3）检验意识：利用集合元素的特性求参数问题时，先利用确定性解出字母所有可能值，再根据互异性对集合中元素进行检验，要注意分类讨论思想的应用． 4、集合与方程的关系 （1）集合与方程：方程的解集可以用集合表示．集合中的元素就是方程的实数根，但需注意互异性． （2）分类讨论思想：当方程中含有参数时，往往需要根据方程实数根的情况来进行分类讨论．求出参数的值或取值范围后还要检验是否满足集合中元素的特性（互异性）． 5、集合的新定义 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： （1）紧扣题中定义：首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在． （2）熟悉集合的性质：解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处熟悉并应用集合的性质． 典例·举一反三 题型一 集合的定义 例1．下列给出的对象能构成集合的有（    ） ①某校2023年入学的全体高一年级新生；②的所有近似值； ③某个班级中学习成绩较好的所有学生；④不等式的所有正整数解 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据集合的定义判断即可. 【详解】对于①：某校2023年入学的全体高一年级新生，对象确定，能构成集合，故①正确； 对于②：的所有近似值，根据精确度不一样得到的近似值不一样，对象不确定，故不能构成集合，故②错误； 对于③：某个班级中学习成绩较好是相对的，故这些学生对象不确定，不能构成集合，故③错误； 对于④：不等式的所有正整数解有、、，能构成集合，故④正确； 故选：B 跟踪训练1 1．下列叙述能组成集合的是（　　） A．接近0的数 B．数学成绩好的同学 C．中国古代四大发明 D．跑得快的运动员 【答案】C 【分析】根据集合的确定性逐项分析判断. 【详解】对于选项ABD：缺乏统一的判断标准，均不满足确定性，故ABD错误； 对于选项C：中国古代四大发明是确定的，符合确定性，所以能构成集合，故C正确. 故选：C. 2．下列对象能构成集合的是（    ） A．本班成绩较好的同学全体 B．与10接近的实数全体 C．绝对值小于5的整数全体 D．本班兴趣广泛的学生 【答案】C 【分析】根据集合的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，成绩较好不是一个确定的概念，不能构成集合，故A不符合； 对于B，与10接近的不是一个确定的概念，不能构成集合，故B不符合； 对于C，绝对值小于5的整数全体是个明确的概念，并且给定一个元素能确定是否属于这个整体，故能构成集合，故C符合； 对于D，兴趣广泛的不是一个确定的概念，不能构成集合，故D不符合. 故选：C. 3．下列对象能构成集合的是（    ） ①所有很高的山峰；②方程的实根；③所有小于10的自然数；④，，． A．①② B．②③ C．①④ D．③④ 【答案】B 【分析】利用构成集合的元素性质逐一分析各命题即可判断作答. 【详解】对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准，去判断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的山峰”不能能构成集合； 对于②，方程在实数范围内的解是-4，1，是确定的，“方程的实根”能构成集合； 对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合； 对于④，因，，，即与相同，不符合集合中元素的互异性，“，，”不能能构成集合. 故选：B 题型二 元素与集合的关系 例2．集合，，，且，，则（　　） A． B． C． D．不属于，，中的任意一个 【答案】B 【分析】由已知可得，，可得，可得结论. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以. 故选：B. 跟踪训练2 1．下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据常见集合的表示，以及集合与元素之间的关系注意判断即可. 【详解】对于A，因为不是自然数，所以A错误；对于B，因为0不是正整数，所以B正确； 对于C，因为不是有理数，所以C正确；对于D，因为不是有理数，所以D正确. 故选：BCD. 2．已知集合，则下列表示正确的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令分别为选项中不同值，求出的值进行判定. 【详解】当时，，所以，故A正确； 当时，，所以，故B错误； 当或时，，所以，故C错误； 当时，，所以，故D错误. 故选：A 3．若集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对描述法表示的集合的理解，将集合中元素设为，根据题意解出关系即可. 【详解】由已知， 令，解得， 又，则，化简得. 故选：B. 题型三 已知元素与集合的关系求参数 例3．若集合，其中且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助元素与集合的关系计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 跟踪训练3 1．若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【分析】根据集合的元素不重复可解得. 【详解】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 故选：B 2．设集合，若且，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据元素与集合的关系列不等式组求参数范围. 【详解】由题意. 故选：D 3．若，则（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【分析】依题意可得或，解得的值，再检验即可. 【详解】因为， 所以或，解得或或， 当时，符合题意； 当时，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，符合题意； 综上可得或. 故选：D 题型四 元素互异性的应用 例4．已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【答案】B 【分析】根据集合相等的条件及分式有意义可知，进而求出，代入集合验证可求出的值，进一步计算即可. 【详解】根据集合相等的条件及分式有意义可知， 则， 代入集合得， 则，得 因此 故选： 跟踪训练4 1．已知集合，若，则（    ）． A．1或 B．1 C． D．或0 【答案】C 【分析】根据元素与集合的关系，结合元素的互异性，即可求解. 【详解】由于，若，则，不合题意； 所以，解得， 故选：C 2．若，则a的值为 . 【答案】 【分析】集合中的元素依次取，求出a值，利用集合元素的性质验证作答. 【详解】因为，则当，即，此时，矛盾， 若，解得，此时，，符合题意，即， 而，即， 所以a的值为. 故答案为： 3．设a，b∈R，集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝ ； 【答案】 【分析】由集合相等及集合中元素的互异性可得，再求解即可. 【详解】解：因为集合{0，，b}＝{1，a＋b，a}， 由集合相等及集合中元素的互异性可得，即， 即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了集合相等，重点考查了集合中元素的互异性，属基础题. 题型五 列举法表示集合 例5．集合用列举法可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据描述法与列举法的转换即可判定. 【详解】由题意可得， ∴，即用列举法为. 故选：B 跟踪训练5 1．集合用列举法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不等式性质进行计算的结果 【详解】由得，则 ． 故选：C 2．方程组的解组成的集合为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合的定义分析求解. 【详解】由方程组解得， 所以方程组的解组成的集合为. 故选：C. 3．已知集合，集合，则集合的所有元素之和为 . 【答案】28 【分析】根据集合描述法，列举集合中的元素求解即可. 【详解】,, , 集合的所有元素之和为28, 故答案为：28 题型六 描述法表示集合 例6．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的是（    ） A．{ x |是小于18的正奇数} B． C． D． 【答案】D 【分析】对照四个选项一一验证： 对于A：{ x |是小于18的正奇数}=即可判断； 对于B：即可判断； 对于C：即可判断； 对于D：即可判断. 【详解】对于A：{ x |是小于18的正奇数}=，故A错误； 对于B：，故B错误； 对于C：，故C错误； 对于D：，故D正确. 故选：D 跟踪训练6 1．用描述法表示被4除余3的正整数集合： ． 【答案】{x|x＝4n+3，n∈N} 【分析】设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N；再写成集合的形式. 【详解】设该数为x，则该数x满足x＝4n+3，n∈N； ∴所求的正整数集合为{x|x＝4n+3，n∈N}． 故答案为：{x|x＝4n+3，n∈N}． 【点睛】本题主要考查集合的表示方法，属于基础题. 2．用描述法表示图中的阴影部分（不含边界）可以是 ．    【答案】 【分析】看图得出x，y的取值范围，用集合的描述法表示出来即可. 【详解】由图知，，，所以由集合的描述法可知 . 故答案为：. 3．用描述法表示下列集合； (1)不等式的解集． (2)所有的偶数组成的集合． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据描述法的书写格式作答即可. 【详解】（1）解不等式得， 所以，原不等式的解集用描述法表示为. （2）所有的偶数组成的集合为. 题型七 已知集合相等求参数 例7．已知集合，若，则的值为（    ） A．1 B． C． D．1或 【答案】A 【分析】根据求得，由此求得. 【详解】由于， 所以对于集合有或. 若，则，此时符合题意，. 若，则集合不满足互异性，不符合. 所以的值为. 故选：A 跟踪训练7 1．若，则的值为（    ） A． B．3 C． D．7 【答案】C 【分析】由一元二次方程的根与系数的关系，求得P，q的值，由此可得选项. 【详解】因为， 所以，解得， 所以. 故选：C. 2．已知集合，则 . 【答案】2或4或1 【分析】根据，，，，，利用集合元素的互异性，分别求出与即可． 【详解】，，，，， ，，， 若或，则或． 当时，，2，，，， 即，解得或， 此时或， 当时，，，，1，， 即，解得，， 所以或4或1， 故答案为：2或4或1. 3．含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 故答案为：. 题型八 元素的个数 例8．设非空数集同时满足条件：①中不含元素；②若，则.则下列结论正确的是（    ） A．集合中至多有2个元素 B．集合中至多有3个元素 C．集合中有且仅有4个元素 D．集合中至少有5个元素 【答案】C 【分析】由题意可求出都在中，然后计算这些元素是否相等，继而判断的元素个数的特点. 【详解】因为若，则，所以，， 则， 当时，4个元素中，任意两个元素都不相等， 所以集合中有且仅有4个元素， 故选：C 跟踪训练8 1．若集合，则N中元素的个数为（    ） A．3 B．6 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据集合中元素的特征即可列举求解. 【详解】由可知集合,故共有9个元素， 故选：C 2．定义集合，其中集合，则中元素个数为 ． 【答案】4 【分析】通过列举可得中元素个数. 【详解】， 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 当时，，，； 所以中元素个数为. 故答案为：4. 3．已知集合，则集合中的元素个数为 . 【答案】 【分析】求出分式不等式的解集，利用列举法写出集合中的元素即可求解. 【详解】由可知，且，解得， 则，即集合中的元素个数为， 故答案为：. 题型九 已知元素个数求参数 例9．若集合中有5个元素，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由集合元素个数转换为不等式整数解的个数进而即可得解. 【详解】若集合中有5个元素，则这五个元素只能是：， 这表明，即实数的取值范围为. 故选：D. 跟踪训练9 1．已知集合，求 ． 【答案】 【分析】根据题意可得方程有两个等根，即，从而求出，的值，进而求解即可． 【详解】由集合， 则方程有两个等根， 所以，解得， 所以，解得， 所以，即， 故． 故答案为：． 2．集合有且仅有2个子集，则的取值集合为 【答案】 【分析】根据集合子集个数确定集合中元素个数，分和求解即可. 【详解】因为集合有且仅有2个子集，所以集合只有一个元素， 所以方程即只有一个根， 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，方程为即，此时，符合题意； 当时，原方程化为，所以， 解得，经检验，符合题意，所以的取值集合为. 故答案为：. 3．已知集合. (1)若是空集，求的取值范围； (2)若中只有一个元素，求的值，并求集合； (3)若中至多有一个元素，求的取值范围 【答案】(1) (2)的值为或，当时，当时 (3) 【分析】（1）A是空集，则方程为二次方程，且方程无实根； （2）A中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根； （3）A中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根. 【详解】（1）A是空集，且，，解得， 的取值范围为：； （2）当时，集合， 当时，，，解得，此时集合， 综上所求，的值为或，当时，集合，当时，集合； （3）由可知，当中至多有一个元素时，或， 的取值范围为：. 题型十 集合的新定义 例10．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出集合，再依据集合新定义的运算规则运算即可得解. 【详解】解得， 故集合， 又知， 所以， 故选：C． 跟踪训练10 1．若对任意，，则称A为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于ABC：举反例说明即可；对于D：分局题意分析即可. 【详解】对于选项A：因为，但，不符合题意，故A错误； 对于选项B：因为，但无意义，不符合题意，故B错误； 对于选项C：例如，但，不符合题意，故C错误， 对于选项D：对任意，均有，符合题意，故D正确； 故选：D. 2．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果且，那么称k是集合A的一个“好元素”．给定集合S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案. 【详解】根据“好元素”定义，可知由S中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数， 所以不含“好元素”的集合共有，，，，，，共个. 故选：. 3．当一个非空数集G满足“如果a，b∈G，则a+b，a﹣b，ab∈G，且b≠0时，”时，我们称G就是一个数域，以下四个关于数域的命题： ①0是任何数域的元素； ②若数域G有非零元素，则2017∈G； ③集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}是一个数域； ④有理数集是一个数域． 其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【解析】根据任意相同的元素之差都是判断①，根据最小的数域为有理数域判断②，举反例判断③，根据有理数的运算结果判断④． 【详解】对于①，设a∈G，显然有a﹣a∈G，即a∈G，故0是任意数域的元素，故①正确； 对于②，由定义可知范围最小的数域为有理数域，而2017是有理数，故2017∈G，故②正确； 对于③，显然2∈P，4∈P，但是，故P＝{x|x＝2k，k∈Z}不是一个数域，故③错误； 对于④，若a是有理数，b是有理数，则a+b，a﹣b，ab，（b≠0）都是有理数，故有理数集是一个数域，故④正确． 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题是集合的新定义的题，弄清楚元素与集合的关系是解决本题的关键. 题型十一 集合元素的综合问题 例11．已知为一个数集，集合． (1)设，求集合A的元素个数； (2)设，证明：若，则． 【答案】(1)8个； (2)证明见解析． 【分析】（1）需要对的取值进行分类讨论，然后计算出，再根据元素的互异性求解； （2）设，计算出，即可证明． 【详解】（1）时，； ，； ，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； ，时，； 所以，它有8个元素； （2）因为， 所以设，． ，所以得证． 跟踪训练11 1．已知集合. (1)若A中只有一个元素，求的值； (2)若A中至少有一个元素，求的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【分析】(1)针对和两种情况分类讨论，再转化为一元一次方程和一元二次方程分别得出的值即可 (2)确定A中有两个元素，可转化为一元二次方程两个不相等实数根进行求解，再结合第一问一个元素 的情况即可得出的取值范围 【详解】（1）由题意，当时，，得，集合A只有一个元素，满足条件；当时， 为一元二次方程，，得，集合A只有一个元素， A中只有一个元素时或. （2）由A中至少有一个元素包含两种情况，一个元素和两个元素，A中有两个元素时，并且 ，得且，再结合A中一个元素的情况，的取值范围为. 2．已知集合A是由元素x组成的，其中，m，． (1)设，，，试判断，与A之间的关系； (2)任取，试判断，与A之间的关系． 【答案】(1)，，． (2)，． 【分析】（1）利用分母有理化和完全平方公式进行化简即可； （2）设,，然后将，表示出来，进行判断即可. 【详解】（1）∵，∴． ∵,∴． ∵，∴． 综上，，，． （2） 任取，设，， 则， 其中，，∴． ∵， 其中，，∴． 综上，，． 3．已知n元有限集（，），若，则称集合A为“n元和谐集”. (1)写出一个“二元和谐集”（无需写计算过程）； (2)若正数集是“二元和谐集”，试证明：元素，中至少有一个大于2； (3)是否存在集合中元素均为正整数的“三元和谐集”？如果有，有几个？请说明理由. 【答案】(1) (2)证明过程见解析 (3)存在1个，，理由见解析 【分析】（1）令得到答案； （2）利用反证法进行证明或者构造一元二次方程利用判别式法证明； （3）设满足要求，则，不妨设，则，从而求出，求出答案. 【详解】（1）不妨令，此时，满足要求； （2）法一：假设命题不成立，即元素，均小于等于2， 因为，故可设， ，两边同时除以得，， 因为，所以，与矛盾，不合要求， 故假设不成立，元素，中至少有一个大于2； 法二；集合是“二元和谐集”，设， 则可以看成一元二次方程的两正根， 则，解得：（舍）或，即， 所以至少有一个大于2. （3）设正整数集为“三元和谐集”， 则， 不妨设，则，解得， 因为，故只有满足要求， 综上，满足要求，其他均不合要求， 存在1个集合中元素均为正整数的“三元和谐集”，即. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$