考点规范练29数学归纳法练习-2025届高三数学一轮复习

考点规范练29　数学归纳法 一、基础巩固 1.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1. 故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中, (　　) A.过程全部正确 B.对于当n=1时结论的推理不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 2.用数学归纳法证明:1++…+≤n(n∈N*). 3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证:xn=3n+2,yn=1-2×3n(n∈N*). 二、综合应用 4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=　　　　　;当n>4时,f(n)=　　　　　　　(用n表示).  5.用数学归纳法证明:1-+…++…+(n∈N*). 6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=+bn,其中n∈N*. (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)记Tn=+…+,证明:Sn-2Tn≤2. 三、探究创新 7.设数列{an}的前n项和为Sn,且=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn. (1)求S1,S2,S3的值; (2)猜想数列{an}的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明; (3)求数列{Tn}的通项公式. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 考点规范练29　数学归纳法 一、基础巩固 1.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学用数学归纳法证明的过程如下: (1)当n=1时,<1+1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=(k+1)+1. 故当n=k+1时,不等式成立.在上述证明中, (　　) A.过程全部正确 B.对于当n=1时结论的推理不正确 C.归纳假设不正确 D.从n=k到n=k+1的推理不正确 答案:D 解析:在n=k+1时,没有应用n=k时的假设,不是数学归纳法. 2.用数学归纳法证明:1++…+≤n(n∈N*). 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,不等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即有1++…+≤k, 那么当n=k+1时,左边=1++…++…+≤k++…+, 又+…+×2k=1,即1++…++…+≤k+1, 即当n=k+1时,不等式也成立. 由(1)(2)可知,对于任意n∈N*,1++…+≤n都成立. 3.已知数列{xn},{yn}满足x1=5,y1=-5,2xn+1+3yn=7,6xn+yn+1=13.求证:xn=3n+2,yn=1-2×3n(n∈N*). 证明:(1)当n=1时,x1=5,31+2=5,y1=-5,且1-2×31=-5,即等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即xk=3k+2,yk=1-2×3k, 那么当n=k+1时, 由2xk+1+3yk=7,得xk+1=(7-3yk)==2+3k+1; 由6xk+yk+1=13, 得yk+1=13-6xk=13-6(3k+2)=1-2×3k+1; 故当n=k+1时,等式也成立. 由(1)(2)可知,xn=3n+2,yn=1-2×3n对一切n∈N*都成立. 二、综合应用 4.设平面内有n(n∈N*,n≥3)条直线,其中有且仅有两条直线互相平行,任意三条直线不过同一点.若用f(n)表示这n条直线交点的个数,则f(4)=　　　　　;当n>4时,f(n)=　　　　　　　(用n表示).  答案:5　(n+1)(n-2) 解析:由题意知f(3)=2,f(4)=5,f(5)=9,可以归纳出每增加一条直线,交点增加的个数为原有直线的条数,即f(4)-f(3)=3,f(5)-f(4)=4, 猜测得出f(n)-f(n-1)=n-1(n≥4),则f(n)-f(3)=3+4+…+(n-1), 故f(n)=(n+1)(n-2). 5.用数学归纳法证明:1-+…++…+(n∈N*). 证明:(1)当n=1时,左边=1-,右边=,等式成立. (2)假设当n=k(k∈N*)时,等式成立,即1-+…++…+, 那么当n=k+1时,1-+…+ =+…+ =+…+ =+…+ =+…+, 故当n=k+1时,等式也成立. 根据(1)(2)可知,等式对于任何n∈N*都成立. 6.设数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn+2,数列{bn}满足b1=1,bn+1=+bn,其中n∈N*. (1)证明:数列{an}是等比数列; (2)记Tn=+…+,证明:Sn-2Tn≤2. 证明:(1)已知Sn+1=2Sn+2,当n≥2时,Sn=2Sn-1+2, 两式相减,得an+1=2an(n≥2). 又S2=2S1+2=2a1+2=6, 即a1+a2=6, 所以a2=6-a1=4, 即=2, 故数列{an}是首项为2,公比为2的等比数列. (2)Sn==2n+1-2, 要证明Sn-2Tn≤2,即证明2n+1-2-2Tn≤2,即Tn≥2n-2, ①当n=1时,T1==1,21-2=0,此时T1>21-2成立, ②假设n=k时,不等式成立,即Tk≥2k-2, 那么当n=k+1时,Tk+1=+…+≥2k+-2, 由bn+1=+bn,知bn+1-bn=>0,所以bn+1>bn≥b1=1. 由bn+1=+bn,知=bn+1≥2. 所以bk+1=b1··…·≥2k. 所以Tk+1=+…+≥2k+-2≥2k+1-2成立, 综上①②可知,不等式Sn-2Tn≤2对任何n∈N*都成立. 三、探究创新 7.设数列{an}的前n项和为Sn,且=anSn(n∈N*),设bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1(n∈N*),数列{bn}的前n项和为Tn. (1)求S1,S2,S3的值; (2)猜想数列{an}的前n项和Sn,并用数学归纳法加以证明; (3)求数列{Tn}的通项公式. 解:(1)由=anSn, 令n=1,则, 解得S1=; 当n≥2时,由an=Sn-Sn-1, 得=(Sn-Sn-1)Sn,得Sn(2-Sn-1)=1. 令n=2,得S2=; 令n=3,得S3=, 即S1=,S2=,S3=. (2)由(1)知S1=,S2=,S3=,猜想Sn=(n∈N*). 下面用数学归纳法证明: ①当n=1时,S1=,猜想成立. ②假设当n=k(k∈N*)时,猜想成立,即Sk=, 那么当n=k+1时,由(1)知Sk+1=, 即当n=k+1时,猜想也成立. 由①②可知,猜想对于任何n∈N*都成立. (3)由(2)知a1=.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=, 且a1=符合上式,即an=. 又bn=(-1)n+1(n+1)2·anan+1, 所以bn=(-1)n+1(n+1)2·. 当n为偶数时, Tn=×[+…+] = =; 当n为奇数时, Tn=Tn-1+bn =) =×[]. 综上可得Tn=]. 学科网（北京）股份有限公司 $$