精品解析：黑龙江省哈尔滨市巴彦县华山乡中学2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题B

2023-2024学年度九年级上期末模拟测试题B（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 过平面内任意三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴 C. 与x轴无交点 D. 与y轴交点 6. 某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则另一边的长（ ） A. 2 B. C. 4 D. 8. 如图，内接于，，则度数为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 第II卷 二、填空题（共30分，每题3分） 11. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____． 12. 关于的一元二次方程的一个根是2，则_______． 13. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为______． 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 15. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为_____． 16. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ___________． 17. 已知一个面积为的扇形，弧长为，则扇形所在圆的半径等于___________． 18. 如图，直线与相切于点A，为直径，连接，若，则的度数为__________． 19. 已知：的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为___________． 20. 如图，中，，，点P在内，且，，，则的长为______． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 22. 如图，在由边长均为个单位长度小正方形组成的网格中，点、、均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）画出点关于点的对称点； （2）连接，请画出将向下平移个单位长度． 23. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． （1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度； （3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 24. 如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 25. 昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． （1）求日销量y与x之间的函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知、为圆上两定点，点在该圆上，为弧所对的圆周角． 知识回顾】 （1）如图1，在中，点、位于直线的异侧，． ①求的度数； ②若的半径为10，，求的长； 【知识应用】 （2）尺规作图：如图2，是的直径，为圆心，在直径上方的半圆上找两点、，使得（保留作图痕迹，不写作法）； 【逆向思考】 （3）如图3，若为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年度九年级上期末模拟测试题B（人教版） 数学试卷 考生须知： 1、本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2、答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内． 3、请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4、选择题必须使用2B 铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 5、保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第I卷 一、单选题（共30分，每题3分） 1. 下列事件为必然事件的是（ ） A. 打开电视机，正在播放新闻 B. 掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 C. 过平面内任意三点画一个圆 D. 任意画一个三角形，其内角和是180度 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】A、打开电视机，正在播放新闻，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、过平面内任意三点画一个圆，是随机事件，不符合题意； D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意； 故选：D． 2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形，中心对称图形，关键是掌握轴对称图形、中心对称图形的定义． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，由此即可判断． 【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是中心对称图形也是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的平移变换，根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“左加右减”的原则可知，将抛物线向左平移1个单位长度所得抛物线的解析式为：； 由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：， 故选：B． 4. 如图，绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，解题的关键是由题意根据旋转的性质可得，，再判断出是等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求出，根据． 【详解】解：∵绕其直角顶点C按顺时针方向旋转后得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故选C． 5. 关于抛物线，下列说法正确的是（　　） A. 开口向下 B. 对称轴 C. 与x轴无交点 D. 与y轴交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为直线，顶点坐标为． 根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：∵抛物线， ∴该抛物线的开口向上，抛物线的对称轴是直线，顶点为， ∴抛物线与轴无交点，令，则， ∴抛物线与轴的交点为，故选项C正确，选项A、B、D不正确． 故选：C． 6. 某经济开发区，今年一月份工业产值达50亿元，第一季度总产值为175亿元，二月、三月平均每月的增长率是多少？若设平均每月的增长率为，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的运用，增长率问题，一般用增长后的量增长前的量增长率），本题可先用表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．解题的关键是熟知增长率问题并列方程． 【详解】解：二月份的产值为：， 三月份的产值为：， 故第一季度总产值为：． 故选：． 7. 已知的边长是关于x的一元二次方程的两个实数根，若，则另一边的长（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据长是关于x的一元二次方程的两个实数根，可得，利用即可求解． 【详解】解：长是关于x的一元二次方程的两个实数根， ， ， ． 故选：B． 8. 如图，内接于，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，根据同圆的半径相等得到，根据三角形内角和等于得到，根据同圆中同弧所对圆周角等于圆心角的一半得到． 本题主要考查了等腰三角形性质，三角形的内角和定理，圆周角定理．解决问题的关键是熟练掌握等边对等角，三角形的内角和等于，同圆中同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． 【详解】连接，则， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 9. 如图，是的直径，是的切线，连接交于点D，连接，若，，则的长为（　　） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定与性质，切线的性质定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的性质定理和能正确作出辅助线， 根据圆周角定理和圆半径相等得出是等边三角形，再由勾股定理得出与的关系，进而求出，再利用等角对等边即可求解 【详解】解：连接， ， ， ， 是等边三角形， ， 是的直径，， ， ， ， 与的切线，相切于点B， 故选：D． 10. 已知二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，以下4个结论：①；②；③；④当时，．其中正确结论的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数关系，解答关键是根据应用数形结合思想解题． 由抛物线开口向下得到；由抛物线的对称轴为直线得到b>0和；由抛物线与y轴的交点在x轴的上方得到，则；观察图象得到当时，，即；当时，，即；当时，根据二次函数的最值问题得到时，y有最大值，则，变形得到． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴ ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，所以①②正确； 当时，，即， 当时，，即， ∴ ∴， ∴ ∴所以③正确； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴时，y有最大值， ∴， ∴，所以④正确． 故选：A． 第II卷 二、填空题（共30分，每题3分） 11. 已知⊙O的半径为6，圆心到直线AB距离5，直线AB与⊙O的位置关系是____． 【答案】相交 【解析】 【分析】若d＜r，则直线与圆相交；若d＝r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：根据圆心到直线的距离5小于圆的半径6，则直线和圆相交． 故答案是：相交． 【点睛】本题考查了直线和圆的位置关系，能够熟练运用数量关系判断直线和圆的位置关系． 12. 关于的一元二次方程的一个根是2，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】将代入方程即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：； 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义，理解定义是解题的关键． 13. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．令，可以求得相应的x的值，从而可以求得抛物线与x轴的交点坐标，进而求得抛物线与x轴两个交点之间的距离． 【详解】解：∵抛物线， ∴当时，， 解得：，． ∵， ∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为5． 故答案为5． 14. 方程的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形周长是________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，等腰三角形的定义，以及三角形三条边的关系．先求出方程的根，再分类讨论，确定是否符合题意． 【详解】解：解方程，得，， 当2为腰，4为底时，不能构成等腰三角形； 当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为． 故答案为10． 15. 如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，若∠ACD=25°，则∠BOD的度数为_____． 【答案】130° 【解析】 【分析】由同弧所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍可得∠AOD=50º，即可求出邻补解∠BOD. 【详解】解：∵∠ACD=25º， ∴∠AOD=50º， ∴∠BOD=180º-∠AOD=130º. 故答案为130º. 【点睛】本题主要考查了圆周角的定理. 错因分析 较易题.失分原因：不能正确应用圆周角定理将所求角与已知角联系起来. 16. 如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是 ___________． 【答案】##35度 【解析】 【分析】根据旋转的性质可知，旋转角等于，从而可以得到的度数，由可以得到的度数． 【详解】解：∵绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，解题的关键明确旋转角是什么，对应边旋转前后的夹角是旋转角． 17. 已知一个面积为的扇形，弧长为，则扇形所在圆的半径等于___________． 【答案】12 【解析】 【分析】直接根据扇形的面积公式S扇形=lR进行计算即可． 【详解】解：根据扇形的面积公式，得 S扇形=lR=120π． ∵弧长为20π， ∴×20π•R=120π， ∴R=12 故答案为：12． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．熟记公式是解题的关键． 18. 如图，直线与相切于点A，为的直径，连接，若，则的度数为__________． 【答案】##70度 【解析】 【分析】利用切线的性质求出，再利用半径相等和等边度等角求出，最后求差即可． 【详解】如图 连接, ∵直线与相切于点A ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案是：． 【点睛】本题考查圆的切线的性质和等腰三角形的性质，记忆理解性质是解题的关键． 19. 已知：的直径，是的弦，，垂足为，，则的长为___________． 【答案】或##或 【解析】 【分析】分两种情况：①当点在上时，②当点在上时，先利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：①如图，当点在上时，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接， 的直径， ， ， ， ， ， ， ， 综上，的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理、圆，正确分两种情况讨论是解题关键． 20. 如图，中，，，点P在内，且，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】将绕点C逆时针旋转得到，根据旋转的性质，勾股定理，，根据勾股定理的逆定理，，得到，继而得到，结合，判定A，P，D三点共线，运用勾股定理计算即可． 【详解】如图，将绕点C逆时针旋转得到，， 根据旋转的性质，得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A，P，D三点共线， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质，勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 三、解答题（共60分，21，22每题7分，23，24每题8分，25，26，27，每题10分） 21. 用合适的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法、公式法，熟练掌握用这两种方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 【小问1详解】 解：； 整理得：， ， 或， ，； 【小问2详解】 解：， ， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 22. 如图，在由边长均为个单位长度的小正方形组成的网格中，点、、均为格点（每个小正方形的顶点叫做格点）． （1）画出点关于点的对称点； （2）连接，请画出将向下平移个单位长度的． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据对称性即可作点关于点的对称点； （2）根据平移的性质确定点、、向下平移4个单位长度后的对应点、、，再顺次连接即可． 【小问1详解】 解：如图，对称点即为所作； 【小问2详解】 如图，点、、向下平移4个单位长度后的对应点为点、、，连接、、， 则即为所作． 【点睛】本题考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移的性质．也考查了中心对称． 23. 学校实施新课程改革以来，学生的学习能力有了很大提高，陈老师为进一步了解本班学生自主学习、合作交流的现状，把调查结果分成四类（A：特别好，B：好，C：一般，D：较差）．并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图． （1）本次调查中，陈老师一共调查了 名学生； （2）将条形统计图补充完整；扇形统计图中D类学生所对应的圆心角是 度； （3）为了共同进步，陈老师从被调查的A类和D类学生中分别选取一名学生进行“兵教兵”互助学习，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）20 （2）36；补充条形统计图见详解 （3）列表见解析， 【解析】 分析】本题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图． （1）由题意可得：陈老师一共调查学生：（名）； （2）由题意可得：C类女生：（名），D类男生：（名），继而可补全条形统计图； （3）首先根据题意列出表格，再利用表格求得所有等可能的结果与恰好选中一名男生和一名女生的情况，继而求得答案． 【小问1详解】 陈老师一共调查学生：（名）； 故答案为：20 【小问2详解】 C类学生人数：（名）， C类女生人数：（名）， D类学生占的百分比：， D类学生人数：（名）， D类男生人数：（名），， 补充条形统计图如图， 故答案为：36； 【小问3详解】 列表如下，A类学生中的两名女生分别记为和， 女 女 男A 男D 女男D 女男D 男A男D 女D 女女D 女女D 男A女D 共有6种等可能的结果，其中符合条件的有3种，所以所选两位同学恰好是一位男生和一位女生的概率为． 24. 如图，为的直径，点在外，连接，，线段交于点，连接，，． （1）求的度数； （2）求证：是的切线． 【答案】（1）； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（）利用圆周角定理可得； （）由，进而可得，由为半径，即可得证； 本题考查了切线的判定、圆周角定理、三角形内角和定理等知识点，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵为半径， ∴是的切线． 25. 昆明富民苹果不仅色泽艳丽、酸甜适度、果香浓郁，还具有耐贮运的特点．今年以来，全国农业科技现代化先行县的建设为富民苹果贴上了科技、绿色的标签，富民苹果受到广大消费者青睐．某果农经销某品牌的富民苹果，已知这种产品的成本价为20元每千克，试销售期间售价定为25元每千克，日销量为30千克．经市场调查发现，若该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克．设这种产品的销售单价为x元，每天的销售利润为w元． （1）求日销量y与x之间函数关系式； （2）如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元每千克，当销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）日销量y与x之间的函数关系式为 （2）当销售价定为每千克28元时，每天的销售利润最大，最大利润是192元 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用．关键是根据题意列出函数关系式，运用二次函数的性质解决问题． （1）该产品每天的售价增加元，则日销量减少1千克，列函数关系式； （2）根据销售利润(每千克销售价每千克进价）销售量，列函数关系式，用配方法将函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值； 【小问1详解】 解：由题意得：， 答：日销量y与x之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意得：， ∵， ∴时，w随x增大而增大， ∵这种产品的销售价不得高于28元每千克， ∴当时，有最大值192元， ∴当销售价定为28元/千克时，每天可获最大销售利润192元； 26. 已知、为圆上两定点，点在该圆上，为弧所对的圆周角． 【知识回顾】 （1）如图1，在中，点、位于直线的异侧，． ①求的度数； ②若的半径为10，，求的长； 【知识应用】 （2）尺规作图：如图2，是的直径，为圆心，在直径上方的半圆上找两点、，使得（保留作图痕迹，不写作法）； 【逆向思考】 （3）如图3，若为圆内一点，且，，．求证：点为该圆的圆心． 【答案】（1）①，②（2）见解析（3）见解析 【解析】 【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；②连接，过A作，垂足为M，构造直角三角形，利用勾股定理求解即可； （2）分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交与两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，由圆周角定理得到，根据四边形是的内接四边形，即可得到，则点、为所求； （3）延长交圆于点N，连接，则，由，，推出，得到点P到圆上A、B和另一点的距离相等即可． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， ∴． ②连接，过A作，垂足为M， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ， ∵，的半径为10， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角三角形中，， ， ，即， （舍去，不符合题意）或， ， ∴， ； （2）如图，分别以点E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，连接弧交点，作直线，直线即为的垂直平分线，直线交两点，在上任取一点，在上任取一点，连接，点、为所求； 是的直径， ， ， 四边形是的内接四边形， ； （3）证明：延长交圆于点N，连接，则， ∵， ∴， ∴，即 ∵， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P为该圆的圆心． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，圆周角，勾股定理，等腰直角三角形的性质，理解题意是解本题的关键． 27. 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，将点沿轴向右平移4个单位长度得到点，抛物线经过点，，． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，在直线上方的抛物线上，是否存在一点，使的面积最大？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，点在抛物线的对称轴上，点在轴上，若以点、、、为顶点，为边的四边形为平行四边形，请求出的坐标． 【答案】（1）抛物线表达式为 （2）存在， （3）或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用．利用数形结合，分类讨论的思想进行求解是解题的关键． （1）根据平移，求出点坐标，设出两点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作轴于，交直线于点，设，则，将三角形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）设，以为边时，利用平移思想，分两种情况进行讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∵将点沿轴向右平移4个单位长度得到点， ∴， ∴设抛物线表达式为， 将代入得， ∴抛物线表达式为； 【小问2详解】 存在点，使的面积最大． 过点作轴于，交直线于点， 设，则，由题意得：， 故， ∴当时，最大．此时，， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴对称轴为直线， 设，当以点为顶点，为边的四边形为平行四边形时， ∵ ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点，或点向右平移3个单位，向上平移3个单位得到点， ∴且， ∴或， ∴或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$