第四章 相似三角形单元培优测试卷（2）2024-2025学年浙教版数学 九年级上册

相似三角形培优卷2 一、选择题（每题3分，共30分） 1．如图所示，小正方形的边长均为1，则下列选项中阴影部分的三角形与△ABC相似的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA：OD=1：2，则△ABC与△DEF的面积比为（　　）． A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 3．如图，中，E为的中点．已知的面积为1，则的面积为（　　） A．9 B． C． D． 4．如图，在中，，，连结AC交DF于点G．若，则FG的长是（　　） A． B．2 C． D．1 5．如图，在四边形ABCD中，BD平分∠ABC，∠BAD=∠BDC=90°，E为BC的中点，AE与BD相交于点F．若BC=4，∠CBD=30°，则DF的长为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　） A． B． C． D． 7．如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在x轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿x轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为（　　） A．(，2) B．(2，2) C．(，2) D．(4，2) 8．如图，是正方形的一边延长线上一点，分别连接，，与交于点，设的面积为，四边形的面积为，已知，则等于（　　） A． B． C． D． 9．如图，在等腰中，分别在边上，，，若已知的长，则能求出下列哪个量（　　） A．的周长 B．的面积 C．的周长 D．的面积 10．如图，已知中，，于D，E是上一点（不与C，D重合），点E作于G，交于F，过E作于H，交于K，连结，．则的值是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（每题4分，共24分） 11．如图，在平行四边形中，，，，求线段　 　． 12．将一张直角三角形纸片沿一条直线剪开，将其分成一张三角形纸片与一张四边形纸片，如果所得四边形纸片如图所示，其中，厘米，厘米，厘米，那么原来的直角三角形纸片的面积是　 　平方厘米． 13．如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=6 ，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA+DE的最小值为　 　. 14．如图，在边长为2的菱形ABCD中，，M是的中点，连接，，且，则的长是　 　． 15．如图，正方形ABCD的边长为12，⊙B的半径为6，点P是⊙B上一个动点，则的最小值为　 　. 16．如图1，在中，，是上一点，过点作交于，将绕点顺时针旋转到图2的位置，若，，则线段的长为　 　. 三、综合题（17题7分，18题8分，19-21每题9分，22-23每题12分,共66分） 17．如图，四边形ABCD是平行四边形，DE交BC于点F，交AB的延长线于点E， 且∠EDB＝∠C. （1）求证：△ADE∽△DBE； （2）若DC＝10cm，BE＝18cm，求DE的长. 18．如图，矩形 中， 为 上一点， 于点 ． （1）证明 ； （2）若 ， ， ，求 的长． 19．在 中，E是DC的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F. （1）求证： ； （2）点G是CF上一点，连接AG交CD于点H，且 .若 ， ，求AН的长. 20．如图，已知，，若B，E，F三点共线，线段与交于点O. （1）求证：； （2）若，，的面积为9，求的面积. 21．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． （1）求直线AB的表达式； （2）求tan∠ABD的值； （3）设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 22．如图，一次函数与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在上，平行于y轴的直线从点A出发，以3个单位每秒的速度在射线上匀速运动，交直线于点P，交x轴于点Q，运动的时间为秒． （1）若，①求点C的坐标；②当时，求的长度； （2）当时，直接写出直线运动的过程中，与相似时（不包含重合时）t的值． 23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上一点，AG，DC的延长线交于点F，连接AD，GD，GC． （1）求证：∠ADG＝∠F； （2）已知AE＝CD，BE＝2． ①求⊙O的半径长； ②若点G是AF的中点，求DF的长． 答案解析部分 1-5．【答案】ACBCD 6-10．【答案】CBBAD 11．【答案】6 12．【答案】或 13．【答案】 14．【答案】 15．【答案】15 16．【答案】6 17．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵∠EDB＝∠C， ∴∠A＝∠EDB， 又∠E＝∠E， ∴△ADE∽△DBE； （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴DC＝AB， 由（1）得△ADE∽△DBE， ∴ ， ∵DC＝10cm，BE＝18cm， ∴AB＝DC＝10cm，AE＝AB＋ BE ＝28cm， 即 ∴DE＝6 cm. 18．【答案】（1）证明：∵四边形 是矩形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ； （2）解：∵在 中， ， ， ， 由（1）已证： ， ∴ ，即 ， 解得 ． 19．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴ ， ， ∴ ， ∵E为DC中点， ∴ 在 和 中 ∴ ， ∴ ， ∴ （2）解：∵ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ，即 ， . 20．【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴. 21．【答案】（1）解：∵抛物线经过点A（2，0）， ∴ ，解得： ， ∴抛物线解析式为， 当 时， ， ∴点B的坐标为 ， 设直线AB的解析式为 ， 把A（2，0），，代入得： ，解得： ， ∴直线AB的解析式为； （2）解：如图，连接BD，AD， ∵， ∴点D的坐标为 ， ∵A（2，0），， ∴ ， ∴ ， ∴△ABD为直角三角形， ∴ （3）解：设直线BD的解析式为 ， 把点，代入得： ，解得： ， ∴直线BD的解析式为 ， 当 时， ， ∴点P的坐标为 ， 当△ABP∽△ABC时，∠ABC=∠APB， 如图，过点B作BQ⊥x轴于点Q，则BQ=3，OQ=1， ∵△ABP∽△ABC， ∴∠ABD=∠BCQ， 由（2）知， ∴， ∴ ， ∴CQ=9， ∴OC=OQ+CQ=10， ∴点C的坐标为 ； 当△ABP∽△ABC时，∠APB=∠ACB，此时点C与点P重合， ∴点C的坐标为， 综上所述，点C的坐标为或． 22．【答案】（1）解：①由题可得B(0，6)，A(18，0)， ∵∠OBC=∠OAB，∠BOC=∠AOB=90° ∴△OBC∽△OAB ∴=，即= 解得OC=2 ∴C点坐标为（2，0） ②由题可得Q(18-3t，0)，P(18-3t，t) ∴BP= BC== 又∵BP=BC ∴=40 解得t=4或8 ∴AQ为12或24 （2）解：分类讨论 ①当△OBC∽△QCP 有=，即= 解得t=3或15 ②当△OBC∽△QPC 有=，= 解得t=或6（舍去） 综上所述t为3s或15s或s 23．【答案】（1）证明：连接BG， ∵AB是圆的直径， ∴∠AGB＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵AB⊥CD， ∴∠F+∠BAG＝90°， ∴∠F＝∠ABG， ∵∠ADG＝∠ABG， ∴∠ADG＝∠F； （2）解：①连接OC，设圆的半径是r， ∵BE＝2， ∴OE＝r﹣2，DC＝AE＝2r﹣2， ∵直径AB⊥CD， ∴EC＝CD＝r﹣1， ∵CO2＝OE2+EC2， ∴r2＝（r﹣2）2+（r﹣1）2， ∴r2﹣6r+5＝0， ∴r＝5或r＝1（舍）， ∴⊙O的半径长是5； ②∵AE＝AB﹣BE， ∴AE＝10﹣2＝8， ∴CD＝AE＝8， ∵AB⊥DC， ∴DE＝EC＝4， ∵∠ADG＝∠F，∠DAG＝∠DAF， ∴△DAG∽△FAD， ∴AD：FA＝AG：AD， AD2＝FA•AG， ∵G是AF中点， ∴AG＝AF， ∴AD2＝AF2， ∵AD2＝AE2+DE2＝80， ∴AF2＝160， ∵∠AEF＝90°， ∴EF＝＝， ∴DF＝DE+EF＝+4． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$