2022-2024年中考数学真题 汇编36 综合与实践（湖南专版）

2022-2024年中考数学真题知识点汇编36《综合与实践》 湖南专版 1（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2（2022•长沙）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名． 3（2022•湘潭）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 35 47 50 48 42 60 68 则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. 48，47 B. 50，47 C. 50，48 D. 48，50 4（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 5（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 6（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 7（2022•湘潭）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 14. （2023•怀化）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 8（2023•怀化） 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为__________，点的坐标为__________． 9（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 10（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 11（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 12（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 13（2023•怀化） 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 14（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 20. （2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 15（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： （1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ） ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ） ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ） （2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 16（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 17（2022•岳阳）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有______份． 15. （2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：）． 19（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元． （1）求，两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 20（2024•长沙）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． ． 21. （2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 22. （2024•长沙）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 23 （2024•长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 24.（2024•长沙） 已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 2022-2024年中考数学真题知识点汇编36《综合与实践》 湖南专版解析版 1（2022•长沙）为落实“双减”政策，某校利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读书活动．现需购买甲，乙两种读本共100本供学生阅读，其中甲种读本的单价为10元/本，乙种读本的单价为8元/本，设购买甲种读本x本，则购买乙种读本的费用为（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列求得购买乙种读本本，根据单价乘以数量即可求解． 【详解】解：设购买甲种读本x本，则购买乙种读本本，乙种读本的单价为8元/本，则则购买乙种读本的费用为元 故选C 【点睛】本题考查了列代数式，理解题意是解题的关键． 2（2022•长沙）为了解某校学生对湖南省“强省会战略”的知晓情况，从该校全体1000名学生中，随机抽取了100名学生进行调查．结果显示有95名学生知晓．由此，估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有___________名． 【答案】 【解析】 【分析】用即可求解． 【详解】解：估计该校全体学生中知晓湖南省“强省会战略”的学生有（名） 故答案为： 【点睛】本题考查了用样本估计总体，掌握用样本估计总体是解题的关键． 3（2022•湘潭）“冰墩墩”是北京2022年冬季奥运会的吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩玩具也很受欢迎．某玩具店一个星期销售冰墩墩玩具数量如下： 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 星期六 星期日 玩具数量（件） 35 47 50 48 42 60 68 则这个星期该玩具店销售冰墩墩玩具的平均数和中位数分别是（ ） A. 48，47 B. 50，47 C. 50，48 D. 48，50 【答案】C 【解析】 【分析】根据平均数和中位数的定义解答即可． 【详解】这组数据的平均数是：（35+42+47+48+50+60+68）÷7＝50； 将数据按照从小到大依次排列：35，42，47，48，50，60，68 处在中间位置的数是48，即中位数是48； 故选：C． 【点睛】此题考查了平均数和中位数的定义，解题的关键是把数据按照从小到大依次排列． 4（2022•湘潭）为培养青少年的创新意识、动手实践能力、现场应变能力和团队精神，湘潭市举办了第10届青少年机器人竞赛．组委会为每个比赛场地准备了四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个，若桌子腿数与凳子腿数的和为40条，则每个比赛场地有几张桌子和几条凳子？设有张桌子，有条凳子，根据题意所列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据四条腿的桌子和三条腿的凳子共12个可列方程x+y=12，根据桌子腿数与凳子腿数的和为40条可列方程4x+3y=40，组成方程组即可． 【详解】解：根据题意可列方程组， 故选：B． 【点睛】本题考查实际问题抽出二元一次方程组，解题的关键是要注意抓住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组． 5（2022•湘潭）中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形（如图），并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，为直角三角形中的一个锐角，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据两个正方形的面积分别求出两个正方形的边长，然后结合题意进一步设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，再接着利用勾股定理得到关于a的方程，据此进一步求出直角三角形各个直角边的边长，最后求出的值即可． 【详解】∵小正方形与每个直角三角形面积均为1， ∴大正方形的面积为5， ∴小正方形的边长为1，大正方形的边长为， 设直角三角形短的直角边为a，则较长的直角边为a+1，其中a>0， ∴a2+(a+1)2=5，其中a>0， 解得：a1=1，a2=-2(不符合题意，舍去)， ===2， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理与一元二次方程及三角函数的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键． 6（2022•湘潭）如图，小明在学了尺规作图后，作了一个图形，其作图步骤是：①作线段，分别以点、为圆心，以长为半径画弧，两弧相交于点、；②连接、，作直线，且与相交于点．则下列说法正确的是（ ） A. 是等边三角形 B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质一一判断即可． 【详解】解：由作图可知：AB=BC=AC， ∴△ABC是等边三角形，故A选项正确 ∵等边三角形三线合一， 由作图知，CD是线段AB的垂直平分线， ∴，故B选项正确， ∴，，故C选项正确，D选项错误． 故选：ABC． 【点睛】此题考查了作图-基本作图，等边三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 7（2022•湘潭）如图，一束光沿方向，先后经过平面镜、反射后，沿方向射出，已知，，则_________． 【答案】40°##40度 【解析】 【分析】根据入射角等于反射角，可得，根据三角形内角和定理求得，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ∵，， ， ∴， ． 故答案为：40°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，三角形内角和定理的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 14. （2023•怀化）定义新运算：，其中，，，为实数．例如：．如果，那么__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵ ∴ 即 解得： 故答案为：． 【点睛】本题考查了新定义运算，解一元一次方程，根据题意列出方程解题的关键． 8（2023•怀化） 在平面直角坐标系中，为等边三角形，点A的坐标为．把按如图所示的方式放置，并将进行变换：第一次变换将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为边长的2倍，得到；第二次旋转将绕着原点O顺时针旋转，同时边长扩大为，边长的2倍，得到，…．依次类推，得到，则的边长为__________，点的坐标为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据旋转角度为，可知每旋转6次后点又回到轴的正半轴上，故点在第四象限，且，即可求解． 【详解】解：∵为等边三角形，点A的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， 第一次旋转后，在第四象限，， 第二次旋转后，在第三象限，， 第三次旋转后，在轴负半轴，， 第四次旋转后，在第二象限，， 第五次旋转后，在第一象限，， 第六次旋转后，在轴正半轴，， …… 如此循环，每旋转6次，点的对应点又回到轴正半轴， ∵， 点第四象限，且， 如图，过点作轴于， 在在中，， ∴， ， ∴点的坐标为． 故答案为：，． 【点睛】本题考查图形的旋转，解直角三角形的应用．熟练掌握图形旋转的性质，根据旋转角度找到点的坐标规律是解题的关键． 9（2022•长沙）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成个不同的数据二维码，现有四名网友对的理解如下： YYDS（永远的神）：就是200个2相乘，它是一个非常非常大的数； DDDD（懂的都懂）：等于； JXND（觉醒年代）：的个位数字是6； QGYW（强国有我）：我知道，所以我估计比大． 其中对的理解错误的网友是___________（填写网名字母代号）． 【答案】DDDD 【解析】 【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将化为，再与比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断JXND（觉醒年代）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用可得，即可判断QGYW（强国有我）的理解是正确的． 【详解】是200个2相乘，YYDS（永远的神）的理解是正确的； ，DDDD（懂的都懂）的理解是错误的； ， 2的乘方的个位数字4个一循环， ， 的个位数字是6，JXND（觉醒年代）的理解是正确的； ，，且 ，故QGYW（强国有我）的理解是正确的； 故答案为：DDDD． 【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键． 10（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字，先乘以10，再加上4.6，将此时的运算结果再乘以10，然后加上1978，最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010），得到最终的运算结果．只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份．若某位参与者报出的最终的运算结果是915，则这位参与者的出生年份是______． 【答案】2009 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程的解，理解题意是解答的关键．设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a，根据题意列二元一次方程，整理得，根据a的取值得到x的9种可能，结合实际即可求解． 【详解】解：设这位参与者的出生年份是x，从九个数字中任取一个数字为a， 根据题意，得， 整理，得 ∴， ∵a是从1，2，3，4，5，6，7，8，9这九个数字中任取一个数字， ∴x的值可能为1209，1309，1409，1509，1609，1709，1809，1909，2009， ∵是为庆祝中国改革开放46周年，且参与者均为在校中学生， ∴x只能是2009， 故答案为：2009． 11（2022•湘潭）5月30日是全国科技工作者日，某校准备举办“走近科技英雄，讲好中国故事”的主题比赛活动．八年级（一）班由、、三名同学在班上进行初赛，推荐排名前两位的同学参加学校决赛． （1）请写出在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序所有可能结果； （2）若、两名同学参加学校决赛，学校制作了编号为、、的3张卡片（如图，除编号和内容外，其余完全相同），放在一个不透明的盒子里．先由随机摸取1张卡片记下编号，然后放回，再由随机摸取1张卡片记下编号，根据摸取的卡片内容讲述相关英雄的故事．求、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程） A“杂交水稻之父”袁隆平 B“天眼之父”南仁东 C“航天之父”钱学森 【答案】（1）在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1 （2）、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为 【解析】 【分析】（1）根据题意先画树状图列出所有等可能结果 （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与A1A2抽取的都是同一名科技英雄的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：画树状图如下： ∴共有6种等可能结果，分别是：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 答：在班上初赛时，这三名同学讲故事顺序的所有可能结果为：①A1A2A3，②A1A3A2，③A2A1A3，④A2A3A1，⑤A3A1A2，⑥A3A2A1． 【小问2详解】 解：画树状图如下： ∵由树状图知，共有9种等可能结果，其中、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的结果有3种， ∴P(、两人恰好讲述同一名科技英雄故事)== ， 答：、两人恰好讲述同一名科技英雄故事的概率为． 【点睛】此题考查了概率的应用，解题的关键是掌握运用列表法或画树状图法列出所有可能的结果及概率的计算方法． 12（2022•湘潭）湘潭县石鼓油纸伞因古老工艺和文化底蕴，已成为石鼓乡村旅游的一张靓丽名片．某中学八年级数学兴趣小组参观后，进行了设计伞的实践活动．小文依据黄金分割的美学设计理念，设计了中截面如图所示的伞骨结构（其中）：伞柄始终平分，，当时，伞完全打开，此时．请问最少需要准备多长的伞柄？（结果保留整数，参考数据：） 【答案】72cm 【解析】 【分析】过点作于点，解，分别求得，进而求得，根据黄金比求得，求得的长，即可求解． 【详解】如图，过点作于点 ，，始终平分， ， 解得 答：最少需要准备长的伞柄 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中边角关系是解题的关键． 13（2023•怀化） 某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客人的种客车若干辆，则有人没有座位；若租用可坐乘客人的种客车，则可少租辆，且恰好坐满． （1）求原计划租用种客车多少辆？这次研学去了多少人？ （2）若该校计划租用、两种客车共辆，要求种客车不超过辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ （3）在（2）的条件下，若种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元，应该怎样租车才最合算？ 【答案】（1）原计划租用种客车辆，这次研学去了人 （2）共有种租车方案，方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆；方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， （3）租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算 【解析】 【分析】（1）设原计划租用种客车辆，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可求解； （3）分别求得三种方案的费用，进而即可求解． 【小问1详解】 解：设原计划租用种客车辆，根据题意得， ， 解得： 所以（人） 答：原计划租用种客车辆，这次研学去了人； 【小问2详解】 解：设租用种客车辆，则租用种客车辆，根据题意，得 解得：， ∵为正整数，则， ∴共有种租车方案， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆， 【小问3详解】 ∵种客车租金为每辆元，种客车租金每辆元， ∴种客车越少，费用越低， 方案一：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案二：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， 方案三：租用种客车辆，则租用种客车辆，费用为元， ∴租用种客车辆，则租用种客车辆才最合算． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次方程与不等式组是解题的关键． 14（2023•怀化）如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式及顶点坐标； （2）点为第三象限内抛物线上一点，作直线，连接、，求面积的最大值及此时点的坐标； （3）设直线交抛物线于点、，求证：无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【答案】（1） （2）面积的最大值为，此时点的坐标为 （3）见解析 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）如图所示，过点作轴于点，交于点，得出直线的解析式为，设，则，得出，当取得最大值时，面积取得最大值，进而根据二次函数的性质即可求解； （3）设、，的中点坐标为，联立，消去，整理得：，得出，则，设点到的距离为，则，依题意，，，得出，则，，点总在上，为直径，且与相切，即可得证． 【小问1详解】 解：将代入，得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作轴于点，交于点， 由，令， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，将点代入得，， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴ ， 当时，的最大值为 ∵ ∴当取得最大值时，面积取得最大值 ∴面积的最大值为， 此时， ∴ 【小问3详解】 解：设、，的中点坐标为， 联立，消去，整理得：， ∴， ∴， ∴， ∴， 设点到的距离为，则， ∵、， ∴， ∴ ∴， ∴ ∴， ∴点总在上，直径，且与相切， ∴为直角． ∴无论为何值，平行于轴的直线上总存在一点，使得为直角． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程根与系数的关系，切线的性质与判定，直角所对的弦是直径，熟练掌握以上知识是解题的关键． 20. （2023•怀化）为弘扬革命传统精神，清明期间，某校组织学生前往怀化市烈士陵园缅怀革命先烈．大家被革命烈士纪念碑的雄伟壮观震撼，想知道纪念碑的通高（碑顶到水平地面的距离），于是师生组成综合实践小组进行测量．他们在地面的点用测角仪测得碑顶的仰角为，在点处测得碑顶的仰角为，已知，测角仪的高度是（、、在同一直线上），根据以上数据求烈士纪念碑的通高．（，结果保留一位小数） 【答案】烈士纪念碑的通高约为米 【解析】 【分析】根据题意，四边形是矩形，米，米，根据三角形的外角的性质得出，，等角对等边得出，进而解，求得，最后根据，即可求解． 【详解】解：依题意，四边形是矩形，米，米， ∵ ∴ ∴， ∴米， 在中， ∴米 ∴米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数关系是解题的关键． 15（2022•长沙）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀？”该歌词表达的是一道数学题．其大意是：把300条狗分成4群，每个群里，狗的数量都是奇数，其中一个群，狗的数量少：另外三个群，狗的数量多且数量相同．问：应该如何分？请你根据题意解答下列问题： （1）刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”请你根据以上信息，判断以下三种说法是否正确，在题后相应的括号内，正确的打“√”，错误的打“×”． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案．（ ） ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案．（ ） ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种．（ ） （2）若罗秀才再增加一个条件：“数量多且数量相同的三个群里，每个群里狗的数量比数量较少的那个群里狗的数量多40条”，求每个群里狗的数量． 【答案】（1）√，×，× （2）数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只 【解析】 【分析】（1）根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等，这里的每群狗的数量还需要是正整数，所以答案不是无数种，即可判断； （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【小问1详解】 根据题意，姐妹们给出的答案是符合要求的；除此之外，还可分成97,97,97,9等， 刘三姐姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案， ∵这里的每群狗的数量还需要是正整数， ∴答案不是无数种， ∴①√，②×，③×， 故答案为：√，×，×； 【小问2详解】 设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，由题意得： ， 解得， （只）， 所以，数量少的群里狗的数量为45只，狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为85只． 【点睛】本题考查了一元一次方程的实际应用，整式加减的运用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 16（2022•湘潭）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： （1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的水池且需保证总种植面积为，试分别确定、的长； （2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 【答案】（1）CG长8m，DG长为4m （2）当BC=m时，围成的两块矩形总种植面积最大=m2 【解析】 【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解； （2）设两块矩形总种植面积为y， BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可 . 【小问1详解】 解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m， 设CG为am，DG为(12-a)m，那么 AD×DC-AE×AH=32 即12×3-1×（12-a）=32 解得：a=8 ∴CG=8m，DG=4m． 【小问2详解】 解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得， 两块矩形总种植面积=BC×DC 即y=x·(21-3x) ∴y=-3x2+21x =-3(x-)2+ ∵21-3x≤12 ∴x≥3 ∴当BC=m时，y最大=m2． 【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程． 17（2022•岳阳）聚焦“双减”政策落地，凸显寒假作业特色．某学校评选出的寒假优质特色作业共分为四类：A（节日文化篇），（安全防疫篇），（劳动实践篇），（冬奥运动篇）下面是根据统计结果绘制的两幅不完整的统计图，则类作业有______份． 【答案】20 【解析】 【分析】由条形统计图可得A，，类作业分别有25份，30份，25份，由扇形统计图可得类作业份数占总份数的，可得总份数为份，减去A，，类作业的份数即可求解． 【详解】解：∵类作业有30份，且类作业份数占总份数的， ∴总份数为：（份）， ∵A，类作业分别有25份，25份， ∴类作业的份数为：（份）． 故答案为：20． 【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是能够根据统计图提取所需信息． 15. （2022•岳阳）喜迎二十大，“龙舟故里”赛龙舟．丹丹在汨罗江国际龙舟竞渡中心广场点处观看200米直道竞速赛．如图所示，赛道为东西方向，赛道起点位于点的北偏西方向上，终点位于点的北偏东方向上，米，则点到赛道的距离约为______米（结果保留整数，参考数据：）． 【答案】87 【解析】 【分析】过点作，垂足为，设米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，再根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 设米， 在中，， ∴（米）， 在中，， ∴（米）， ∵米， ∴， ∴， ∴， ∴米， ∴点到赛道的距离约为87米， 故答案为：87． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 18（2022•岳阳）守护好一江碧水，打造长江最美岸线．江豚，麋鹿，天鹅已成为岳阳“吉祥三宝”的新名片．某校生物兴趣小组设计了3张环保宣传卡片，正面图案如图所示，它们除此之外完全相同． （1）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为______； （2）将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，不放回，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 将这3张卡片背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张， 则抽取的卡片正面图案恰好是“麋鹿”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 将江豚，麋鹿，天鹅三张卡片分别记作①、②、③， 列表如下： ① ② ③ ① ② ③ 由表知，共有6种等可能结果，其中抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的有2种结果， 所以抽取的卡片正面图案恰好是“江豚”和“天鹅”的概率为． 【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 19（2022•岳阳）为迎接湖南省第十四届运动会在岳阳举行，某班组织学生参加全民健身线上跳绳活动，需购买A，两种跳绳若干．若购买3根A种跳绳和1根种跳绳共需140元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元． （1）求，两种跳绳的单价各是多少元？ （2）若该班准备购买，两种跳绳共46根，总费用不超过1780元，那么至多可以购买种跳绳多少根？ 【答案】（1）A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元 （2）至多可以购买种跳绳20根 【解析】 【分析】（1）设种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元．由题意：若购买3根种跳绳和1根种跳绳共需元；若购买5根A种跳绳和3根种跳绳共需300元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根，由题意：总费用不超过1780元，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【小问1详解】 解：设A种跳绳的单价为元，种跳绳的单价为元． 根据题意得：， 解得：， 答：A种跳绳的单价为30元，种跳绳的单价为50元． 【小问2详解】 设购买种跳绳根，则购买A种跳绳根， 由题意得：， 解得：， 答：至多可以购买种跳绳20根． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找出不等关系，正确列出一元一次不等式． 20（2024•长沙）如图，在中，，，，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧分别交于点M和N，作直线分别交于点D，E，连接 （1）求的长； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，斜中半定理：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，以及勾股定理等知识点，熟记相关结论是解题关键． （1）由题意得是线段的垂直平分线，故点D是斜边的中点．据此即可求解； （2）根据、的周长即可求解； 【小问1详解】 解：由作图可知，是线段的垂直平分线， ∴在中，点D是斜边的中点． ∴． 【小问2详解】 解：在中，． ∵是线段的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 21. （2024•长沙）刺绣是我国民间传统手工艺．湘绣作为中国四大刺绣之一，闻名中外，在巴黎奥运会倒计时50天之际，某国际旅游公司计划购买A、B两种奥运主题的湘绣作品作为纪念品．已知购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元． （1）求A种湘绣作品和B种湘绣作品的单价分别为多少元？ （2）该国际旅游公司计划购买A种湘绣作品和B种湘绣作品共200件，总费用不超过50000元，那么最多能购买A种湘绣作品多少件？ 【答案】（1）A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元 （2）最多能购买100件A种湘绣作品 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用． （1）设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元，根据“购买1件A种湘绣作品与2件B种湘绣作品共需要700元，购买2件A种湘绣作品与3件B种湘绣作品共需要1200元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可解题； （2）设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件，总费用单价数量，结合总费用不超过50000元，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的值，再取其中的最大整数值即可得出该校最大可以购买湘绣的数量． 【小问1详解】 设A种湘绣作品的单价为x元，B种湘绣作品的单价为y元． 根据题意，得 ， 解得 答：A种湘绣作品的单价为300元，B种湘绣作品的单价为200元． 【小问2详解】 设购买A种湘绣作品a件，则购买B种湘绣作品件． 根据题意，得， 解得． 答：最多能购买100件A种湘绣作品． 22. （2024•长沙）中国新能源产业异军突起．中国车企在政策引导和支持下，瞄准纯电、混动和氢燃料等多元技术路线，加大研发投入形成了领先的技术优势，2023年，中国新能源汽车产销量均突破900万辆，连续9年位居全球第一．在某次汽车展览会上，工作人员随机抽取了部分参展人员进行了“我最喜欢的汽车类型”的调查活动（每人限选其中一种类型），并将数据整理后，绘制成下面有待完成的统计表、条形统计图和扇形统计图 类型 人数 百分比 纯电 m 混动 n 氢燃料 3 油车 5 请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动随机抽取了_____人；表中______，______； （2）请补全条形统计图； （3）请计算扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数； （4）若此次汽车展览会的参展人员共有4000人，请你估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有多少人？ 【答案】（1）50；30，6 （2）见解析 （3） （4）人 【解析】 【分析】本题考查统计表、条形统计图和扇形统计图的综合，理解题意，能从统计图中获取有用信息是解答的关键． （1）用喜欢油车人数除以其所占的百分比可求得调查人数，用喜欢氢燃料人数除以调查人数可求得b，进而用1减去喜欢其他车型所占的百分比可求解a； （2）先求得n，进而可补全条形统计图； （3）用360度乘以喜欢混动所占的百分比即可求解； （4）用总人数乘以样本中喜欢新能源汽车所占的百分比即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查活动随机抽取人数为（人）， ，则， ，则， 故答案为：50；30，6； 【小问2详解】 解：∵， ∴补全条形统计图如图所示： 【小问3详解】 解：扇形统计图中“混动”类所在扇形的圆心角的度数为； 【小问4详解】 解：（人）． 答：估计喜欢新能源（纯电、混动、氢燃料）汽车的有3600人． 23 （2024•长沙）对于凸四边形，根据它有无外接圆（四个顶点都在同一个圆上）与内切圆（四条边都与同一个圆相切）， 可分为四种类型，我们不妨约定： 既无外接圆，又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形； 只有外接圆，而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形； 只有内接圆，而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形； 既有外接圆，又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形． 请你根据该约定，解答下列问题： （1）请你判断下列说法是否正确（在题后相应的括号中，正确的打“√”，错误的打“×”， ①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形； （ ） ②内角不等于的菱形一定是“内切型单圆”四边形； （ ） ③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合，外接圆半径为R，内切圆半径为r，则有．（ ） （2）如图1，已知四边形内接于，四条边长满足：． ①该四边形是“______”四边形（从约定的四种类型中选一种填入）； ②若的平分线交于点E，的平分线交于点F，连接．求证：是的直径． （3）已知四边形是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H． ①如图2．连接交于点P．求证：． ②如图3，连接，若，，，求内切圆的半径r及的长． 【答案】（1）①×；②√；③√ （2）①外接型单圆；②见解析 （3），， 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形和切线长定理可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，结合题中定义，根据对角不互补，对边之和也不相等的平行四边形无外接圆，也无内切圆，进而可判断①；根据菱形的性质可判断②；根据正方形的性质可判断③； （2）①根据已知结合题中定义可得结论； ②根据角平分线的定义和圆周角定理证明即可证得结论； （3）①连接、、、、，根据四边形是“完美型双圆”四边形，结合四边形的内角和定理可推导出，，，进而可得，，然后利用圆周角定理可推导出，即可证得结论； ②连接、、、，根据已知条件证明，进而证明得到，再利用勾股定理求得，，同理可证求解即可． 【小问1详解】 解：由题干条件可得：有外接圆的四边形的对角互补；有内切圆的四边形的对边之和相等，所以 ①当平行四边形的对角不互补，对边之和也不相等时，该平行四边形无外接圆，也无内切圆， ∴该平行四边形是 “平凡型无圆”四边形，故①错误； ②∵内角不等于的菱形的对角不互补， ∴该菱形无外接圆， ∵菱形的四条边都相等， ∴该菱形的对边之和相等， ∴该菱形有内切圆， ∴内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形，故②正确； ③由题意，外接圆圆心与内切圆圆心重合的“完美型双圆”四边形是正方形，如图， 则，，，， ∴为等腰直角三角形， ∴，即； 故③正确， 故答案为：①×；②√；③√； 【小问2详解】 解：①∵四边形中，， ∴四边形无内切圆，又该四边形有外接圆， ∴该四边形是“外接型单圆”四边形， 故答案为：外接型单圆； ②∵的平分线交于点E，的平分线交于点F， ∴，， ∴，， ∴， ∴，即和均为半圆， ∴是的直径． 【小问3详解】 ①证明：如图，连接、、、、， ∵是四边形的内切圆， ∴，，，， ∴， 在四边形中，， 同理可证，， ∵四边形是“完美型双圆”四边形， ∴该四边形有外接圆，则， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②如图，连接、、、， ∵四边形 是“完美型双圆”四边形，它的内切圆与分别相切于点E，F，G，H， ∴∴，，，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴，又， ∴， ∴， ∵，， ∴，则， 在中，由得， 解得； 在中，， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行四边形性质、正方形的性质、菱形的性质、圆周角定理、内切圆的定义与性质、外接圆的定义与性质、相似三角形的判定与性质、四边形的内角和定理、勾股定理、角平分线的判定等知识，理解题中定义，熟练掌握这些知识和灵活运用性质和判定是解题的关键．另外还要求学生具备扎实的数学基础和逻辑思维能力，备考时，重视四边形知识的学习，提高解题技巧和速度，以应对中考挑战． 24.（2024•长沙） 已知四个不同的点，，，都在关于x的函数（a，b，c是常数，）的图象上． （1）当A，B两点的坐标分别为，时，求代数式的值； （2）当A，B两点的坐标满足时，请你判断此函数图象与x轴的公共点的个数，并说明理由； （3）当时，该函数图象与x轴交于E，F两点，且A，B，C，D四点的坐标满足：，．请问是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个三角形，且该三角形的三个内角的大小之比为？若存在，求出m的值和此时函数的最小值；若不存在，请说明理由（注：表示一条长度等于的m倍的线段）． 【答案】（1） （2）此函数图象与x轴的公共点个数为两个，理由见解析 （3）存在两个m的值符合题意；当时，此时该函数的最小值为；当时，此时该函数的最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与x轴交点问题、直角三角形存在性问题等，熟练掌握相关知识和分类讨论是解题关键. （1）将代入得到关于、的关系式，再整体代入求解即可; （2）解方程求解，再根据的正负分类讨论即可； （3）由内角之比可得出这是一个的直角三角形，再将线段表示出来，利用特殊角的边角关系建立方程即可. 【小问1详解】 将，代入得 ， ②-①得，即． 所以． 【小问2详解】 此函数图象与x轴的公共点个数为两个． 方法1：由，得． 可得或． 当时，，此抛物线开口向上，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的下方，此时该函数图象与x轴有两个公共点； 当时，，此抛物线开口下，而A，B两点之中至少有一个点在x轴的上方，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，此函数图象与x轴必有两个公共点． 方法2：由，得． 可得或． 所以抛物线上存在纵坐标为的点，即一元二次方程有解． 所以该方程根的判别式，即． 因为，所以． 所以原函数图象与x轴必有两个公共点． 方法3：由，可得或． 当时，有，即， 所以． 此时该函数图象与x轴有两个公共点． 当时，同理可得，此时该函数图象与x轴也有两个公共点． 综上所述，该函数图象与x轴必有两个公共点． 【小问3详解】 因为，所以该函数图象开口向上． 由，得，可得． 由，得，可得． 所以直线均与x轴平行． 由（2）可知该函数图象与x轴必有两个公共点，设，． 由图象可知，即． 所以的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 同理的两根为，，可得． 由于，结合图象与计算可得，． 若存在实数，使得，这三条线段组成一个三角形， 且该三角形的三个内角的大小之比为1：2：3，则此三角形必定为两锐角分别为30°，60°的直角三角形，所以线段不可能是该直角三角形的斜边． ①当以线段为斜边，且两锐角分别为30°，60°时，因为， 所以必须同时满足：，． 将上述各式代入化简可得，且， 联立解之得，，解得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． ②当以线段为斜边时，必有，同理代入化简可得 ，解得． 因为以线段为斜边，且有一个内角为60°，而， 所以，即， 化简得符合要求． 所以，此时该函数的最小值为． 综上所述，存在两个m的值符合题意； 当时，此时该函数的最小值为； 当时，此时该函数的最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$