精品解析：安徽省黄山市2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为(　　) A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 3. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 5. 如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（ ） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣3 D. 3 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A. 65 B. 75 C. 85 D. 130 7. 小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径是（ ）毫米． A. 6 B. C. D. 8 8. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 9. 如图，小强从热气球上A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 10. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 11. 已知，则的值为 _____． 12. 在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为________． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______． 14. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 15. 计算： （1） （2） 16. 如图，已知，，，求的长． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 18. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 19. 如图1，是一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线距离(精确到0.1cm)． 20. 如图，的弦，的延长线交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若，，．求的长． 六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 21. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式时的解集． 七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值； （3）已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点坐标． 八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．） 23. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年第一学期安徽省黄山市九年级数学期末模拟试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析． 【详解】A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、不是中心对称图形，故此选项错误； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、是中心对称图形，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了中心对称图形，关键是掌握中心对称图形的定义． 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6cm，则BC的长度为(　　) A. 6cm B. 7cm C. 8cm D. 9cm 【答案】C 【解析】 【详解】已知sinA=，设BC=4x，AB=5x， 又因AC2+BC2=AB2， 即62+（4x）2=（5x）2， 解得：x=2或x=﹣2（舍）， 所以BC=4x=8cm， 故选：C． 3. 一个封闭的箱子中有两个红球和一个黄球，随机从中摸出两个球，即两个球均为红球的概率是（ ） A B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意画出树状图，由概率公式即可得两次都摸到红球概率． 【详解】解：画出树状图： 根据树状图可知：所有等可能的结果共有6种，其中两次都摸到红球的有2种， ∴两次都摸到红球的概率是＝； 故选：D． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法以及概率公式，解决本题的关键是画出树状图． 4. 如图，在⊙中，半径于点H，若，则∠ABC的度数为（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直求出∠AHO=90°，根据直角三角形的两锐角互余求出∠AOC，根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC，代入求出答案即可． 【详解】解：∵OC⊥AB， ∴∠AHO=90°， ∵∠OAB=40°， ∴∠AOC=90°-∠OAB=90°-40°=50°， ∴∠ABC=∠AOC=×50°=25°， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能根据圆周角定理得出∠ABC=∠AOC是解此题的关键． 5. 如图，过反比例函数y（x＞0）图象上的一点A作y轴的平行线交反比例函数y（x＞0）于点B，连接OA、OB．若，则k的值为（ ） A. ﹣4 B. 4 C. ﹣3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用反比例函数系数k的几何意义，先求出S△AOC，再求出S△BOC，进而求出k的值即可． 【详解】解：∵点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，且AB∥y轴， ∴S△AOC=×|2|=1， 又∵S△AOB=3， ∴S△BOC=3-1=2， ∴|k|=2， 而k＜0， ∴k=-4， 故选：A． 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，理解反比例函数系数k的几何意义是正确计算的前提． 6. 如图，在△ABC中，∠BAC＝65°，∠C＝20°，将△ABC绕点A逆时针旋转n度（0＜n＜180）得到△ADE，若DE∥AB，则n的值为（　　） A. 65 B. 75 C. 85 D. 130 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行可知∠DAB=180°－95°=85°，故旋转了85°． 【详解】∵DE∥AB， ∴∠DAB＝180°－∠D， ∵∠D=∠B=180°－20°－65°=95°， ∴∠DAB=180°－95°=85°， ∴n=85°， 故选：C． 【点睛】本题考查平行的性质，以及旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解决本题的关键． 7. 小名同学在实际生活中发现问题，并利用所学的数学知识解决问题，用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是12毫米，测得钢珠顶端离零件表面的距离为9毫米，如图所示，则这个小孔的直径是（ ）毫米． A. 6 B. C. D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理．设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D，根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理可计算出，即可得到这个小孔的直径． 【详解】解：如图， 设钢珠的圆心为O，过O作于C，交优弧于D， 则， ， ∵， ∴， 在中，， ∴． 故选B． 8. 图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出两个高脚杯液体的高度，再通过三角形相似，建立其对应边的比与对应高的比相等的关系，即可求出AB． 【详解】解：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：15-7=8（cm）， 第二个高脚杯盛液体的高度为：11-7=4（cm）， 因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯， 所以图1和图2中的两个三角形相似， ∴， ∴（cm）， 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是读懂题意，与图形建立关联，能灵活运用相似三角形的判定得到相似三角形，并能运用其性质得到相应线段之间的关系等，本题对学生的观察分析的能力有一定的要求． 9. 如图，小强从热气球上的A点测量一栋高楼顶部的仰角，测量这栋高楼底部的俯角，热气球与高楼的水平距离为米，则这栋高楼的高BC为（ ）米． A. 45 B. 60 C. 75 D. 90 【答案】B 【解析】 【分析】由求出的值，由求出的值，对计算求解即可． 【详解】解：∵ ∴米 ∵ ∴米 ∴米 故选B． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键在于根据特殊角的正切值进行求解． 10. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于，两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为．其中正确的结论有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质．①根据抛物线的开口方向，对称轴，与轴的交点坐标，可判断，，与的大小关系；②将代入二次函数，可得；③根据题意可得，结合点的坐标为，点位于轴负半轴，即可判断该结论是否正确；④求得点的坐标为，可得，结合，可求得点的坐标，进而求得点的坐标． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴． 将代入二次函数解析式，得． ∴点的坐标为． ∵点位于轴负半轴， ∴． ∵对称轴， ∴． ∴．结论①正确． ②将代入二次函数，得 ． 根据二次函数图象可知．结论②错误． ③∵，， ∴． 又点的坐标为，点位于轴负半轴， ∴． ∴．结论③正确． ④∵，点的坐标为，点位于轴负半轴，点位于轴正半轴， ∴点的坐标为． 因为二次函数的图象过点，可得 ． 化简，得 ． 因为对称轴， 所以，． 将代入，得 ． 可得 ． 所以，点的坐标为． 设点的坐标为． 根据题意可得 ． 则． 所以，点的坐标为． 所以，关于的方程的两个解为，． 结论④正确． 综上所述，结论正确的为①③④． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 11. 已知，则的值为 _____． 【答案】##0.4 【解析】 【分析】根据比例性质和分式的基本性质求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∴=， 故答案为：． 【点睛】本题考查比例性质、分式基本性质，熟练掌握比例性质是解答的关键． 12. 在一个不透明的袋中装有2个黑色小球和若干个红色小球，每个小球除颜色外都相同，每次摇匀后随机摸出一个小球，记下颜色后再放回袋中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红色小球的频率稳定于0.8，则可估计这个袋中红色小球的个数约为________． 【答案】8 【解析】 【分析】根据频率估计摸到红球的概率，可以得到摸到黑球概率，从而可以求得总的球数，可以得到红球的个数． 【详解】解：由题意可得摸到红球的概率为0.8 ∴摸到黑球的概率为1－0.8=0.2 ∴总的球数为2÷0.2=10（个） ∴红球有：10－2=8（个） 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系． 13. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转，得到△，连接．若，则______． 【答案】50 【解析】 【分析】根据旋转的性质得AC′=AC，∠B′AB=∠C′AC，再根据等腰三角形的性质得∠AC′C=∠ACC′，然后根据平行线的性质由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=65°，则∠AC′C=∠ACC′=65°，再根据三角形内角和计算出∠CAC′=50°，所以∠B′AB=50°． 【详解】解：绕点逆时针旋转到△的位置， ，， ， //， ， ， ， ， 故答案为50． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了平行线的性质． 14. 如图，在矩形纸片中，将沿翻折，使点落在上的点处，为折痕，连接；再将沿翻折，使点恰好落在上的点处，为折痕，连接并延长交于点，若，，则线段的长等于_____． 【答案】． 【解析】 【分析】据折叠可得是正方形，，，，可求出三角形的三边为3，4，5，在中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证∽，三边占比为3：4：5，设未知数，通过，列方程求出待定系数，进而求出的长，然后求的长． 【详解】过点作，，垂足为、， 由折叠得：是正方形，， ，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，设，则，由勾股定理得， ， 解得：， ∵，， ∴∽， ∴， 设，则，， ∴，， 解得：， ∴， ∴， 故答案为． 【点睛】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目． 三、（本大题共2小题，每小题8你，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解； （2）根据特殊三角函数值的混合运算即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，理解并掌握特殊角的三角函数值及其混合运算是解题的关键． 16. 如图，已知，，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据两个角对应相等的两个三角形相似证明，得出，然后代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，证明． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分．请在答题卷的相应区域答题．） 17. 某中学全校学生参加了“交通法规”知识竞赛，为了解全校学生竞赛成绩的情况，随机抽取了一部分学生的成绩，分成四组：A：60≤x＜70；B：70≤x＜80；C：80≤x＜90；D：90≤x≤100，并绘制出如图不完整的统计图． 解答下列问题： （1）本次调查的学生共有 　 　人． （2）求被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有多少人？并补齐条形统计图． （3）学校要将D组最优秀的4名学生分成两组，每组2人到不同的社区进行“交通法规”知识演讲．已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率． 【答案】（1）80 （2）32人，图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）用学生成绩在B：70≤x＜80组的人数除以20%，即可求解； （2）先求出学生成绩在C：80≤x＜90组的人数，即可求解； （3）把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁，根据题意，画树状图可得共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的学生共有：16÷20%＝80（人）， 故答案为：80； 【小问2详解】 解：被抽取的学生成绩在C：80≤x＜90组的有：80﹣8﹣16﹣24＝32（人）， 补全的条形统计图如下所示： 【小问3详解】 把1名来自七年级的学生记为甲，1名来自八年级的学生记为乙，2名九年级学生记为丙、丁， 根据题意，画树状图如下： 共有12种得可能的结果，其中九年级的2名学生恰好分在同一个组的结果有4种， ∴九年级的2名学生恰好分在同一个组的概率为：． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，用树状图或列表法求概率，明确题意，从统计图中准确获取信息是解题的关键． 18. 某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y（个）与销售单价x（元）有如下关系：，设这种健身球每天的销售利润为w元． （1）如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； （2）求w与x之间的函数关系式； （3）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2） （3）该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）在中，令，进行计算即可得； （2）根据总利润=每个建生球的利润×销售量即可列出w与x之间的函数关系式； （3）结合（2）的函数关系式，根据二次函数性质即可得． 【小问1详解】 解：在中，令得，， 故答案为：； 【小问2详解】 解：根据题意得，， 即w与x之间的函数关系式为：； 【小问3详解】 解：， ∵， ∴当时，w取最大值，最大值为， 即该种健身球销售单价定为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是理解题意，列出函数关系式． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分．请在答题卷的相应区域答题．） 19. 如图1，一款手机支架图片，由底座、支撑板和托板构成．图2是其侧面结构示意图，量得托板长，支撑板长，底座长，托板AB连接在支撑板顶端点C处，且，托板可绕点C转动，支撑板可绕D点转动．如图2，若．(参考数值，，) （1）求点C到直线的距离(精确到0.1cm)； （2）求点A到直线的距离(精确到0.1cm)． 【答案】（1）点C到直线的距离约为13.8cm （2）点A到直线的距离约为21.5cm 【解析】 【分析】（1）如图2，过点C作，垂足为N，然后根据三角函数可得，即，最后将已知条件代入即可解答； （2）如图2，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F，再说明中，，，然后根据三角函数和线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：如图2，过点C作，垂足为N 由题意可知，， 在中， ， ∴． 答：点C到直线的距离约为． 【小问2详解】 解：如图3，过A作，交的延长线于点M，过点C作，垂足为F， ∴ 在中，，， ∴， ∴． 答：点A到直线的距离约为21.5cm． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，正确的理解正弦、余弦的定义是解答本题的关键． 20. 如图，的弦，的延长线交于点P，连接，． （1）求证：； （2）若，，．求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的性质证明，再根据两个角对应相等的两个三角形相似，即可证明结论； （2）根据相似三角形的性质得出，代入数据求出，再根据线段之间的关系即可得出结果． 【小问1详解】 证明：∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的性质，三角形相似的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法． 六、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 21. 如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据图像直接写出不等式时的解集． 【答案】（1） （2）6 （3）或 【解析】 【分析】（1）先把代入求解反比例函数解析式，再求解A的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可； （2）先求解C的坐标，再利用，从而可得答案. （3）由可得：一次函数的图象在反比例函数图象的下方，结合函数图象可得答案. 【小问1详解】 解：把代入得： 所以反比例函数的解析式为： 把代入得 把代入得： 解得： 所以一次函数的解析式为： 【小问2详解】 解：为 令 则 即 【小问3详解】 解：由可得： 一次函数的图象在反比例函数图象的下方， 所以：或 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，三角形面积的计算，利用图象法解不等式，掌握“数形结合的方法”是解本题的关键. 七、（本大题满分12分．请在答题卷的相应区域答题．） 22. 如图，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是第一象限内抛物线上的一个动点（与点、不重合），过点作轴于点，交于点，过点作，垂足为．求线段的最大值； （3）已知为抛物线对称轴上一动点，若是直角三角形，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）当时，有最大值，最大值是 （3）点的坐标为，，， 【解析】 【分析】（1）由抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，设抛物线为y＝a（x+1）（x﹣3），将C（0，3）代入即可得y＝﹣x2+2x+3； （2）由B（3，0），C（0，3），可推得△DEM是等腰直角三角形，DM＝DE，设直线BC为y＝kx+b，用待定系数法可得直线BC为y＝﹣x+3，设D（m，﹣m2+2m+3），则E（m，﹣m+3），即得DE＝﹣m2+3m，由二次函数性质可得线段DM的最大值； （3）设P（1，t），可得PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18，分三种情况：①PC为斜边时，②PB为斜边时，③BC为斜边时，列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴设抛物线解析式， 将点坐标代入，得：， 解得：， 抛物线解析式为； 【小问2详解】 解：设直线的函数解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴， 设，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， 又∵， 在中， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值是； 【小问3详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 设P（1，t），而B（3，0），C（0，3）， ∴PB2＝（1﹣3）2+t2＝4+t2，PC2＝（1﹣0）2+（t﹣3）2＝1+（t﹣3）2，BC2＝18， ①当是斜边时，，解得：； ②当是斜边时，，解得：； ③当是斜边时，， 整理，得：，解得：， 故点的坐标为：，，， 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法、函数图象上点坐标的特征、直角三角形的判定等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标及相关线段的长度． 八、（本大题满分14分．请在答题卷的相应区域答题．） 23. 【发现问题】 （1）如图1，已知和均为等边三角形，在上，在上，易得线段和的数量关系是______． （2）将图1中的绕点旋转到图2的位置，直线和直线交于点． ①判断线段和的数量关系，并证明你的结论； ②图2中的度数是______． （3）【探究拓展】如图3，若和均为等腰直角三角形，，，，直线和直线交于点，分别写出的度数，线段、间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）①，证明见解析；②； （3）度，，理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定以及性质， 相似三角形的判定以及性质等知识． （1）由等边三角形的性质可求解； （2）①由“SAS”可证，可得； ②由全等三角形的性质可得，即可解决问题． （3）结论：，．证明，可得，，由此即可解决问题． 【详解】（1）解：∵和均为等边三角形， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）如图2中， ∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ∴（SAS）， ∴； ②∵， ∴， 设交于点． ∵， ∴， ∴， 故答案：； （3）结论：，． 理由： ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$