第二章 直线和圆的方程 章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

章末检测（二）　直线和圆的方程 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，则直线的方程为（　　） A.y＝－x－2 B.y＝x－2 C.y＝x＋2 D.y＝－x＋2 2.已知过点M（－2，a），N（a，4）的直线的斜率为－，则｜MN｜＝（　　） A.10 B.180 C.6 D.6 3.直线x＋y－1＝0被圆（x＋1）2＋y2＝3截得的弦长为（　　） A. B.2 C.2 D.4 4.直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程是（　　） A.2x＋y－4＝0 B.x＋2y－1＝0 C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－4＝0 5.已知直线x－2y＋m＝0（m＞0）与直线x＋ny－3＝0互相平行，且它们间的距离是，则m＋n＝（　　） A.0 B.1 C.－1 D.2 6.已知圆C经过A（0，0），B（2，0），且圆心在第一象限，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（　　） A.（x－1）2＋（y－1）2＝4 B.（x－）2＋（y－）2＝2 C.（x－1）2＋（y－1）2＝2 D.（x－1）2＋（y－2）2＝5 7.已知大圆O1与小圆O2相交于A（2，1），B（1，2）两点，且两圆都与两坐标轴相切，则｜O1O2｜＝（　　） A.4 B.4 C.6 D.6 8.已知M（3，4）是半径为1的动圆C上一点，P为圆O：x2＋y2＝1上一动点，过点P作圆C的切线，切点分别为A，B，则当｜AB｜取最大值时，△PAB的外接圆的方程为（　　） A.x2＋y2－3x－4y－6＝0 B.x2＋y2－3x－4y＋6＝0 C.x2＋y2－3x－4y＝0 D.x2＋y2－4x－3y＝0 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知直线l：x－y＋1＝0，则下列结论正确的是（　　） A.直线l的倾斜角是 B.若直线m：x－y＋1＝0，则l⊥m C.点（，0）到直线l的距离是2 D.过点（2，2）与直线l平行的直线方程是 x－y－4＝0 10.已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是（　　） A.圆M的圆心为（4，－3） B.圆M被x轴截得的弦长为8 C.圆M的半径为25 D.圆M被y轴截得的弦长为6 11.已知圆C1：（x－2cos θ）2＋（y－2sin θ）2＝1与圆C2：x2＋y2＝1，则下列说法正确的是（　　） A.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终相切 B.对于任意的θ，圆C1与圆C2始终有四条公切线 C.当θ＝时，直线l：x－y－1＝0被圆C1截得的弦长为 D.P，Q分别为圆C1与圆C2上的动点，则｜PQ｜的最大值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.点M到x轴和到点N（－4，2）的距离都等于10，则点M的坐标为　　　　. 13.已知直线l的斜率为，且和坐标轴围成的三角形的面积为3，则直线l的方程为　　　　　　. 14.在平面直角坐标系xOy中，直线l：mx－y－2m－1＝0（m∈R）过定点　　　　，以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为　　　　　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知直线l经过点P（－2，5），且斜率为－. （1）求直线l的方程； （2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程. 16.（本小题满分15分）已知圆心为C的圆经过点A（－1，1）和B（－2，－2），且圆心在直线l：x＋y－1＝0上. （1）求圆C的标准方程； （2）设点P在圆C上，点Q在直线x－y＋5＝0上，求｜PQ｜的最小值. 17.（本小题满分15分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0，圆上一点A（2，4）. （1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程； （2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且｜BC｜＝｜OA｜，求直线l的方程. 18.（本小题满分17分）已知动点M与两个定点O（0，0），A（3，0）的距离的比为，动点M的轨迹为曲线C. （1）求曲线C的方程，并说明其形状； （2）过直线x＝3上的动点P（3，p）（p≠0）分别作C的两条切线PQ，PR（Q，R为切点），证明：直线QR过定点，并求该定点坐标. 19.（本小题满分17分）某市公园内的人工湖上有一个以点C为圆心的圆形喷泉，沿湖有一条小径AB，在AB的另一侧建有控制台O，OA和OB之间均有小径连接（小径均为直路），且∠AOB＝π，喷泉中心C点距离B点60米，且CB连线恰与OA平行，在小径AB上有一休息亭Q，现测得｜OB｜＝40米，｜OQ｜＝20米，且OQ⊥OA. （1）请计算小径AB的长度； （2）现打算改建控制台O的位置（记为O'），使其离喷泉尽可能近，在点A，B，C的位置及∠AOB大小均不变的前提下，请计算O'C长度的最小值； （3）一人从小径一端A处向B处匀速前进时，喷泉恰好同时开启，喷泉开启t分钟后的水幕是一个以C为圆心，半径r＝10米的圆形区域（含边界），此人的行进速度是v＝10米/分钟，在这个人行进的过程中他会被水幕沾染，试求实数a的最小值. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与详解 章末检测（二）　直线和圆的方程 1.B　因为直线的倾斜角为45°，在x轴上的截距为2，所以该直线的斜率k＝tan 45°＝1，且过点（2，0），所以该直线的方程为y＝x－2.故选B. 2.D　由kMN＝＝－，解得a＝10，即M（－2，10），N（10，4），所以｜MN｜＝＝6，故选D. 3.B　由题意，得圆心为（－1，0），半径r＝，弦心距d＝＝，所以所求的弦长为2＝2，故选B. 4.D　直线x－2y＋2＝0上的点（－2，0）关于直线x＝1对称的点为A（4，0），直线x－2y＋2＝0上的点（0，1）关于直线x＝1对称的点为B（2，1），故直线x－2y＋2＝0关于直线x＝1对称的直线方程，即直线AB的方程，为＝，即x＋2y－4＝0，故选D. 5.A　由题意，所给两条直线平行，∴n＝－2.由两条平行直线间的距离公式，得d＝＝＝，解得m＝2或m＝－8（舍去），∴m＋n＝0. 6.C　因为圆心在弦AB的垂直平分线上，所以可设C（1，m），又圆心在第一象限，所以∠ACB为直角，所以△ABC为等腰直角三角形，所以｜AC｜＝＝.因为m＞0，所以m＝1，所以圆心坐标为（1，1），圆的半径为，所以圆C的方程为（x－1）2＋（y－1）2＝2. 7.B　由题意，设与两坐标轴都相切的圆的圆心为（a，a）（a＞0），其方程为（x－a）2＋（y－a）2＝a2，将点（1，2）或（2，1）的坐标代入，解得a＝5或a＝1，所以O1：（x－5）2＋（y－5）2＝25，O2：（x－1）2＋（y－1）2＝1，可得O1（5，5），O2（1，1），所以｜O1O2｜＝＝4. 8.A　如图，∵｜MC｜＝1，∴圆心C的轨迹方程为（x－3）2＋（y－4）2＝1.∵P为圆O：x2＋y2＝1上的动点，又｜OM｜＝5，∴3≤｜PC｜≤7.∵｜PC｜·｜AB｜＝2｜AC｜·｜PA｜，｜AC｜＝1，｜PC｜2＝｜PA｜2＋｜AC｜2，∴｜AB｜＝＝2，∴当｜PC｜最小时，｜AB｜最小，当｜PC｜最大时，｜AB｜最大.当｜PC｜＝｜OM｜＋2＝7时，｜AB｜取最大值，△PAB的外接圆以线段PC为直径，而PC的中点，即OM的中点为（，2），∴外接圆的方程为（x－）2＋（y－2）2＝，即x2＋y2－3x－4y－6＝0. 9.CD　对于A，直线l：x－y＋1＝0的斜率k＝tan ＝，故直线l的倾斜角是，故A错误；对于B，因为直线m：x－y＋1＝0的斜率k'＝，kk'＝1≠－1，故直线l与直线m不垂直，故B错误；对于C，点（，0）到直线l的距离d＝＝2，故C正确；对于D，过点（2，2）与直线l平行的直线方程是y－2＝（x－2），整理得x－y－4＝0，故D正确.综上所述，正确的选项为C、D. 10.ABD　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，即（x－4）2＋（y＋3）2＝25，故圆M的圆心坐标为（4，－3），半径为5，显然选项C不正确，A正确；又圆心M（4，－3）到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，故圆M被x轴截得的弦长为8，被y轴截得的弦长为6，故B、D正确. 11.ACD　由已知得C1（2cos θ，2sin θ），C2（0，0），r1＝1，r2＝1，所以｜C1C2｜＝＝2＝r1＋r2，故两圆始终相切，所以A中说法正确，B中说法错误；当θ＝时，C1（，1），所以C1到直线l的距离为＝，则弦长为2×＝，所以C中说法正确；因为｜C1C2｜＝2，所以｜PQ｜max＝｜C1C2｜＋1＋1＝4，所以D中说法正确. 12.（2，10）或（－10，10）　解析：设M（x，y），则｜y｜＝＝10.解得或 13.x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0 解析：设直线l的方程为＋＝1，∴｜ab｜＝3，且－＝，解得a＝－6，b＝1或a＝6，b＝－1，∴直线l的方程为＋y＝1或－y＝1，即x－6y＋6＝0或x－6y－6＝0. 14.（2，－1）　（x－1）2＋y2＝2　解析：根据题意，直线l：mx－y－2m－1＝0，即m（x－2）＝y＋1.由解得即直线l经过定点（2，－1），记点（2，－1），（1，0）分别为点M，点C，则｜MC｜＝＝.以点（1，0）为圆心且与l相切的所有圆中，半径最大时，r＝｜MC｜＝.故半径最大的圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2. 15.解：（1）由直线的点斜式方程，得y－5＝－（x＋2）， 整理得所求直线方程为3x＋4y－14＝0. （2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x＋4y＋C＝0（C≠－14）， 由点到直线的距离公式得＝3， 即＝3，解得C＝1或C＝－29， 故所求直线m的方程为3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0. 16.解：（1）设圆C的标准方程为（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0），因为圆C经过点A（－1，1）和B（－2，－2）， 且圆心在直线l：x＋y－1＝0上， 所以解得 所以圆C的标准方程为（x－3）2＋（y＋2）2＝25. （2）因为圆心C到直线x－y＋5＝0的距离为d＝＝5＞5， 所以直线x－y＋5＝0与圆C相离， 所以｜PQ｜的最小值为d－r＝5－5. 17.解：（1）由点N在直线x＝6上，设N（6，n）， 因为圆N与x轴相切，则圆N为（x－6）2＋（y－n）2＝n2，n＞0， 又圆N与圆M：（x－6）2＋（y－7）2＝25外切，则｜7－n｜＝｜n｜＋5，解得n＝1， 即圆N的标准方程为（x－6）2＋（y－1）2＝1. （2）由题意得｜OA｜＝2，kOA＝2. 设l：y＝2x＋b，则圆心M到直线l的距离d＝＝， 则｜BC｜＝2＝2， ｜BC｜＝｜OA｜＝2，即2＝2，解得b＝5或b＝－15， 即l：y＝2x＋5或y＝2x－15. 18.解：（1）设M（x，y）， 由＝，得＝. 化简得x2＋y2＋2x－3＝0，即（x＋1）2＋y2＝4. 故曲线C是以（－1，0）为圆心，2为半径的圆. （2）证明：由题意知，PQ，PR与圆C相切，Q，R为切点，C（－1，0）是曲线C的圆心，则CQ⊥PQ，CR⊥PR，则C，R，P，Q四点共圆，Q，R在以CP为直径的圆上（如图）. CP的中点为（1，），｜CP｜＝， 以线段CP为直径的圆的方程为（x－1）2＋（y－）2＝（）2， 整理得x2＋y2－2x－py－3＝0. ① 又Q，R在圆x2＋y2＋2x－3＝0上， ② 由两圆方程作差即②－①，得4x＋py＝0， 所以直线QR的方程为4x＋py＝0. 则QR恒过坐标原点O（0，0）. 19.解：以O为坐标原点，AO所在直线为x轴，OQ所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系. （1）由｜OB｜＝40米，∠AOB＝π，可知B（40，40）， 则直线OB的方程为y＝x，又Q（0，20）， 所以直线AB的方程为y＝x＋20， 令y＝0，得x＝－40，故A（－40，0）， 所以｜AB｜＝40米. （2）易知O，A，B三点共圆，且易求得此圆的方程为（x＋20）2＋（y－60）2＝4 000，其圆心为（－20，60），半径为20. 易得C（－20，40）在圆内，则｜O'C｜min＝20－20，此时点O'为直线x＝－20与点A及坐标原点之间劣弧的交点. （3）人从A处行驶到B处所需要的时间为＝4（分钟）， 假设在t（0＜t＜4）时刻人所在的位置为M， 则｜AM｜＝10t米，所以M（20t－40，10t）， 则｜CM｜2＝（20t－20）2＋（10t－40）2＝100（5t2－16t＋20）， 又在t（0＜t＜4）时刻，r2＝100at，故欲使这个人在行进的过程中被水幕沾染， 则存在t∈（0，4），使得r2≥｜CM｜2，即100at≥100（5t2－16t＋20）成立， 所以存在t∈（0，4），使得a≥5（t＋）－16成立， 当t∈（0，4）时，5（t＋）－16≥5×2－16＝4， 当且仅当t＝，即t＝2时取等号， 所以a≥4，即实数a的最小值为4. 学科网（北京）股份有限公司 $$