第一章 空间向量与立体几何 章末检测-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

章末检测（一）　空间向量与立体几何 （时间：120分钟　满分：150分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则＋（＋）＝（　　） A. B. C. D. 2.已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则“c·a＝0，且c·b＝0”是“l⊥α”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知向量a＝（0，－1，1），b＝（4，1，0），｜λa＋b｜＝，且λ＞0，则λ＝（　　） A.2 B.3 C.4 D.5 4.已知棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则· ＝（　　） A.－1 B.0 C.1 D.2 5.如图所示，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为（　　） A. B.C. D.1 6.如图，圆台的高为4，上、下底面半径分别为3，5，M，N分别在上、下底面圆周上，且＜，＞＝120°，则｜｜＝（　　） A. B.5C. D.5 7.《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD为矩形，EF∥AB，若AB＝3EF，△ADE和△BCF都是正三角形，且AD＝2EF，则异面直线DE与BF所成角的大小为（　　） A. B. C. D. 8.如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP＝MC.则点M在正方形ABCD内的轨迹为（　　） 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.空间直角坐标系Oxyz中，已知A（1，2，－2），B（0，1，1），下列结论正确的有（　　） A.＝（－1，－1，3） B.若m＝（2，1，1），则m⊥ C.点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，－2，2） D.｜｜＝ 10.下列命题正确的是（　　） A.若p是平面α的一个法向量，A，B是直线b上不同的两点，则b∥α的充要条件是p·＝0 B.已知A，B，C三点不共线，对于空间中任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点共面 C.已知a＝（－1，1，2），b＝（0，2，3），若ka＋b与2a－b垂直，则k＝－ D.已知△ABC的顶点分别为A（－1，1，2），B（4，1，4），C（3，－2，2），则AC边上的高BD的长为 11.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角A-BD-C，则（　　） A.AC⊥BD B.△ACD是等边三角形 C.AB与平面BCD所成的角为60° D.AB与CD所成的角为90° 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上） 12.若空间向量a＝（2，－1，3），b＝（－1，4，－2），c＝（7，－7，m）是共面向量，则实数m＝　　　　. 13.如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC-A1B1C1，CA＝CC1＝2CB，则直线BC1与直线AB1所成角的余弦值为　　　　. 14.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝4，O是侧面A1ADD1的中心，E，F分别是B1C1，CC1的中点，点M，N分别在线段OB，EF上运动，则MN的最小值为　　　　. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（本小题满分13分）已知空间三点A（－2，0，2），B（－1，1，2），C（－3，0，4），设a＝，b＝. （1）求a与b的夹角θ的余弦值； （2）若向量ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值. 16.（本小题满分15分）如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为. （1）设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1； （2）设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长. 17.（本小题满分15分）如图，已知菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝AF＝2，∠ADC＝60°. （1）求直线BF与平面ABCD所成角； （2）求点A到平面FBD的距离. 18.（本小题满分17分）如图①，在矩形ABCD中，AB＝2AD＝2，E为线段DC的中点，将△ADE沿直线AE折起，使得DC＝，如图②. （1）求证：BE⊥平面ADE； （2）线段AB上是否存在一点H，使得平面ADE与平面DHC所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出H点的位置. 19.（本小题满分17分）如图，已知向量＝a，＝b，＝c，可构成空间向量的一个基底，若a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），c＝（c1，c2，c3）.在向量已有的运算法则的基础上，新定义一种运算a×b＝（a2b3－a3b2，a3b1－a1b3，a1b2－a2b1），显然a×b的结果仍为一向量，记作p. （1）求证：向量p为平面OAB的法向量； （2）若a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），求以OA，OB为邻边的平行四边形OADB的面积，并比较四边形OADB的面积与｜a×b｜的大小； （3）将四边形OADB按向量＝c平移，得到一个平行六面体OADB-CA1D1B1，试判断平行六面体的体积V与｜（a×b）·c｜的大小.（注：第（2）小题的结论可以直接应用） 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 参考答案与详解 章末检测（一）　空间向量与立体几何 1.A　在△BCD中，因为点G是CD的中点，所以＝（＋），从而＋（＋）＝＋＝. 2.B　若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α. 3.B　由题意，得λa＋b＝（4，1－λ，λ）.因为｜λa＋b｜＝，所以42＋（1－λ）2＋λ2＝29，整理得λ2－λ－6＝0.又λ＞0，所以λ＝3. 4.C　由于＝＋＝＋（＋）＝＋（＋）.而＝＋.则·＝［＋（＋）］·（＋）＝（＋）2＝（＋）＝1. 5.B　∵AB＝1，BC＝2，AA1＝3，∴A1（0，0，3），C（1，2，0），B（1，0，0），∴直线A1C的方向向量＝（1，2，－3），＝（0，2，0），对应的单位向量为u＝（，，－），所以点B到A1C的距离为d＝＝＝. 6.A　∵O2M⊥O1O2，O1N⊥O1O2，∴·＝0，·＝0，且由题意知，·＝3×5×cos 60°＝.∵＝＋＋，∴＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋·＋2·＝9＋16＋25＋15＝65，∴｜｜＝.故选A. 7.A　如图，以矩形ABCD的中心O为原点，的方向为x轴正方向建立空间直角坐标系.∵四边形ABCD为矩形，EF∥AB，△ADE和△BCF都是正三角形，∴EF⊂平面Oyz，且Oz是线段EF的垂直平分线.设AB＝3，则EF＝1，AD＝2，D（－1，－，0），E（0，－，），B（1，，0），F（0，，）.∴＝（1，1，），＝（－1，－1，），∴·＝－1×1＋1×（－1）＋×＝0，∴⊥，∴异面直线DE与BF所成的角为.故选A. 8.A　如图，以D为原点，DA，DC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方形ABCD的边长为a，M（x，y，0），则0≤x≤a，0≤y≤a，P，C（0，a，0），则｜｜＝，｜｜＝ .由｜｜＝｜｜，得x＝2y，所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y＝x（0≤x≤a），故选A. 9.AB　A（1，2，－2），B（0，1，1），∴＝（－1，－1，3），｜｜＝＝，A正确，D错误.若m＝（2，1，1），则m·＝2×（－1）＋1×（－1）＋1×3＝0，则m⊥，B正确，点A关于Oxy平面对称的点的坐标为（1，2，2），故C错误，故选A、B. 10.BCD　若b⊂α，则p·＝0成立，故b∥α不是p·＝0的必要条件，故A错误；若＝＋＋，则（－）＝（－）＋（－），所以＝＋，所以P，A，B，C四点共面，故B正确；由题意可得ka＋b＝（－k，k＋2，2k＋3），2a－b＝（－2，0，1），若ka＋b与2a－b垂直，则（ka＋b）·（2a－b）＝2k＋2k＋3＝0，解得k＝－，故C正确；由题意可得＝（5，0，2），＝（4，－3，0），则｜｜＝＝，｜｜＝＝5，则cos A＝＝＝，所以sin A＝＝，所以｜BD｜＝｜｜sin A＝×＝，故D正确. 11.AB　如图，取BD的中点O，连接AO，CO，则AO⊥BD，CO⊥BD.又AO∩CO＝O，∴BD⊥平面AOC，又AC⊂平面AOC，∴AC⊥BD，A中结论正确；∵AC＝AO＝AD＝CD，∴△ACD是等边三角形，B中结论正确；∵AO⊥平面BCD，∴∠ABD是AB与平面BCD所成的角，为45°，C中结论错误；＝＋＋，不妨设AB＝1，则＝（＋＋）2＝＋＋＋2·＋2·＋2·，∴1＝1＋2＋1＋2×（－）＋2×（－）＋2cos＜，＞，∴cos＜，＞＝，∴＜，＞＝60°，即AB与CD所成的角为60°，D中结论错误.故选A、B. 12.11　解析：若向量a，b，c共面，则存在x，y∈R，使得a＝xb＋yc，所以解得 13.　解析：不妨设CB＝1，则B（0，0，1），A（2，0，0），C1（0，2，0），B1（0，2，1）.∴＝（0，2，－1），＝（－2，2，1）.cos＜，＞＝＝＝. 14.2　解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则O（2，0，2），B（4，4，0），E（2，4，4），F（0，4，2）.因为点M，N分别在线段OB，EF上运动，所以设＝λ（0≤λ≤1），＝μ（0≤μ≤1），所以M（2λ＋2，4λ，2－2λ），N（2μ，4，2＋2μ），所以｜｜＝＝，所以当μ＝λ＝时，｜｜min＝＝2. 15.解：（1）a＝＝（－1，1，2）－（－2，0，2）＝（1，1，0）， b＝＝（－3，0，4）－（－2，0，2）＝（－1，0，2）. cos θ＝＝＝－. 所以a与b的夹角θ的余弦值为－. （2）因为ka＋b＝（k，k，0）＋（－1，0，2）＝（k－1，k，2）， ka－2b＝（k，k，0）－（－2，0，4）＝（k＋2，k，－4）， 所以（k－1，k，2）·（k＋2，k，－4）＝（k－1）·（k＋2）＋k2－8＝0. 即2k2＋k－10＝0，所以k＝－或k＝2. 16.解：（1）证明：＝＋，＝＋.因为BB1⊥平面ABC.所以·＝0，·＝0.又△ABC为正三角形，所以＜，＞＝π－＜，＞＝π－＝，所以·＝（＋）·（＋）＝·＋·＋＋·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＋＝－1＋1＝0，所以⊥，所以AB1⊥BC1. （2）由（1）知·＝｜｜·｜｜·cos＜，＞＋＝－1.又｜｜＝＝＝｜｜，所以cos＜，＞＝＝.所以｜｜＝2，即侧棱长为2. 17.解：设AC∩BD＝O，因为菱形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，所以易得AF⊥平面ABCD.以O点为坐标原点，以OD所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，过O点且平行于AF的直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）由已知得A（0，1，0），B（－，0，0），C（0，－1，0），D（，0，0），F（0，1，2）.由题意可知平面ABCD的一个法向量为m＝（0，0，1），又＝（，1，2），设直线BF与平面ABCD所成角为θ，则有sin θ＝｜cos＜m，＞｜＝＝＝.即θ＝45°，所以直线BF与平面ABCD所成角为45°. （2）因为＝（2，0，0），＝（，1，2）， 设平面FBD的法向量为n＝（x，y，z）， 则即 令z＝1得n＝（0，－2，1），又因为＝（0，0，2）， 所以点A到平面FBD的距离d＝＝＝. 18.解：（1）证明：如图③，连接BE，取线段AE的中点O，连接DO，OC，在Rt△ADE中，DA＝DE＝， 所以DO⊥AE，DO＝OA＝OE＝1. 在△OEC中，OE＝1，EC＝，∠OEC＝， 由余弦定理可得OC2＝1＋2＋2×1××＝5，所以OC＝. 在△DOC中，DC2＝6＝DO2＋OC2，所以DO⊥OC. 又AE∩OC＝O，AE，OC⊂平面ABCE， 所以DO⊥平面ABCE. 又DO⊂平面ADE，所以平面ADE⊥平面ABCE. 在△ABE中，AE＝BE＝2，AB＝2， 所以AE2＋BE2＝AB2，所以BE⊥AE. 因为平面ADE∩平面ABCE＝AE，BE⊂平面ABCE，所以BE⊥平面ADE. （2）存在.过E作DO的平行线l，以E为原点，EA，EB，l分别为x轴、y轴、z轴，建立如图④所示的空间直角坐标系，则E（0，0，0），D（1，0，1），C（－1，1，0），A（2，0，0），B（0，2，0），平面ADE的一个法向量为n1＝（0，1，0）， 假设存在点H符合题意，设＝t（0≤t≤1）， 则＝t（－2，2，0）＝（－2t，2t，0）， 则＝－＝（－3，1，0）－（－2t，2t，0）＝（2t－3，1－2t，0），＝（－2，1，－1）. 设平面DHC的法向量为n2＝（x，y，z）， 则n2·＝0，n2·＝0， 即令y＝2t－3，则x＝2t－1，z＝－2t－1，所以n2＝（2t－1，2t－3，－2t－1）. 由已知cos ＝＝ ＝， 解得t＝或t＝－（舍去）， 所以存在点H符合题意，此时＝， 即H为AB的中点. 19.解：（1）证明：因为p·a＝a1（a2b3－a3b2）＋a2（a3b1－a1b3）＋a3（a1b2－a2b1）＝a1a2b3－a1a3b2＋a2a3b1－a2a1b3＋a3a1b2－a3a2b1＝0， 所以p⊥a，即p⊥， 因为p·b＝b1（a2b3－a3b2）＋b2（a3b1－a1b3）＋b3（a1b2－a2b1）＝b1a2b3－b1a3b2＋b2a3b1－b2a1b3＋b3a1b2－b3a2b1＝0， 所以p⊥b，即p⊥， 又因为OA∩OB＝O， 所以向量p为平面OAB的法向量. （2）cos∠AOB＝＝＝， 则sin∠AOB＝， 故S四边形OADB＝2S△AOB＝｜a｜｜b｜sin∠AOB＝3×3×＝6， 由a＝（1，－1，），b＝（0，－3，0），得a×b＝（3，0，－3）， 所以｜a×b｜＝＝6， 所以S四边形OADB＝｜a×b｜. （3）设点C到平面OAB的距离为h，与平面OAB所成的角为α， 则V＝S四边形OADB·h＝｜a×b｜｜c｜sin α， 由（1）得向量p为平面OAB的法向量， 则｜cos＜a×b，c＞｜＝sin α， 又｜（a×b）·c｜＝｜a×b｜｜c｜cos＜a×b，c＞， 所以V＝｜（a×b）·c｜. 学科网（北京）股份有限公司 $$