7.3.2 组合数的性质及应用 课件-2025届高三数学一轮复习

第2课时　组合数的性质及应用 第7章　 7.3　组合 1.掌握组合数公式和组合数的性质. 2.能运用组合数的性质进行计算. 3.会用组合数公式解决一些简单的组合问题. 学习目标 对一次学校运动会中的两个特定项目：趣味投羽毛球、3 000米长跑，某班级50位同学必须参加其中一个项目且仅参加一个项目(每一位同学可以在两个项目中任选一个，要求17人参加3 000米跑，其余人参加投羽毛球项目)，假设你是班级体育委员，你能算出所有可能的报名情况吗？ 导语 随堂练习 对点练习 一、组合数的性质1 二、组合数的性质2 三、有限制条件的组合问题 内容索引 4 一、组合数的性质1 问题1　假如我们年级将在月底进行一场篮球比赛.包括体育委员在内，班上篮球运动员有8人，按照篮球比赛规则，比赛时一个球队的上场队员是5人.我们可以形成多少种队员上场方案？我们又可以形成多少种队员不上场方案？这两种方案有什么关系？ 知识梳理 注意点： (1)体现了“取法”与“剩法”是一一对应的思想. (2)两边下标相同，上标之和等于下标. 2 022 A.4 B.5 C.6 D.7 √ √ 解析　由题意得，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或n＝7. A.1 B.10 C.11 D.55 √ 得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18， 解得n＝2或n＝8(舍去)， 28 二、组合数的性质2 知识梳理 注意点： (1)下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与大的相同的一个组合数. (2)体现了“含”与“不含”的分类思想. A.1 B.m C.m＋1 D.0 √ √ … A.12 B.13 C.14 D.15 √ √ 三、有限制条件的组合问题 例3　男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名，选派5人外出比赛，在下列情形中各有多少种选派方法？ (1)男运动员3名，女运动员2名； (2)至少有1名女运动员； 解　方法一　(直接法)“至少有1名女运动员”包括以下几种情况，1女4男，2女3男，3女2男，4女1男. (3)既要有队长，又要有女运动员. 跟踪训练3　在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初试，学校要从中选出5人参加市级培训.在下列条件下，有多少种不同的选法？ (1)任意选5人； (2)甲、乙、丙三人必须参加； (3)甲、乙、丙三人不能参加； (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加. 1.知识清单： (1)组合数的两个性质及性质的理解. (2)组合数在实际问题中的应用. 2.方法归纳：分类讨论、间接法. 3.常见误区：不注意组合数中m与n的限制条件；计算时不能构造组合数性质. 课堂小结 随堂演练 1 2 3 4 √ 1 2 3 4 2.某研究性学习小组有4名男生和4名女生，一次问卷调查活动需要挑选3名同学参加，其中至少一名女生，则不同的选法种数为 A.120种 B.84种 C.52种 D.48种 √ 1 2 3 4 32 1 2 3 4 4.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案的种数为______. 96 课时对点练 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A.4 B.14 C.4或6 D.14或2 16 √ 解得x＝4或x＝6. 2.从5名志愿者中选派4人在星期六和星期日参加公益活动，每人一天，每天两人，则不同的选派方法共有 A.60种 B.48种 C.30种 D.10种 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.已知直线a，直线b，且a∥b，a上有5个点，b上有4个点，则以这九个点为顶点的三角形个数为 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.在平面直角坐标系xOy上，平行直线x＝n(n＝0,1,2，…，5)与平行直线y＝n(n＝0,1,2，…，5)组成的图形中，矩形共有 A.25个 B.36个 C.100个 D.225个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列等式正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析　A是组合数公式； 两者不相等，故D错误. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其中女生有______人. 2或3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.高二(1)班共有35名同学，其中男生20名，女生15名，今从中选出3名同学参加活动. (1)其中某一女生必须在内，不同的选法有多少种？ 解　从余下的34名学生中选取2名， ∴不同的选法有561种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)其中某一女生不能在内，不同的选法有多少种？ ∴不同的选法有5 984种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)恰有2名女生在内，不同的选法有多少种？ ∴不同的选法有2 100种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (4)至少有2名女生在内，不同的选法有多少种？ ∴不同的选法有2 555种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)至多有2名女生在内，不同的选法有多少种？ ∴不同的选法有6 090种. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任).现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　可以分三类： 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为 A.28 B.49 C.56 D.85 √ 解析　依题意得，满足条件的不同选法的种数为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.某餐厅供应饭菜，每位顾客可以在餐厅提供的菜肴中任选2荤2素共4种不同的品种.现在餐厅准备了5种不同的荤菜，若要保证每位顾客有200种以上不同的选择，则餐厅至少还需准备不同的素菜品种____种(结果用数值表示). 7 解析　设餐厅还需准备x种不同的素菜. 即x(x－1)≥40. 又x≥2，x∈N*，所以x的最小值为7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成______个平行四边形，共有____个交点. 1 260 80 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为 A.120 B.240 C.360 D.720 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某次足球赛，共32支球队参加，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强(每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强)，这16支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠、亚军，此外还要决出第三名、第四名，问这届世界杯总共进行了多少场比赛？ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解　可分为如下几类比赛：(1)小组循环赛：每组有 ＝6(场)，8个小组共有48场； (2)八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据赛制规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场； (3)四分之一淘汰赛：根据赛制规则，8强中每两个队比赛一次，可以决出4强，共有4场； (4)半决赛：根据赛制规则，4强每两个队比赛一场，可以决出参加决赛的两支球队，共有2场； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (5)决赛：两支球队比赛1场确定冠、亚军，4强中的另两支球队比赛1场决出第三、四名，共有2场. 综上，由分类计数原理知，共有48＋8＋4＋2＋2＝64(场)比赛. 谢谢观看 提示　上场的方案有C，不上场的方案有C；C＝C＝56. 组合数的性质1：C＝ . C 例1　(1)计算：C＝________，C·C＝__________. 解析　C＝C＝2 022，C·C＝C·C＝. (2)(多选)若C＝C(n∈N*)，则n等于 解析　由C＝C，得n＝6＋5＝11，C＝C＝C＝11. 跟踪训练1　(1)若C＝C，则C等于 解析　由C＝C， (2)若C＝C，则C＝_____. 故C＝28. 问题2　从问题1中的这8名篮球运动员中选择5人的时候，可以按照体育委员是否入选进行分类：当体育委员入选时，有C种选法；当体育委员未入选时，有C种选法.这与直接选5人参加的选法一样吗？你能得出什么结论？ 提示　一样，C＝C＋C. 组合数的性质2：C＝ . C＋C 例2　(1)已知m≥4，C－C＋C等于 解析　C－C＋C＝C＋C－C＝C－C＝0. (2)C＋C＋C＋C＋…＋C等于 A.C B.C C.C D.C 解析　原式＝C＋C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C＝C. 延伸探究　若将本例(2)中式子换成“C＋C＋C＋…＋C”，则其值为多少？ 解　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C－C ＝C＋C＋…＋C－1 ＝C＋C－1＝C－1. 跟踪训练2　(1)若C－C＝C，则n等于 解析　C＝C＋C＝C，∴n＋1＝7＋8，n＝14. (2)C＋C＋C＋…＋C等于 A.C B.C C.C－1 D.C－1 解析　C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C. 解　第一步：选3名男运动员，有C种选法； 第二步：选2名女运动员，有C种选法，故共有C·C＝120(种)选法. 由分类计数原理知共有C·C＋C·C＋C·C＋C·C＝246(种)选法. 方法二　(间接法)不考虑条件，从10人中任选5人，有C种选法，其中全是男运动员的选法有C种，故“至少有1名女运动员”的选法有C－C＝246(种). 解　当有女队长时，其他人选法任意，共有C种选法；不选女队长时，必选男队长，共有C种选法，其中不含女运动员的选法有C种，故不选女队长时共有C－C种选法.所以既有队长又有女运动员的选法共有C＋C－C＝191(种). 解　从中任取5人是组合问题，共有C＝792(种)不同的选法. 解　甲、乙、丙三人必须参加，则只需从另外9人中选2人，是组合问题，共有C＝36(种)不同的选法. 解　甲、乙、丙三人不能参加，则只需从另外的9人中选5人，共有C＝126(种)不同的选法. 解　甲、乙、丙三人只能有1人参加，可分为两步：先从甲、乙、丙中选1人，有C种选法，再从另外9人中选4人，有C种选法，共有CC＝378(种)不同的选法. 1.C＋C＋C等于 A.C B.C C.C D.C 解析　C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C，故选D. 解析　(间接法)C－C＝52(种). 解析　因为C＝C， 所以C＋C＋C＋…＋C＝(C＋C)＋C＋…＋C ＝(C＋C)＋C＋…＋C＝C＝C. 3.C＋C＋C＋…＋C＝________. C 解析　从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有C·C·C＝96(种). 1.方程C＝C的解集为 解析　由题意知或 解析　从5名志愿者中选派2人参加星期六的公益活动，有C种方法，再从剩下的3人中选派2人参加星期日的公益活动，有C种方法，由分步计数原理可得不同的选派方法共有C·C＝30(种). ＝C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C ＝C＋C＝C. 3.C＋C＋C＋C＋C＋C等于 A.C B.C C.C D.A 解析　因为C＋C＝C， 所以C＋C＋C＋C＋C＋C ＝C＋C＋C＋C＋C＋C 解析　可以分为两类：a上取两点，b上取一点，则可构成三角形个数为CC；a上取一点，b上取两点，则可构成三角形个数为CC，利用分类计数原理可得以这九个点为顶点的三角形个数为CC＋CC. A.CC＋CC B.(C＋C)(C＋C) C.C－9 D.C－C 解析　在垂直于x轴的6条直线中任取2条，在垂直于y轴的6条直线中任取2条，四条直线相交得出一个矩形，所以矩形总数为C×C＝15×15＝225. A.C＝ B.C＝C C.C＝C＋C D.nC＝mC B，C是组合数性质；C＝，C＝＝C， 解析　C＋C＋C＝C＋C＝C＝C＝＝126. 7.计算C＋C＋C的值为____. 解析　设男生有n人，则女生有(8－n)人，由题意可得CC＝30，n∈N*，解得n＝5或n＝6，代入验证，可知女生有2或3人. 有C＝561(种). 解　从34名可选学生中选取3名，有C种. 或者C－C＝C＝5 984(种). 解　从20名男生中选取1名，从15名女生中选取2名，有CC＝ 2 100(种). 解　选取2名女生有CC种， 选取3名女生有C种，共有选取方式N＝CC＋C＝2 100＋455＝2 555(种). 解　选取3名的总数有C，∴选取方式共有N＝C－C＝6 545－455＝6 090(种). 第一类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事英语翻译工作，有CC种选法； 第二类，两项工作都能胜任的青年被选中且从事德语翻译工作，有CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年未被选中，有CC种选法. 根据分类计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法. CC＋CC＝49(种). 12.化简C＋2C＋C等于 A.C B.C C.C D.C 解析　由组合数性质知，C＋2C＋C＝(C＋C)＋(C＋C)＝C＋C＝C. 由题意，得C·C≥200，从而有C≥20， 解析　第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有CC＝1 260(个).第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有CC＝80(个). 解析　先选出3个球有C＝120(种)方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种.这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240(种)方法. C $$