7.3.1组合与组合数公式 课件-2025届高三数学一轮复习

第1课时 组合与组合数公式 第7章 7.3 组合 一、组合的概念 (1)填报高考志愿时,小张同学要在3所大学中选择2所,分别作为自己的第一志愿和第二志愿,小张共有多少种不同的选择方式? (2)填报高考志愿时,小张同学要在3所大学中选择2所作为自己努力的目标,小张共有多少种不同的选择方式? 问题1 以上两个问题都是排列吗? 提示 (1)是排列,(2)不是排列. 问题2 (1)与(2)有何不同特点? 提示 (1)中选取的两个志愿是有序的,(2)中选取的两个志愿是无序的. 知识梳理 组合的概念 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 注意点: 排列与组合的区别与联系 (1)共同点:两者都是从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象. (2)不同点:排列与对象的顺序有关,组合与对象的顺序无关. (3)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同. 并成一组 例1 判断下列问题是组合问题还是排列问题: (1)a,b,c,d四支足球队之间进行单循环比赛,共需比赛多少场? 解 单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛,没有顺序,是组合问题. (2)a,b,c,d四支足球队争夺冠、亚军,有多少种不同的结果? 解 冠、亚军是有顺序的,是排列问题. (3)从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、团支部书记三个职务,有多少种不同的选法? 解 3人分别担任三个不同职务,有顺序,是排列问题. (4)从全班40人中选出3人参加某项活动,有多少种不同的选法? 解 3人参加某项活动,没有顺序,是组合问题. 跟踪训练1 从5个不同元素a,b,c,d,e中取出2个,共有多少种不同的组合?请写出所有组合. 解 先将元素按照一定顺序排好,然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个写出来,如图所示. 由此可得所有的组合:ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de,共有10种. 二、组合数及组合数公式 知识梳理 组合数定义及表示 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的 ,叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数,用符号_ 表示 组合数 公式 乘积形式 阶乘形式 所有组合的个数 角度1 利用组合数化简、求值 例2 求值: ∵n∈N*,∴n=10, 角度2 利用组合数证明 =210-210=0. 三、简单的组合问题 例4 现有10名教师,其中男教师6名,女教师4名. (1)现要从中选2名去参加会议有多少种不同的选法? 解 从10名教师中选2名去参加会议的选法种数,就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数, (2)选出2名男教师或2名女教师参加会议,有多少种不同的选法? 解 可把问题分两类情况: 根据分类计数原理, (3)现要从中选出男、女教师各2名去参加会议,有多少种不同的选法? 延伸探究 本例其他条件不变,问题变为从中选2名教师参加会议,至少有1名男教师的选法是多少?最多有1名男教师的选法又是多少? 跟踪训练3 一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问: (1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? (2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情? 解 教练员可以分两步完成这件事情: 随堂练习 1.(多选)下面四组元素,是相同组合的是 A.a,b,c—b,c,a B.a,b,c—a,c,b C.a,c,d—d,a,c D.a,b,c—a,b,d 1 2 3 4 √ √ √ 1 2 3 4 A.9 B.8 C.7 D.6 √ ∴n(n-1)=56,即n=8(负舍). 1 2 3 4 3.(多选)给出下列问题,其中是组合问题的是 A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查, 有多少种不同的选法 B.有4张相同的电影票,要在7人中选出4人去观看,有多少种不同的选法 C.某人射击8枪,击中4枪,且命中的4枪均为2枪连中,则不同的结果 有多少种 D.高中部10个班进行足球单循环赛,需要进行多少场比赛 √ √ √ 解析 A与顺序有关,是排列问题,BCD均与顺序无关,是组合问题. 27 1 2 3 4 4.五个点中任何三点都不共线,则这五个点可以连成_条线段;如果是有向线段,共有_条. 10 20 对点练习 基础巩固 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1.(多选)以下四个问题,属于组合问题的是 A.从3个不同的小球中,取出2个排成一列 B.老师从全班40名同学中选出8人成立一个学习小组 C.在电视节目中,主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车分别往返甲、乙两地 16 解析 老师从40名学生中选出8人成立学习小组与顺序无关.主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星,与顺序无关,是组合问题. √ √ A.8 B.5或6 C.3或4 D.4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 由n∈N*,且n≥3,解得n=8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 4.某新农村社区共包括8个自然村,且这些村庄分布零散,没有任何三个村庄在一条直线上,现要在该社区内建“村村通”工程,则共需建公路的条数为 A.4 B.8 C.28 D.64 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 5.已知平面内A,B,C,D这4个点中任何3点不共线,则由其中每3点为顶点的所有三角形的个数为 A.3 B.4 C.12 D.24 解析 由于与顺序无关,所以是组合问题,共有4个: ABC, ABD, ACD, BCD. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 6.(多选)下列选项正确的是 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解析 A显然成立; 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 7.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手_次. 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 8.若已知集合P={1,2,3,4},则集合P的子集中含有2个元素的子集数_. 6 解析 由于集合中的元素具有无序性,因此含2个元素的子集个数与元素顺序无关,是组合问题, 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 解 根据组合数公式可将原方程化为 即60-10(6-m)=(7-m)(6-m), 整理得m2-23m+42=0, 解得m=2或m=21. 又0≤m≤5,m∈N*,所以m=2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.有8名男生和5名女生,从中任选6人. (1)有多少种不同的选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)其中有3名女生,有多少种不同的选法? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (3)其中至多有3名女生,有多少种不同的选法? 综合运用 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.已知圆上有9个点,每两点连一线段,若任意两条线的交点不同,则所有线段在圆内的交点有 A.36个 B.72个 C.63个 D.126个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 12.从8名女生和4名男生中,抽取3名学生参加某档电视节目,若按性别比例分层抽样,则不同的抽取方法数为 A.224 B.112 C.56 D.28 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.身高各不相同的7名同学排成一排照相,要求正中间的同学最高,左右两边分别顺次一个比一个低,则这样的排法种数是 A.5 040 B.36 C.18 D.20 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.从2,3,5,7四个数中任取两个不同的数相乘,有m个不同的积,任取两个不同的数相除,有n个不同的商,则m∶n=_. 1∶2 拓广探究 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有_条. 126 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.某次足球比赛共12支球队参加,分三个阶段进行. (1)小组赛:经抽签分成甲、乙两组,每组6队进行单循环比赛,以积分及净胜球数取前两名; (2)半决赛:甲组第一名与乙组第二名,乙组第一名与甲组第二名作主客场交叉淘汰赛(每两队主客场各赛一场)决出胜者; (3)决赛:两个胜队参加决赛一场,决出胜负. 问:全部赛程共需比赛多少场? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 (2)半决赛中甲组第一名与乙组第二名(乙组第一名与甲组第二名)主客场各赛一次, 所以半决赛共要比赛2 2=4(场). (3)决赛只需比赛1场,即可决出胜负. 所以全部赛程共需比赛30+4+1=35(场). 谢谢观看 问题3 组合数C与排列数A有什么关系?你能求出C吗? 提示 求从4个不同元素中取出3个元素的排列数A,可以分如下两步:①考虑从4个不同元素中取出3个元素的组合,共有C个; ②对每一个组合的3个不同元素进行全排列,各有A种方法.由分步计数原理得,A=C A,所以C=. C C==_ C=_ 注意点: (1)C=1. (2)C==_常用于计算. (3)C=常用于证明. (1)3C-2C; 解 3C-2C=3 -2 =148. (2)C+C. 解 ∵∴9.5≤n≤10.5. ∴C+C=C+C=+=466. 例3 证明:C=C. 证明 右边=C= ==C=左边.所以原式成立. 跟踪训练2 (1)计算:C-C A; 解 原式=C-A=-7 6 5 (2)证明:mC=nC. 证明 mC=m = =n =nC. 即C==45(种). 第1类,选出的2名是男教师有C种方法; 第2类,选出的2名是女教师有C种方法. 共有C+C=15+6=21(种)不同选法. 解 从6名男教师中选2名的选法有C种,从4名女教师中选2名的选法有C种,根据分步计数原理,共有不同的选法C C=15 6=90(种). 解 至少有1名男教师可分两类:1男1女有CC种,2男0女有C种. 由分类计数原理知有CC+C=39(种). 最多有1名男教师包括两类:1男1女有CC种,0男2女有C种. 由分类计数原理知有CC+C=30(种). 解 由于上场学员没有角色差异,所以可以形成的学员上场方案种数为C=12 376. 第1步,从17名学员中选出11人组成上场小组,共有C种选法; 第2步,从选出的11人中选出1名守门员,共有C种选法. 所以教练员做这件事情的方式种数为C C=136 136. 2.若C=28,则n的值为 解析 ∵C==28, 解析 从五个点中任取两个点恰好连成一条线段,这两个点没有顺序,所以是组合问题,连成的线段共有C=10(条) .再考虑有向线段的问题,这时两个点的先后排列次序不同则对应不同的有向线段,所以是排列问题,排列数是A=20.所以有向线段共有20条. 2.若A=12C,则n等于 解析 A=n(n-1)(n-2),C=n(n-1), 所以n(n-1)(n-2)=12 n(n-1). A.A种 B.C种 C.CA种 D.30种 解析 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C. 解析 由于“村村通”公路的修建,是组合问题,故共需要建C===28(条)公路. A.C= B.A=mA C.C C= D.C=C 对于B选项,A=n(n-1)(n-2)…(n-m+1), A=(n-1)(n-2)…(n-m+1), 所以A=nA,故B不成立; 对于C选项,C C===,故C成立; 对于D选项,C===C,故D成立. 解析 每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C=15(次). 共有C===6(个). 9.已知-=,求C的值. -=, 故C=C==28. 解 没有任何限制条件,相当于是从13个不同元素中取6个不同元素的组合,故共有C=1 716(种)不同的选法. 第二步,选出3名男生,有C种选法. 解 分两步:第一步,选出3名女生,有C种选法; 根据分步计数原理,共有CC=560(种)不同的选法. 解 分四类:第一类,没有女生,有C种选法; 第三类,有2名女生,有CC种选法; 第二类,有1名女生,有CC种选法; 第四类,有3名女生,有CC种选法. 由分类计数原理得,不同的选法共有C+CC+CC+CC=1 568(种). 解析 此题可化归为圆上9个点可组成多少个四边形,所有四边形的对角线交点个数即为所求,所以交点为C=126(个). 解析 由分层抽样知,应从8名女生中抽取2名,从4名男生中抽取1名,所以抽取2名女生和1名男生的方法数为CC= =112. 解析 最高的同学站中间,从余下6人中选3人在一侧只有一种站法,另3人在另一侧也只有一种站法,所以排法有C=20(种). 解析 ∵m=C,n=A,∴m∶n=1∶2. 解析 要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走.因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段.设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有CC=126(种)走法,故从A地到B地的最短路线共有126条. 解 (1)小组赛中每组6队进行单循环比赛,就是6支球队的任两支球队都要比赛一次,所需比赛的场次即为从6个元素中任取2个元素的组合数,所以小组赛共要比赛2C=30(场). $$