3.3 幂函数 知识点总结与例题讲解讲义-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

幂函数知识点总结与例题讲解 本节主要知识点 （1）幂函数的概念. （2）幂函数的图象与性质. （3）一般幂函数的图象和性质. 知识点一 幂函数的概念 一般地,函数叫做幂函数,其中是自变量,是常数. 幂函数的特征: （1）的系数是1; （2）的底数是单个的自变量; （3）的指数为常数. 判断幂函数的方法 看形式,明特征 判断一个函数是否为幂函数,先看是否具有（是常数）的形式,再看是否满足幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可. 知识点二 幂函数的图象和性质 五个具体的幂函数:,在同一平面直角坐标系中画出它们的图象如下. 由五个具体幂函数的图象可知: （1）所有幂函数在上都有意义. （2）幂函数的图象必经过点. （3）幂函数的图象不会经过第四象限. （4）当时,幂函数的图象还经过原点,且幂函数在上为增函数;当时,幂函数在上为减函数. （5）在第一象限内,直线右侧部分的图象,由下向上幂函数的幂指数越来越大,可简记为“指大图高”. 五个幂函数在第一象限的图象大致情况可以归纳为“正抛负双,大竖小横”,即对于,当且时,其图象在第一象限内是抛物线型（当时,其图象是竖直抛物线型;当时,其图象是横卧抛物线型）;当时,其图象在第一象限内是双曲线型. 幂函数在第一象限内图象的画法 （1）当,其图象可类似画出. （2）当,其图象可类似画出. （3）当时,其图象可类似画出. 五个具体幂函数的性质如下页表（1）所示. 表（1） 五个具体幂函数的性质 幂函数 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 既不是奇函数,也不是偶函数 奇函数 单调性 增函数 在上单调递减 增函数 增函数 在区间和上单调递减 在上单调递增 过定点 图象都过定点 知识点三 一般幂函数的图象和性质 表（2） 一般幂函数的图象和性质 幂指数 图象特征 图象过定点和.在第一象限内,当时,图象下凸;当时,图象上凸. 图象过定点,在第一象限内,图象下凸. 性质 定义域 在上都有定义,定义域与的取值有关 单调性 在上单调递增 在上单调递减 奇偶性 与的取值有关:是偶数,幂函数是偶函数;是奇数,幂函数是奇函数 幂函数的定义域取决于,具体见下页表（3）. 表（3） 幂函数的定义域 的分类 幂函数的定义域 N+ R ≤0,Z （互质, N+,） 是偶数 是奇数 R 是偶数 是奇数 注 我们可以这样理解幂函数的定义域,就是把化为的形式,把化为的形式. 幂函数的奇偶性的判断见下表（4）. 表（4） 幂函数奇偶性的判断方法 的分类 幂函数的奇偶性 N 是偶数 偶函数 是奇数 奇函数 （互质, Z） 是奇数 是奇数 奇函数 是偶数 偶函数 是偶数 既不是奇函数,也不是偶函数 注 当是偶数时,幂函数（互质, Z）的定义域是或,不关于原点对称,因此幂函数既不是奇函数,也不是偶函数. 幂指数对幂函数图象的影响 当时,,其图象是一条不包含点的直线. 当时,幂函数的图象是一条经过原点的直线. 当且时,幂函数的图象如下表（5）. 表（5） 幂函数的图象 都是奇数 为奇数,为偶数 为偶数,为奇数 补充知识点 上凸函数和下凸函数 设函数在区间上有定义,若对于上任意两个不同的实数,都有≥成立,则称函数在区间上是上凸函数;若都有≤成立,则称函数在区间上是下凸函数.如下图所示. 我们已经知道,对于幂函数,当时,在第一象限是上凸函数;当或时,在第一象限是下凸函数. 例题讲解 例1. 已知幂函数,当时,随的增大而减小,求此时幂函数的解析式. 分析 本题考查幂函数的概念和性质. （1）判断一个函数是否为幂函数,要“看形式,明特征”:先看函数是否具有（为常数）的形式,再看函数是否具有幂函数的三个特征,这三个特征缺一不可. （2）幂函数在上都有定义:当时,幂函数都在上单调递增;当时,幂函数都在上单调递减. 解:∵函数是幂函数 ∴,解之得: ∵当时,随的增大而减小 ∴,解之得: ∴ ∴此时幂函数的解析式为. 例2. 已知幂函数,求此幂函数的解析式,并求出其定义域. 分析 本题考查幂函数的概念和定义域的确定. 对于幂函数（为常数）,其定义域取决于,如果给出的幂函数是（互质, Z）的形式,可先把幂函数化为根式的形式,再确定其定义域. 解:∵函数是幂函数 ∴,解之得: 当时,幂函数的解析式为,其定义域为; 当时,幂函数的解析式为,其定义域为. 综上所述,幂函数的解析式为或,它们的定义域都是. 例3.（多选）已知函数的图象经过点,则下列命题正确的有【 】 （A）函数为增函数 （B）函数为偶函数 （C）若,则 （D）若,则 分析 本题考查求幂函数的解析式（概念）、幂函数的图象和性质以及幂函数的凸性（上凸函数还是下凸函数）. 设函数在区间上有定义,若对于上任意两个不同的实数,都有≥成立,则称函数在区间上是上凸函数;若都有≤成立,则称函数在区间上是下凸函数.如下图所示. 对于幂函数,当时,在第一象限是上凸函数;当或时,在第一象限是下凸函数. 解:对于（A）,∵函数的图象经过点 ∴,求得 ∴此幂函数的解析式为（即）,其定义域为,且在上为增函数.故（A）正确. 对于（B）,因为该函数的定义域并不关于原点对称,所以既不是奇函数,也不是偶函数.故（B）错误. 对于（C）,因为该函数在上为增函数,且经过点,所以当,则.故（C）正确. 对于（D）,对于幂函数,当时,在第一象限是上凸函数,所以若,则有.故（D）正确. 综上,答案为【ACD】. 例4. 已知函数是幂函数,且在上是减函数. （1）求实数的值; （2）请在图中画出的草图; （3）若,求实数的取值范围. 分析 本题考查幂函数的概念、幂函数图象的画法以及利用幂函数的图象和性质求解不抽象等式. 幂函数在第一象限内图象的画法 （1）当,其图象可类似画出. （2）当,其图象可类似画出. （3）当时,其图象可类似画出. 最后,结合幂函数的定义域和奇偶性,画出整个定义域上幂函数的图象. 解:（1）∵函数是幂函数 ∴,解之得: ∵该幂函数在上是减函数 ∴; （2）有（1）可知,,其定义域为,是偶函数,图象关于原点对称,且在第一象限是减函数,所以其图象的草图如图所示; （3）由（2）可知:函数是偶函数,且在上是减函数 ∴ ∵ ∴ ∴,原不等式同解于 ∴,解之得: ∵ ∴且 ∴实数的取值范围是. 注意 在利用函数的奇偶性和单调性解决问题时,不能忽视函数的定义域. 例5. 若,则实数的取值范围是__________. 分析 本题考查幂函数的单调性,一定要注意函数的定义域. 解:∵函数在上是增函数, ∴,解之得:≤ ∴实数的取值范围是. 例6. 若,则实数的取值范围是_________. 分析 幂函数的定义域是,是奇函数,图象位于第一、三象限,关于原点对称,在上是减函数. 对于幂函数,其图象上横坐标是和的点可能在同一象限,也可能在不同的象限,应注意分类讨论. 解:∵函数在和上单调递减, ∴或或 解之得:无解或或 ∴实数的取值范围是. 例7. 若关于的不等式的解集是,则实数的值为【 】 （A） （B） （C）1 （D） 分析 本题主要考查幂函数的图象和数形结合思想. 幂函数的定义域为,且在上 是增函数. 解:由题意在同一平面直角坐标系中画出函数 和函数的大致图象如图所示. 显然,函数的图象经过点,所以. ∴选择答案【 D 】. 例8. 已知函数既是二次函数又是幂函数,函数是R上的奇函数,函数,则 【 】 （A）0 （B）2018 （C）4036 （D）4037 分析 本题考查了幂函数的概念、奇函数的性质,注意发现求值式子的规律:求值式子中共出现了2018对互为相反数的自变量的值,故考虑计算的结果,以期找到解决问题的突破口. 解:∵函数既是二次函数又是幂函数 ∴,为R上的偶函数, ∵函数是R上的奇函数 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴选择答案【 D 】. 例9. 已知幂函数在上单调递减. （1）求出的值并写出的解析式; （2）试判断是否存在,使得函数在上的值域为.若存在,求出实数的值;若不存在,请说明理由. 解:（1）∵函数是幂函数 ∴,解之得: ∵该幂函数在上单调递减 ∴,解之得: ∴; （2）由（1）可知: ①当,即时,函数为R上的增函数 ∵函数在上的值域为 ∴,即,解之得:; ②当,即时,函数,不符合题意; ③当,即时,函数为R上的减函数 ∵函数在上的值域为 ∴,即,解之得:无解. 综上所述,存在实数,使得函数在上的值域为. 例10. 已知函数（R）,试比较与的大小. 分析 本题考查函数图象的对称变换、平移以及幂函数的单调性. 解:. 先将函数的图象作关于轴作对称变换,得到函数的图象,再将函数的图象向右平移1个单位长度,得到函数的图象,最后将函数的图象向上（≥0）或向下（）平移个单位长度,即可得到函数的图象,如下图所示. 由函数图象可知,函数的图象关于直线对称 ∴ ∵函数在上单调递减 ∴ ∴. 对应练习 求函数的单调区间,并比较与的大小. 例11. 证明: （1）若,则; （2）若,则≤. 证明:（1）∵ ∴; （2）∵ ∴ ∴ 显然,≤0,当且仅当时取等号 ∴≤0 ∴≤. 例12. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值,并写出函数的解析式; （2）设函数,若不等式≥0对任意的恒成立,求实数的取值范围. 解:（1）∵函数 ∴,解之得: ∵该幂函数在上单调递增 ∴,解之得: ∴,函数的解析式为; （2）由（1）可知: 设,则在和上为增函数 ∵,∴ ∵不等式≥0对任意的恒成立 ∴≥0对任意的恒成立,即≤恒成立 只需≤,即可. ∵,∴≥,当且仅当,即时成立 ∴ ∴≤4,即实数的取值范围是. 第13页 学科网（北京）股份有限公司 $$