专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（湘教版2024）

专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 1．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 2．下列各数：中，有理数有 个． 3．下列各数有几个有效数字，分别是什么？ （1） ；(2)万；（3）； （4） 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；是无限不循环小数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（    ） A． B． C． D． 2．把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 3．把下列各数填在相应的集合中： 8，，，，0，，，，． 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负有理数集合{ …}． 【经典例题三 0的意义】 【例3】下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 2．下列对“0”的说法中，正确的是 （填序号） （1）0既不是正数，也不是负数；（2）0是最小的整数；（3）0是有理数；（4）0是非负数 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】在-1，0，1，3.7，，中，非负数有（  ）个. A．2 B．3 C．4 D．1 1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 2．有理数中，非负整数有 个． 3．请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】下列四个数轴的画法中，规范的是(    ) A． B． C． D． 1．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   2．数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 3．画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴上个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A． B． C． D． 1．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数-2018的点与圆周上表示数字（    ）的点重合． A．50 B．1 C．2 D．3 2．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为 ． 3．(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】、为有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把、、、按照从小到大的顺序排序正确的是  （    ） A． B． C． D． 1．已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列代数式的值最大的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．|a+b| D．|a﹣b| 2．有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a,b,-a,|b|的大小关系是 . 3．画出数轴，将下列各数表示在数轴上，并把它们按从大到小的顺序用“＞”连接起来．，0，|﹣1.5|，﹣（﹣3），﹣2． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 2．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 3．如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 2．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    3．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 3．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 1．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 1．一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 2．甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 3．一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 1．在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 2．在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．已知数轴上的点A到原点的距离是3，那么在数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有（　　）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 4．点和原点O在数轴上的位置如图所示，点对应的有理数为（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点O 5．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 6．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是 ． 7．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ． 8．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 9．，且都是集合的子集，若把叫做集合的“长度”，则集合的长度的最小值是 ． 10．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 11．把，，，，，，填在相应的大括号内． 正数集合：｛__________…｝；    整数集合：｛__________…｝； 非负数集合：｛__________…｝；    负分数集合：｛__________…｝； 12．如图，在数轴上表示出下列各数：﹣3.1，+2，0，3，并用“＜”把这些数连接起来． 13．下列各数填入它所在的数集中：，，3.1416，0，2001，，，95%，π． 正数集：{                    …}； 整数集：{                    …}； 自然数集：{                   …}； 分数集：{                    …}． 14．如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 15．如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 有理数和数轴重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数的概念 题型二 有理数的分类 题型三 0的意义 题型四 带“非”字的有理数 题型五 数轴的三要素及其画法 题型六 用数轴上的点表示有理数 题型七 利用数轴比较有理数的大小 题型八 数轴上两点之间的距离 题型九 数轴上点的覆盖问题 题型十 数轴上的动点问题 题型十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负 题型十二 用数轴解决实际问题 知识点1：有理数的相关概念 1）整数：正整数、、负整数统称为整数。 2）分数：正分数、负分数统称为分数。 正分数：像，0.24，等这样的数叫作正分数； 负分数：像，－3.56等这样的数叫作负分数； 有限小数和无限循环小数可以化为分数，所以它们也是分数。 3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数，即有理数都可以表示为（p、q均为整数，且p不为0）。 正有理数：可以写成正分数的形式的数为正有理数； 负有理数：可以写成负分数的形式的数为负有理数； 整数和分数统称为有理数。 4） 有理数的两种分类： 知识点2：数轴 1） 数轴定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 原点、正方向和单位长度是数轴的三要素． 原点将数轴分为两部分，其中正方向一侧的部分叫数轴的正半轴，另一侧的部分叫数轴的负半轴。 2）数轴的画法 ①画一条水平的直线（一般画水平的数轴）； ②在这条直线上适当位置取一实心点作为原点； ③确定向右的方向为正方向，用箭头表示； ④选取适当的长度作单位长度，用细短线画出，并对应标注各数，同时要注意同一数轴的单位长度要一致。 3）有理数与数轴的关系 ①一切有理数都可以用数轴上的点表示出来。 ②数轴上的点并不全是有理数，如也可以在数轴上表示，但并不是有理数。 ③正有理数位于原点的右边，负有理数位于原点的左边。 ④与原点的距离是a（a>0），在数轴上可以是a（存在多解的情况）。 注：要确定在数轴上的具体位置，必须要距离+方向。 【经典例题一 有理数的概念】 【例1】已知都是整数，则和中（    ） A．必定都是整数 B．必定有两个是整数 C．必定有一个是整数 D．可能都不是整数 【答案】C 【分析】本题考查了有理数分类中整数的奇偶性问题，分三种情况讨论：①假设都是偶数或都是奇数，②假设其中有两个是偶数，一个是奇数，③假设有两个奇数，一个偶数，即可得出答案． 【详解】解：假设都是偶数或都是奇数，则和都是偶数，那么和都是整数， 假设其中有两个是偶数，一个是奇数，那么和有一个是整数， 假设有两个奇数，一个偶数，那么和有一个是整数， 综上所述：和必定有一个是整数， 故选：C． 1．下面说法中，不正确的是（   ） A．有最小的正整数 B．没有最小的正有理数 C．没有最大的负整数 D．没有最大的非负数 【答案】C 【分析】自然数是大于等于0的整数，0是最小的自然数A正确；没有最小的正有理数，故B正确；-1是最大的负整数，故C不正确；无最大非负数，D正确． 【详解】解：A、1是最小的正整数，故本选项正确，不符合题意； B、没有最小的正有理数，故本选项正确，不符合题意； C、-1是最大的负整数，所以有最大的负整数，故本选项错误，符合题意； D、没有最大非负数，故本选项正确，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点，属于基础题． 2．下列各数：中，有理数有 个． 【答案】5 【分析】本题考查负有理数的识别，熟练掌握整数和分数统称有理数是解题的关键．根据有理数的定义进行判断即可． 【详解】解：这5个数是有理数． 故答案为：5 3．下列各数有几个有效数字，分别是什么？ （1） ；(2)万；（3）； （4） 【答案】（1）1，0，2，0；（2）1，5，0；（3）1，5，0，0，0；（4）2，3，0 【分析】根据有效数字的定义进行求解即可． 【详解】（1）有4个有效数字，分别为：1，0，2，0； （2）万有3个有效数字，分别为：1，5，0； （3）有5个有效数字，分别为：1，5，0，0，0； （4）有3个有效数字，分别是：2，3，0 【点睛】本题考查了有效数字的问题，掌握有效数字的定义是解题的关键． 【经典例题二 有理数的分类】 【例2】下列各数：，，，，0，，，11，，其中负分数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据负分数的定义逐个判断即可． 【详解】解：是负整数，不是负分数， 是负分数， 是正整数，不是负整数， 是正分数数，不是负分数， 0不是分数， ，是负分数， ，是负分数， 不是负分数， 所以负分数有3个． 故选：C． 【点睛】本题考查了有理数，注意：整数和分数统称有理数，整数包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数． 1．下列说法中：是最小的整数；有理数不是正数就是负数；非负数就是正数；是无限不循环小数；正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中错误的说法为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据有理数的定义、分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：没有最小的整数，故错误， 0既不是正数也不是负数，但是有理数，故错误， 非负数是正数和，故错误， 是无限循环小数，故错误， 正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，故正确， 综上可知，错误的说法为， 故选：． 【点睛】此题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 2．把下列各数填在相应的横线上：0，1，，8.9，，，，1008，，28，，，3.010010001． 正分数 ；非负数 ． 【答案】 8.9，，3.010010001 0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001 【分析】本题考查了有理数的分类，正分数和非负数的概念，逐个判断即可得到答案，熟练掌握正分数和非负数的概念是解此题的关键． 【详解】解：正分数有：8.9，，3.010010001； 非负数有：0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001； 故答案为：8.9，，3.010010001；0，1，8.9，，1008，28，，3.010010001． 3．把下列各数填在相应的集合中： 8，，，，0，，，，． 正数集合{ …}； 负数集合{ …}； 整数集合{ …}； 分数集合{ …}； 非负有理数集合{ …}． 【答案】8，，，，；，，；8，， 0，；，， ，， ；8，，0，，，； 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的定义直接逐个分类即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 正数集合{8，，，， }； 负数集合{，，}； 整数集合{8，， 0， }； 分数集合{ ，， ，， }； 非负有理数集合{8，，0，，，}． 【经典例题三 0的意义】 【例3】下面关于“0”的叙述，正确的有(　　) ①0是正数与负数的分界；②0比任何正数都小；③0只表示没有；④0还常用来表示某种量的基准． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据0不是正数也不是负数，是自然数，是整数，是有理数的知识点找到正确选项即可． 【详解】①0是正数与负数的分界，正确； ②0比任何正数都小，正确； ③在有理数中，0的意义不仅表示没有，在进行运算时，0还有表示占位的意义，0还表示正整数与负整数的分界等，故错误； ④0还常用来表示某种量的基准，正确． 正确的有3个． 故选C． 【点睛】本题考查了0的意义；掌握0的相关知识点是解决本题的关键． 1．下列说法：①零是正数；②零是整数；③零是最小的有理数；④零是最小的自然数；⑤零是最大的负数；⑥零是非负数；⑦零是偶数；其中正确的说法的个数为(   ). A．4 B．3 C．5 D．6 【答案】A 【分析】用有理数的概念对各个小项进行判断即可. 【详解】解：：①零不是正数，故该说法错误； ②零是整数，故该说法正确； ③没有最小的有理数，故该说法错误； ④零是最小的自然数，该说法正确； ⑤零不是负数，故该说法错误； ⑥零是非负数，该说法正确； ⑦零是偶数，该说法正确； 故说法正确的个数有：4个 故选A 【点睛】本题考查了对零的认识，熟悉有理数的各种概念是解题的关键. 2．下列对“0”的说法中，正确的是 （填序号） （1）0既不是正数，也不是负数；（2）0是最小的整数；（3）0是有理数；（4）0是非负数 【答案】（1）（3）（4） 【分析】根据有理数的分类，有理数的概念，即可得到答案． 【详解】∵0既不是正数，也不是负数， ∴（1）正确； ∵没有最小的整数； ∴（2）错误； ∵0是整数，也是有理数， ∴（3）正确； ∵0是非负数， ∴（4）正确． 故答案是：（1）（3）（4）． 【点睛】本题主要考查有理数的分类以及有理数的概念，理解有理数的概念是解题的关键． 3．请写四句话，说明数“零”（0）的数学特性．（例：0是绝对值最小的数．例句除外） 【答案】见解析 【分析】根据题意可以写出零的数学特性，本题得以解决． 【详解】解：①零既不是正数也不是负数； ②零小于正数，大于负数； ③零不能做分母； ④零是最小的非负数； ⑤零的相反数是零; ⑥任何不为零的数的零次幂为1； ⑦零乘以任何数都是零等． 【点睛】本题考查有理数，解题的关键是明确题意，可以仿照例句写出关于零的别的数学特性． 【经典例题四 带“非”字的有理数】 【例4】在-1，0，1，3.7，，中，非负数有（  ）个. A．2 B．3 C．4 D．1 【答案】C 【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案． 【详解】解：=2；=-3 ∴非负数共有0，1，3.7，共4个 故选C. 【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数． 1．下列说法中：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④整数和分数统称有理数，其中正确的是（　　 ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】D 【分析】根据有理数的分类依此作出判断，即可得出答案． 【详解】解：①、0是最小的整数，说法错误，因为整数有正、负、0之分； ②、一个有理数不是正数就是负数，说法错误，0既不是正数也不是负数； ③、非负数指的是正数和0，说法错误； ④、整数和分数统称有理数，说法正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的分类以及正数负数的有关概念，正确理解有理数的分类是解题的关键． 2．有理数中，非负整数有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查了非负整数的判定，根据非负整数是大于或等于0的整数解题即可． 【详解】解：，， ∴非负整数的有2，，0，8． 一共4个． 故答案为：4． 3．请把下列各数填在相应的集合内： ，，，，，，，，，，，， 正数集合：{ …} 整数集合：{ …} 正分数集合：{ …} 非负整数集合：{ …} 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正数、负数、整数、分数、非负整数的定义进行分类即可． 【详解】解：正数集合：，，，，，； 整数集合：，，，； 正分数集合：，，，； 非负整数集合：，． 【经典例题五 数轴的三要素及其画法】 【例5】下列四个数轴的画法中，规范的是(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴的三要素判断即可． 【详解】解：数轴是规定了原点、正方向、单位长度的直线， 选项A的数轴单位长度不一致，因此选项A不正确； 选项B的数轴无原点，因此选项B不正确； 选项C符合数轴的意义，正确； 选项D的数轴没有正方向，因此选项D不正确； 故选：C． 【点睛】此题主要考查数轴的意义，掌握数轴的三要素是正确判断的前提． 1．关于数轴下列作法最准确的是（    ） A．   B．     C．   D．   【答案】C 【分析】根据数轴必须具备的三个要素：正方向、原点和单位长度逐项进行判断即可． 【详解】解：、数轴应该是一条直线，本选项的数轴左侧应该出头，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴没有正方向，故错误，不符合题意； 、本选项的数轴具备数轴的三要素，正确，符合题意； 、本选项的数轴没有原点，故错误，不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了数轴的定义，熟练掌握数轴的三要素：正方向、原点和单位长度，是解答本题的关键． 2．数轴上，如果表示数a的点在原点的左边，那么a是一个 数；如果表示数b的点在原点的右边，那么b是一个 数． 【答案】 负 正 【分析】根据数轴上点的位置特征判断即可． 【详解】解：数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个负数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个正数， 故答案为：负；正 【点睛】本题考查了数轴，解题的关键是弄清数轴上点的位置特征． 3．画数轴： ①画一条直线（一般水平方向），标出一点为原点，在原点下边标上“O”． ②规定正方向（一般规定从原点向右的方向为正），用箭头表示． ③选择适当的长度为单位长度． 【答案】①见解析；②见解析；③见解析 【详解】解:作图如下： 【经典例题六 用数轴上的点表示有理数】 【例6】如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴上个单位长度是），刻度尺上对应数轴上的数，那么刻度尺上对应数轴上的数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴及有理数在数轴上的表示，根据数轴上点的表示方法，结合刻度尺的摆放方向，在数轴上找出刻度尺上对应的点对应数轴上的数即可，解题的关键是掌握数轴上点的表示方法． 【详解】解：∵刻度尺上对应数轴上的数，且数轴上个单位长度是， ∴刻度尺上到原点的距离为： ， 又∵刻度尺上在原点的左侧， ∴刻度尺上对应数轴上的数为， 故选：． 1．如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的4等分点处分别标上数字0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示数-1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上．则数轴上表示数-2018的点与圆周上表示数字（    ）的点重合． A．50 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】由于圆的周长为4个单位长度，所以只需先求出此圆在数轴上环绕的距离，再用这个距离除以4，如果余数分别是0，1，2，3，则分别与圆周上表示数字0，3，2，1的点重合． 【详解】解：由于圆的周长为4个单位长度，旋转开始数轴上与圆周上表示的数依次重合的是：3，2，1，0， ∵﹣1﹣（﹣2018）＝2017， 2017÷4＝504…1， ∴数轴上表示数﹣2018的点与圆周上表示3的数字重合． 故选：D． 【点睛】考查了数轴和规律问题，本题找到四个一循环的规律是解题的关键． 2．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为 ． 【答案】 【分析】本题考查数轴上的点表示有理数，解题的关键是明确数轴的特点，数轴从原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数． 根据数轴的特点可以解答本题． 【详解】解：在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为． 故答案为： 3．(1)如图，写出数轴上点，，，表示的数；    (2)请你自己画出数轴并表示下列有理数：，． 【答案】(1)，，，表示的数分别是：，，，； (2)见解析． 【分析】（）根据数轴可以直接写出点，，、表示的数； （）画出数轴，在数轴上描出题目中两个数在数轴上对应的点； 此题主要考查了数轴，点在数轴上位置确定，解题的关键是熟练掌握画数轴以及在数轴上表示数，用数轴表示数时要注意画数轴有三个基本要素：原点、正方向、单位长度． 【详解】（1）由数轴可得，点，，，表示的数分别是：，，，； （2）先画出数轴，表示如下图所示：    【经典例题七 利用数轴比较有理数的大小】 【例7】、为有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，把、、、按照从小到大的顺序排序正确的是  （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用有理数大小的比较方法可得：进而求解． 【详解】观察数轴可知：，且的绝对值大于的绝对值 在和两个正数中， 在和两个负数中， 因此， 故答案为：C． 【点睛】本题考查了有理数的大小比较问题，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． 1．已知有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列代数式的值最大的是（　　） A．a+b B．a﹣b C．|a+b| D．|a﹣b| 【答案】D 【分析】根据数轴确定出a是负数，b是正数，并且b的绝对值大于a的绝对值，然后对各选项分析判断，再根据有理数的大小比较，正数大于一切负数，然后利用作差法求出两个正数的大小，再选择答案即可． 【详解】由图可知，a<0，b>0，且|b|>|a|， ∴−a<b， A. a+b>0， B. a−b<0， C. |a+b|>0， D. |a−b|>0， 因为|a−b|>|a+b|=a+b， 所以，代数式的值最大的是|a−b|. 故选D. 【点睛】此题考查有理数的大小比较，数轴，解题关键在于利用绝对值的非负性进行解答. 2．有理数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示,则a,b,-a,|b|的大小关系是 . 【答案】|b|＞a＞−a＞b． 【分析】数轴上右边表示的数总大于左边表示的数．原点左边的数为负数，原点右边的数为正数．所以|b|＞a＞−a＞b． 【详解】解：根据在数轴上右边的数总比左边的数大，故|b|＞a＞−a＞b． 故填：|b|＞a＞−a＞b． 【点睛】由于引进了数轴，我们把数和点对应起来，也就是把“数”和“形”结合起来，二者互相补充，相辅相成，把很多复杂的问题转化为简单的问题，在学习中要注意培养数形结合的数学思想． 3．画出数轴，将下列各数表示在数轴上，并把它们按从大到小的顺序用“＞”连接起来．，0，|﹣1.5|，﹣（﹣3），﹣2． 【答案】数轴表示见解析，-（-3）＞|-1.5|＞0＞−＞-2 【分析】首先把|-1.5|，-（-3）进行化简，再在数轴上表示出各数位置，根据当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大，把所有数用＞连接起来即可． 【详解】解：|-1.5|=1.5，-（-3）=3， 在数轴上表示为： ， -（-3）＞|-1.5|＞0＞−＞-2． 【点睛】此题主要考查了有理数的比较大小，关键是掌握当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 【经典例题八 数轴上两点之间的距离】 【例8】如图，长方形的边在数轴上，为原点，长方形的面积为，边长为，将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分的面积为，则点表示的数为（    ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，分为左移和右移，由重合部分的面积求出重合部分的边长，继而求出点移动的距离，即可得出点表示的数，掌握数轴上两点之间的距离的计算方法是解题的关键． 【详解】解：∵长方形的面积为，边长为， ∴，点对应的数是， ∵移动后的长方形与原长方形 重叠部分的面积为， ∴阴影部分的面积为，，， 如图，当长方形向左平移时， 即， ∴， ∴表示的数为， 如图，当长方形向右平移时， 即， ∴， ∴， ∴， ∴表示的数为， ∴点表示的数为或， 故选：． 1．点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为、1，若，则等于（    ） A．6 B．2 C．3或6 D．2或6 【答案】D 【分析】本题考查了数轴，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，解题的关键是分类讨论． 要求学生分情况讨论，，三点的位置关系，即点在线段内，点在线段外． 【详解】解：此题画图时会出现两种情况，即点在线段内，点在线段外，所以要分两种情况计算． 点、表示的数分别为、1， ． 第一种情况：在线段外， ； 第二种情况：在线段内， ． 故选：D． 2．如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，30，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为6，则C点表示的数是 【答案】5或11 【分析】本题考查了数轴，根据点的位置不同进行分类讨论是解题的关键．分两种情况：当点A落在B点的左侧时和当点A落在B点的右侧时，可求出点A的对应点所表示的数，再利用中点公式即可求解． 【详解】解：设是点的对应点，由题意可知点是和的中点， 当点在的右侧，， 表示的数为， C表示的数为：；， 当点在的左侧，， 表示的数为， C表示的数为：， 故答案：5或11． 3．如图，数轴上有三点A，B，C． (1)将点A向右移动4个单位长度后，A，B，C三个点所表示的数中最小的数是多少？ (2)点B向左移动2个单位长度，点C向左移动8个单位长度，A，B，C三个点所表示的数中最大的数是多少？ (3)怎样移动A，B，C三点中的两点，才能使三个点表示的数相同？有几种移动的方法？ 【答案】(1) (2) (3)见解析，三种 【分析】本题考查了数轴，牢记数轴上点的移动规律：向左移动减，向右移动加是解题关键． （1）根据向右移动加，求出点A表示的数，然后作出判断即可； （2）根据向左移动减，求出点B、C表示的数，然后作出判断即可； （3）根据要使三个点表示的数相同，由向左移动减，向右移动加，在三个点中任取两点，使得三点中的两个点到另外一点，由此写出所有移动的方法即可． 【详解】（1）点A向右移动4个单位长度后，表示的数是0， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最小，是； （2）点B向左移动2个单位长度后，表示的数是，C点向左移动8个单位后，表示的数是， 由A、B、C三点所表示的数可知，此时点B表示的数最大，是； （3）有三种移动方法： ①点A向右移动6个单位长度，点B向右移动3个单位长度； ②点A向右移动3个单位长度，点C向左移动3个单位长度； ③点B向左移动3个单位长度，点C向左移动6个单位长度． 【经典例题九 数轴上点的覆盖问题】 【例9】把长为个单位长度的线段放在单位长度为的数轴上，则线段能盖住的整点有（   ） A．个 B．个 C．或个 D．或个 【答案】D 【分析】根据题意把长为1个单位长度的线段放在单位长度为1的数轴上，可能盖住2个或1个点，以此类推，找出规律即可解答． 【详解】解：个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 个单位长度的线段放在数轴上，两端的放在整数点上，盖住个点，两端不在整数点上，盖住个点； 故答案为：D． 【点睛】此题考查了数轴规律题，解题的关键是根据题意分情况找出规律． 1．数轴上表示整数的点称为整点，某数轴的单位长度为1cm，若在数轴上画出一条长2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点个数是（　　） A．2020 B．2021 C．2020或2021 D．2019或2020 【答案】C 【分析】某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2020cm的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数可能正好是2021个，也可能不是整数，而是有两个半数那就是2020个． 【详解】依题意得： ①当线段AB起点在整点时覆盖2021个数， ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2020个数， 综上所述，盖住的点为：2020或2021． 故选：C． 【点睛】此题考查了数轴，在学习中要注意培养学生数形结合的思想，注意不要遗漏． 2．如图，小芳在写作业时，不慎将墨水滴在数轴上，根据图中的数值，判断墨水盖住部分的整数个数有 个．    【答案】7 【分析】分别得出原点左边、右边盖住的整数，进而得出答案． 【详解】原点左边盖住的整数有，原点右边盖住的数有因此共有7个； 故答案为：7． 【点睛】本题考查数轴表示数的意义，理解数轴上数的特点和规律是关键． 3．定义：数轴上表示整数的点称为整点．在数轴上随意画出一条长为2020的线段． (1)某数轴的单位长度是1，求盖住的整点的个数； (2)若将数轴的单位长度改为2，求盖住的整点的个数． 【答案】(1)2021或2020个 (2)1011或1010个 【分析】本题主要考查了数轴的应用．对于多解问题要注意分类讨论． （1）以线段的端点与数轴上的整点是否重合进行讨论可得结论． （2）先用，得出相当于多少个单位，再进行分类讨论即可得出结论． 【详解】（1）∵数轴的单位长度是1，， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有2019个整点． ∴线段共盖住了2021个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有2020个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为2021或2020个． （2）（个单位）， ∴若点A与一整点重合，则B点也与一整点重合，两点之间有1009个整点． ∴线段共盖住了1011个整点． 若点A不与整点重合，则点B也不与整点重合，两点之间有1010个整点． 综上，线段盖住的整点的个数为1011或1010个． 【经典例题十 数轴上的动点问题】 【例10】如图，已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，在点的运动过程中，，始终为，的中点，设运动时间为秒，则下列结论中正确的有　　 ①对应的数是； ②点到达点时，； ③时，； ④在点的运动过程中，线段的长度会发生变化． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了数轴上两点距离．利用数轴，分类讨论即可求解． 【详解】解：已知，在的左侧是数轴上的两点，点对应的数为，且， 对应的数为：；故①是正确的； ，故②是正确的； 当时，，，故③是错误的； 在点的运动过程中，，故④是错误的； 故选：B． 1．在数轴上，点，在原点的两侧，分别表示数 ，，将点向右平移个单位长度，得到点．若点到、两个点的距离相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了数轴上点的移动，由题意得点表示数为，点表示数为，点表示数为，熟知数轴上两点间的距离公式是解题的关键． 【详解】解：由题意得点表示的数为， ∵点到、两个点的距离相等， ∴， 解得：， 故选：． 2．阅读与思考 如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看出，终点表示的数是．参照图中所给的信息，完成填空： 已知A，B都是数轴上的点．    （1）若点A表示数．将点A向右移动5个单位长度至点．则点表示的数是 ； （2）若点A表示数2，将点A先向左移动7个单位长度，再向右移动个单位长度至点，则点表示的数是 ； （3）若将点B先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，终点表示的数恰好是0，则点B所表示的数是 ． 【答案】 2 / 【分析】本题主要考查了数轴上动点平移问题，解题关键是掌握数轴上点往右移几就加几，往左移几就减几，概括为“右加左减”． （1）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （2）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得点表示的数； （3）根据数轴上的点向右平移加，向左平移减，可得B点表示的数． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴点表示的数是2； （2）解：由题意得：， ∴点表示的数是； （3）解：由题意得：0先向右移动3个单位长度，再向左移动6个单位长度得到点B ∴， ∴点B所表示的数是． 故答案为：2，；． 3．如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒. (1)数轴上点表示的数是________，点表示的数是________（用含的代数式表示）； (2)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发.求： ①当点运动多少秒时，点与点相遇？ ②当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度？ 【答案】(1)， (2)①当点运动秒时，点与点相遇；②当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度 【分析】此题考查数轴上两点间的距离，一元一次方程的应用，根据数轴上的动点情况列方程是解题的关键． （1）根据数轴上两点间的距离公式即可求解； （2）①根据追及问题的等量关系，利用点的运动距离减去点的运动距离，列方程即可；②根据点与点相遇前和相遇后之间的距离为个单位长度，分两种情况列方程即可求解． 【详解】（1）解：点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距离为， 点表示的数是：， 点表示的数是：， 故答案为：，； （2）①根据题意得：， 解得：， 答：当点运动秒时，点与点相遇； ②当点与点相遇前距离为个单位长度， ， 解得：； 当点与点相遇后距离为个单位长度， ， 解得：， 答：当点运动秒或秒时，点与点间的距离为个单位长度． 【经典例题十一 根据点在数轴的位置判断式子的正负】 【例11】实数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴可得，进而根据实数的运算法则即可判断求解，掌握数形结合思想是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，， ∴， ∴错误，正确， 故选：． 1．已知a、b、c三个数的位置如图所示，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴上点对应的数确定代数式的符号，解答本题的关键是熟练掌握有理数的加法法则中对于符号的确定方法．同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数相加得0；任何数与0相加仍得原数． 根据a、b、c三个数的位置，结合有理数的加法法则逐项分析即可． 【详解】解：∵从数轴可知：，， ∴A．， ∴，正确，故本选项不符合题意； B．∵， ∴，正确，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴，错误，故本选项符合题意； D．∵，， ∴，正确，故本选项不符合题意； 故选：C． 2．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 3．有理数a，b在数轴上的位置如图所示． (1)说出a，b的正负性； (2)在数轴上分别用M，N表示两点； (3)若b与表示的数相距20个单位长度，则b与表示的数分别是什么？ (4)在（3）的条件下，若数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度，则a与表示的分别是什么？ 【答案】(1)a为正数，b为负数 (2)见解析 (3)b表示的数是，表示的数是10 (4)a表示的数是5，表示的数是 【分析】本题考查了数轴，相反数，正负数，数轴上两点之间的距离等知识： （1）根据原点右边的数是正数，原点左边的数是负数判断即可； （2）根据相反数的定义表示出即可； （3）根据b与表示的点相距20个单位长度即可求出b、表示的数； （4）根据数a表示的点与数b表示的点相距15个单位长度即可求出a、表示的数． 【详解】（1）由数轴得，数a在原点右边，故数a为正数，数b在原点左边，故数b为负数； （2）如图， ； （3）由题意，得， 解得， ∴， 即b表示的数是，表示的数是10； （4）由题意，得， ∵， ∴， ∴， ∴a表示的数是5，表示的数是． 【经典例题十二 用数轴解决实际问题】 【例12】邮递员骑车从邮局出发，先向西骑行到达A村，继续向西骑行到达B村，然后向东骑行若干千米到达C村，最后回到邮局，已知C村与B村关于邮局对称． (1)以邮局为原点，以向东方向为正方向，一个网格的长度表示1km建立数轴，请在图中的数轴上标出A、B、C三个村庄的位置，并求出C村离A村有多远？ (2)邮递员一共骑行了多少千米？ 【答案】(1)作图见解析，C村离A村有 (2)邮递员一共骑行了20千米； 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的加法，数轴，解题的关键是熟练掌握数轴的实际应用； （1）根据已知条件在数轴表示出三点，再根据两点间的距离公式即可解答； （2）列出加法算式计算即可； 【详解】（1）解：如下图： 答：C村离A村有； （2）解：， 答：邮递员一共骑行了20千米 1．一辆货车从超市出发，向东走了2km，到达小刚家，继续向东走了3km到达小红家，又向西走了19km到达小英家，最后回到超市．请以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km． (1)小英家在超市___________方向．小英家距超市___________千米； (2)小英家距小刚家有___________km． (3)货车一共行驶了多少千米？若每升油能走2km，走完此次行程，货车共用了多少升油？ 【答案】(1)西边；14； (2)16 (3)货车一共行驶了38千米，共用了19升油 【分析】（1）以超市为原点，以向东方向为正方向，用1个单位长度表示1km，依此画出数轴．并在数轴上表示出小刚家、小红家、小英家的位置； （2）小英家距小刚家在数轴上的位置所表示的数的绝对值之和； （3）注意要用绝对值来表示距离，求出路程的和，然后求用的油即可． 【详解】（1）解：根据题意在数轴上表示如下： 小英家在超市西边方向，小英家距离超市14千米， 故答案为：西边；14； （2）小英家距小刚家有km， 故答案为：16； （3）根据题意得： 千米， 升． 货车一共行驶了38千米，货车共用了19升油． 【点睛】题目主要考查有理数在数轴上表示，有理数的加法及绝对值的意义及有理数的除法的应用，理解题意是解题关键． 2．甲乙两队进行拔河比赛，标志物先向甲队方向移动0.5m，后向乙队方向移动了0.8m，相持一会后又向乙队方向移动0.5m，随后向甲队方向移动了1.5m在一片欢呼声中，标志物再向甲队方向移动1.2m．若规定只要标志物向某队方向移动2m，则该队即可获胜，那么现在甲队获胜了吗？用计算说明理由． 【答案】甲没获胜． 【分析】可以把拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向，根据数轴表示数的方法求出标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9，即标志物向甲移了1.9m，由此判断甲没获胜． 【详解】拔河绳看作数轴，标志物开始在原点，甲在正方向，乙在负方向， 标志物最后表示的数=0.5-0.8-0.5+1.5+1.2=1.9， 即标志物向甲移了1.9m＜2m，由此判断甲没获胜． 考点：有理数的加减混合运算． 3．一辆货车从货场出发，向西走了千米到达批发部，继续向西走了千米到达商场，又向东走了千米到达超市，最后回到货场． (1)用一个单位长度表示千米，以东为正方向，货场为原点，画出数轴并在数轴上标明的位置； (2)超市距货场多远？ (3)货车一共行驶了多少千米？ 【答案】(1)作图见详解 (2)千米 (3) 【分析】（1）根据数轴表示有理数的方法即可求解； （2）运用数轴求两点之间的距离的方法即可求解； （3）运用有理数的加减法运算即可求解． 【详解】（1）解：货车从货场出发，用一个单位长度表示千米，以东为正方向， ∴以货场为原点，根据题意，货车行驶到各点的位置如图所示，    （2）解：由（1）中数轴图示可知，超市距货场的距离为千米． （3）解：货车行驶的路程为． 【点睛】本题主要考查有理数加减法在实际中的运用，掌握数轴表示有理数的方法，数轴上求两点之间距离的方法，有理数加减法的运算等知识是解题的关键． 1．在，，，，中是负分数的有（    ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据负分数的定义进行判断即可求解． 【详解】解：在，，，，中是负分数的有：，，一共有两个， 故选：． 【点睛】本题考查了有理数的分类和定义，熟练掌握正数和分数统称为有理数，有理数的分类可以按整数、分数的关系分类，按正数、负数与的关系分类是解答本题的关键． 2．在有理数：-12，71，-2.8，，0，34%，0.67，，中，非负数有（   ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】要做此题，必须弄清正数和负数的定义，理解非负数就是正数和0． 【详解】解：根据正数和负数的定义可知，在这一组数中非负数有71，，0，34%，0.67，，共6个． 故选：B． 【点睛】本题考查了正数和负数的定义，熟练掌握是解题的关键． 3．已知数轴上的点A到原点的距离是3，那么在数轴上到点A的距离是3的点所表示的数有（　　）． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴上的点、数轴上两点间的距离等知识点，掌握数轴上两点间距离的意义成为解题的关键． 根据数轴上两点间距离的意义确定点A的距离是3所表示的数即可解答． 【详解】解：∵数轴上的点A到原点的距离是3， ∴A点表示的数为3或． 又∵与3表示的点距离是3所表示的数有0和6；与表示的点距离是3所表示的数有0和； ∴在数轴上到点A的距离是3所表示的数有，共3个． 故选：B． 4．点和原点O在数轴上的位置如图所示，点对应的有理数为（对应顺序暂不确定）．如果，，，那么表示数b的点为（    ） A．点M B．点N C．点P D．点O 【答案】A 【分析】本题考查数轴，根据，，，即可判断点对应的有理数的顺序，熟练利用不等式判断的大小是解题的关键． 【详解】解：，， 异号，且正数的绝对值比较大， 根据数轴可得，肯定为正数， ， ， 为负数， 故表示数b的点为， 故选：A． 5．如图，正六边形（每条边都相等）在数轴上的位置如图所示，点、对应的数分别为和，现将正六边形绕着顶点顺时针方向在数轴上连续翻转，翻转1次后，点所对应的数为0，连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴，根据题意可得，翻转后数轴上点1，2，3，4，5，6对应的点，根据，根据规律进行判定即可得出答案． 【详解】解：由题意可得：翻转后数轴上点1对应的是， 数轴上点2对应的是， 数轴上点3对应的是， 数轴上点4对应的是， 数轴上点5对应的是， 数轴上点6对应的是， ， 连续翻转后数轴上2025这个数所对应的点是． 故本题选：B． 6．在﹣1、0、1、2这四个数中，既不是正数也不是负数的是 ． 【答案】0 【分析】根据题意，既不是正数，也不是负数的数只有0． 【详解】解：一个数既不是正数，也不是负数，这个数是0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了正数和负数，解决本题需注意既不是正数也不是负数的数只有0． 7．在，，3.14，0，，，、，中，属于非负整数的有 ． 【答案】，0， 【分析】根据有理数的概念，不小于0的整数就是非负整数． 【详解】解：，，，，，， ，是负数，，3.14，0，是非负数，，不是有理数， 故答案为：，0，． 【点睛】此题考查了有理数分类的应用，关键是准确理解非负整数． 8．在数轴上有一段线段，长度为，，该线段在数轴上运动，除原点外，这条线段覆盖的整数点最少为 . 【答案】 【分析】本题考查了数轴，解题的关键是注意数形结合．根据可得当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，即可求解． 【详解】解：， 当，且这条线段的起点不在整数点时，这条线段覆盖的整数点最少，最少整数点为个， 故答案为：． 9．，且都是集合的子集，若把叫做集合的“长度”，则集合的长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，根据题意得到M的长度为，N的长度为，利用数形结合的思想即可判断最小值时的情况，进而得以求解． 【详解】解：根据题意得：M的长度为，N的长度为， 集合M，N都在上， 当集合的长度的最小值时，M与N应分别在的左右两端，即， 故的长度的最小值是. 故答案为： 10．如下图所示，在数轴上的位置，用“”“”“”填空：    （） ； （） ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴，有理数的运算，由数轴判断出符号和大小，根据有理数的运算法则即可求解，通过数轴判断出符号和大小是解题的关键． 【详解】解：由数轴可得，， ∴，， 故答案为：，． 11．把，，，，，，填在相应的大括号内． 正数集合：｛__________…｝；    整数集合：｛__________…｝； 非负数集合：｛__________…｝；    负分数集合：｛__________…｝； 【答案】，，；，，；，，；，． 【分析】考查了有理数的分类．掌握整数包括正整数、负整数和0以及非负数包括整数和0是解题的关键． 根据有理数的分类及相关定义即可解答． 【详解】解：正数集合：｛，，…｝；     整数集合：｛，，…｝； 非负数集合：｛，，…｝；     负分数集合：｛，…｝． 故答案为：，，；，，；，，；，． 12．如图，在数轴上表示出下列各数：﹣3.1，+2，0，3，并用“＜”把这些数连接起来． 【答案】数轴见解析，﹣3.1＜0＜+2＜3 【分析】先在数轴上表示出来，再比较即可． 【详解】解：如图： ∴﹣3.1＜0＜+2＜3． 【点睛】本题考查了数轴和有理数的大小比较的应用，注意：在数轴上表示的数，右边的数总比左边的数大． 13．下列各数填入它所在的数集中：，，3.1416，0，2001，，，95%，π． 正数集：{                    …}； 整数集：{                    …}； 自然数集：{                   …}； 分数集：{                    …}． 【答案】见解析 【分析】根据有理数的分类即可求出答案． 【详解】解：正数集：{  ，3.1416，2001，95%，π} 整数集：{-18，0，2001  } 自然数集{0，2001  } 分数集：{ ，3.1416，，-0.142，95% } 非负整数集：{0，2001} 【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数． 14．如图，正三角形的边长为1，点与原点重合，现将正三角形向右翻转2023次，求点在数轴上对应的数字． 【答案】2023 【分析】本题考查的是数轴，由题意得，正三角形向右翻转的一个周期为3，且翻转一次后B落在1处，由此规律进行解答即可． 【详解】解：由题意得，翻转1次，B落在1，翻转2次，A落在2，翻转3次，C落在3，周期为3， 且翻转一次后B落在1处， 正三角形向右翻转2023次，此时落在数轴上，对应的数字为． 15．如图，数轴上A、B两点表示的数分别是和3，将这两点在数轴上以相同的速度同时相向运动，若A、B分别到达M、N两点，且满足（k为正整数），我们称A、B两点完成了一次“准相向运动”． (1)A、B两点之间的距离为 (2)若A、B两点完成了一次“准相向运动”． ①当时，M、N两点表示的数分别为 ， ； ②当k为任意正整数时，求M、N两点表示的数（用含字母k的式子表示）． 【答案】(1)4； (2)①5，；②，． 【分析】本题考查了数轴上两点之间的距离公式，数轴上的点表示有理数，根据题意得出是解题关键． （1）根据数轴上两点之间的距离公式即可求解； （2）①由题意可知，，再根据两点间距离公式，得出，即可得出答案； ②同①理可得，，进而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：A、B两点表示的数分别是和3， 之间的距离为， 故答案为：4； （2）解：① 当时，， 两点在数轴上以相同的速度同时相向运动， ， ，， ， ， 表示的数为，N表示的数为， 故答案为：5；； ②同①理可得，， ， ， M点表示的数为，N点表示的数为． 学科网（北京）股份有限公司 $$