专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+21道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版2024）

专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．表示(     ) A．5个-3相乘的积 B．-3与5相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个3相乘的积 2．已知x2＝（﹣3）2，则x＝ ． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】规定两正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么．例如，则．那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．计算： 23=（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 2．已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1） ； （2）( )． 3．计算： (1) (2) (3)． (4)． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 1．计算的果结是(　 　) A． B． C． D． 2．计算：0.252019×42020＝ ． 3．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 1．当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 2．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则3+32+33+34+35+…+32019的末位数字是 ． 3．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 1．已知，，那么的末位数字是（    ）． A．3 B．5 C．7 D．无法确定 2．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积，则其和的最大值为 ，最小值为 ． 3．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题： （1）直接填写答案：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　； （2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？ （3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 1．自参与创建全国文明城市以来，武汉涌出了106万名志愿者，他们秉承着“奉献、有爱、互助、进步”的志愿服务精神，积极投身到文明创建活动中．请将106万用科学记数法表示，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 3．2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．80700000000 B．8070000000 C．807000000 D．80700000 1．用科学记数法表示的数，它原来是________位数（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 2．太阳的半径用科学记数法表示为千米，用原数表示为 千米． 3．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 1．定义一种新运算：则的值(   ) A．5 B．8 C．7 D．6 2．已知a为有理数，表示不小于a的最小整数，如，则计算 ． 3．计算： (1)； (2) (3)． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 1．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 2．《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 3．自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【经典例题十一 算24点】 【例11】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 2．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 3． 为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 1．下列命题，正确的是（    ） A．绝对值等于本身的数为0 B．倒数等于本身的数有0，1 C．相反数等于本身的数是0 D．如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等 2．下列说法正确的是（    ） A．表示的积 B．任何有理数的偶次方都是正数 C．一个数的平方是，这个数一定是 D．与互为相反数 3．现定义运算：对于任意有理数、，都有，如：，则的值为（       ） A．20 B．25 C．38 D．40 4．甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（    ）米 A．3000 B．4000 C．5000 D．6000 5．按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（      ） A．-1 B．3 C．-5 D．4 6．计算： = ． 7．计算： ． 8．若与的值互为相反数，m、n互为倒数，c的绝对值为1，则的值为 . 9．如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ．    10．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 12．观察下列等式 ，，； (1)猜想并写出：___________； (2)求下列式子的计算结果： (3)探究并计算：． 13．对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187． （1）16的“荣耀数”为 　 　；2023的“荣耀数”为 　 　； （2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数． 14．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费． (1)若居民甲在6月份用电90度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在7月份用电190度，则他这个月应缴纳电费 元． (2)若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (3)若某户居民丁在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？ 15．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P在数轴上运动，点A到点B的距离是 ，点B到点C的距离是 ，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是 ． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 有理数的乘方重难点题型专训（13大题型+15道拓展培优） 题型一 有理数幂的概念理解 题型二 有理数的乘方运算 题型三 有理数乘方逆运算 题型四 乘方运算的符号规律 题型五 乘方的应用 题型六 用科学记数法表示绝对值大于1的数 题型七 将用科学记数法表示的数变回原数 题型八 有理数四则混合运算 题型九 有理数四则混合运算的实际应用 题型十 程序流程图与有理数计算 题型十一 算24点 题型十二 含乘方的有理数混合运算 题型十三 有理数乘方的新定义运算 知识点01：有理数的乘方 1.乘方的概念：一般地，n个相同的因数a相乘，记作，读作a的n次方。 求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2.乘方的结果叫做幂（power）；在中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent）。 知识点02：有理数的混合运算 1.有理数混合运算法则：①先算乘方,再算乘除,最后算加减。 ②如果有括号,先算括号里面的。 2.混合运算顺序：· 先算乘方，再乘除，后加减； · 同级运算，从左到右进行； · 如有括号，先算括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行。 【经典例题一 有理数幂的概念理解】 【例1】下列判断中，（1）1是最小的自然数；（2）正数、零、负数统称为有理数；（3）的底数为－3；（4）a、b互为相反数，则a＋b＝0；（5）当x＝时，，正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据自然数的定义（自然数为非负整数，包括0和所有的正整数）、有理数的定义（整数和分数统称为有理数）、有理数幂的定义（在中，叫做底数，叫做指数）、相反数的定义（只有符号不同的两个数互为相反数）逐个判断即可得． 【详解】解：（1）0是最小的自然数；则原说法错误； （2）整数和分数统称为有理数，正数和负数不一定都是有理数，则原说法错误； （3）的底数是3，则原说法错误； （4）、互为相反数，则，原说法正确； （5）当时，，则原说法错误； 综上，正确的个数为1个， 故选：A． 【点睛】本题考查了自然数、有理数、有理数幂、相反数，熟记各概念是解题关键． 1．表示(     ) A．5个-3相乘的积 B．-3与5相乘的积 C．3个5相乘的积的相反数 D．5个3相乘的积 【答案】A 【详解】根据乘方的意义．易得A. 2．已知x2＝（﹣3）2，则x＝ ． 【答案】±3． 【分析】根据有理数的乘方的定义求解即可． 【详解】解：因为x2＝（﹣3）2＝9， 所以x＝±3． 故答案为：±3． 【点睛】本题考查了有理数的乘方．解题的关键是掌握有理数的乘方的运算法则． 3．把下列各式写成乘方的形式，并指出底数和指数各是什么． (1)； (2)； (3)（个m）． 【答案】(1)底数是，指数是5 (2)底数是，指数是6 (3)底数是m，指数是 【分析】（1）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （2）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可； （3）首先化成幂的形式，再指出底数和指数各是什么即可． 【详解】（1）解：， 其中底数是，指数是5； （2）解： 其中底数是，指数是6； （3）解：（个m）， 其中底数是m，指数是． 【点睛】本题主要考查了乘方的意义，解题的关键是掌握乘方是一种特殊的乘法运算，幂是乘方的结果，当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括起来再写指数．表示n个a相乘． 【经典例题二 有理数的乘方运算】 【例2】规定两正数，之间的一种运算，记作：，如果，那么．例如，则．那么（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据新定义运算的法则，求出的多少次方等于即可． 【详解】解：因为， 所以4， 故选：B． 【点睛】本题考查了乘方的运算和新定义运算，解题关键是准确理解新定义运算，熟练运用乘方的意义求解． 1．计算： 23=（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据乘方进行计算，即可得出答案． 【详解】解：； 故选：A． 【点睛】此题考查了乘方运算，正确进行计算是解题的关键． 2．已知，记作，已知，记作，已知，记作，那么：（1） ； （2）( )． 【答案】 【分析】根据乘方的性质，求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 故答案为：， 【点睛】此题考查了乘方的运算，解题的关键是理解题意，熟练掌握乘方运算规则． 3．计算： (1) (2) (3)． (4)． 【答案】(1)1 (2) (3) (4)0 【分析】（1）运用加法结合律与交换律计算； （2）先计算乘方，再计算加法即可； （3）先计算乘除，再计算加法即可； （4）运用乘法分配律计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数混合运算，熟练掌握有理数运算法则和利用运算律进行简便计算是解题的关键． 【经典例题三 有理数乘方逆运算】 【例3】计算的值是（        ） A． B． C．0 D． 【答案】A 【分析】乘方的运算可以利用乘法的运算来进行，运用乘法的分配律简便计算． 【详解】解：原式= = =． 故选：A． 【点睛】本题考查了乘法分配律的逆用．乘方是乘法的特例，乘方的运算可以利用乘法的运算来进行．本题运用乘法的分配律计算． 1．计算的果结是(　 　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】=×(×)2013×(−1)=−. 故选D. 2．计算：0.252019×42020＝ ． 【答案】4 【分析】根据积的乘方运算法则计算即可，积的乘方，等于每个因式乘方的积． 【详解】解：0.252019×42020 ＝0.252019×42019×4 ＝（0.25×4）2019×4 ＝12019×4 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了积的乘方法则逆用，熟练掌握积的乘方法则是解答本题的关键.积的乘方等于各因数乘方的积，即(ab)m=ambm（m为正整数）. 特别注意运算过程中指数的变化规律,灵活运用法则的逆运算进行计算,培养学生的逆向思维意识． 3．阅读下列各式：，，，…解答下列问题： (1)猜想：_____． (2)计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题干阅读部分信息，再总结可得答案； （2）利用（1）中规律结合乘方的含义把原式化为，再计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，… 归纳可得：； （2） ； 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，乘方的含义，理解题意，总结规律再运用规律解题是关键． 【经典例题四 乘方运算的符号规律】 【例4】联系、、、，这类具体数的乘方，当时，下列各式正确的个数有（    ）个． ①；②；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数判断即可． 【详解】解：①当时，，故正确； ②当时，，故正确； ③当时，，故不正确； ④当时，，故不正确． ∴正确的个数为2个 故选B． 【点睛】本题考查了是有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律是解题的关键． 1．当a＜0时，在下列等式①a2021＜0；②a2021=-(-a)2021；③a2020=(-a)2020；④a2021=-a2021中，使等式成立的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】根据负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数即可解答． 【详解】解：当a＜0时， a2021是负数，故①正确； (-a)2021＝-a2021， a2021=-(-a)2021，故②正确，④错误； a2020=(-a)2020，故③正确； 综上所述，①②③正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方的符号规律，掌握有理数乘方的符号规律：一个负数的奇次幂是负数，一个负数的偶次幂是正数． 2．观察下列算式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，…，则3+32+33+34+35+…+32019的末位数字是 ． 【答案】9 【分析】根据数字规律得出3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+9+7进而得出末尾数字． 【详解】解：∵31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187… ∴末尾数，每4个一循环， ∵2019÷4＝504…3， ∴3+32+33+34…+32019的末位数字相当于：3+7+9+1+…+3+9+7的末尾数为9， 故答案为9． 【点睛】考核知识点：有理数运算规律.掌握乘方运算法则，观察分析，寻找规律是关键. 3．在计算1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100时，可以先设S＝1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100，然后在等式两边同乘以2，则有2S＝2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101，最后两式相减可得：2S－S＝(2＋22＋23＋…＋299＋2100＋2101)－(1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100)＝2101－1，即得S＝2101－1．即1＋2＋22＋23＋…＋299＋2100＝2101－1． 根据以上方法，计算：1＋()＋()2＋()3＋…＋()2019＋()2020． 【答案】 【分析】依据题例的方法乘2后，错位相减即可． 【详解】解：设, 则， 两式相减得： 即 【点睛】本题属于新定义运算，考查有理数的混合运算，读懂材料内容，理解题中错位相减的方法是解题关键． 【经典例题五 乘方的应用】 【例5】若，则称是以10为底的对数．记作：．例如：，则；，则．对数运算满足：当，时，，例如：，则的值为（    ） A．5 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】通过阅读自定义运算规则：，再得到 再通过提取公因式后逐步进行运算即可得到答案． 【详解】解： ， 故选C 【点睛】本题考查的是自定义运算，理解题意，弄懂自定义的运算法则是解本题的关键． 1．已知，，那么的末位数字是（    ）． A．3 B．5 C．7 D．无法确定 【答案】A 【分析】根据有理数的乘方末位数的变化规律，可快速求解 【详解】∵ ∴，，， ∴的末位数字依次循环为3、9、7、1 ∵ ∴的末位数字是9 ∵ ∴， ∴的末位数字依次循环为4、6 ∵ ∴的末位数字是4 ∴ ∴的末位数字是3 故选A 【点睛】本题主要考查有理数的乘方，需重点注意的是末位数变化的周期性这一特点，即可解决此题 2．自然数a，b，c，d，e都大于1，其乘积，则其和的最大值为 ，最小值为 ． 【答案】 133 23 【分析】为使尽可能大，在的分解中，显然应取即可；为使S尽可能小，显然应取或，据此可求得最小值S=23． 【详解】解：∵， 为使尽可能大，应取， ∴最大：； 为使尽可能小，应取或， 前者， 后者，故最小值． 故答案为：133，23． 【点睛】本题考查的是质因数分解，能把原式化为的形式是解答此题的关键． 3．我们知道：加、减法运算是互逆运算，乘、除法运算也是互逆运算，乘方运算也有逆运算；如指数式23＝8可以转化为3＝log28，2＝log525也可以转化为52＝25．一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为logab（即logab＝n）．根据以上信息，解决以下问题： （1）直接填写答案：log24＝　 　，log216＝　 　，log264＝　 　； （2）观察（1）的值有什么关系，你发现了什么结果？ （3）根据（2）中的结果，请归纳出一般性的结论并证明． 【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216＝log264，见解析；（3）logaM+logaN＝loga（MN），见解析． 【分析】（1）利用对数的定义求解； （2）利用（1）的计算结果得到log24+log216＝log264； （3）设am＝M，an＝N，利用对数的定义得到logaM＝m，logaN＝n，再根据积的乘方得到MN＝am•an＝am+n，利用对数的定义得到loga（MN）＝m+n，从而得到logaM+logaN＝loga（MN）． 【详解】（1）log24＝2，log216＝4，log264＝6； 故答案为2，4，6； （2）结果为：log24+log216＝log264； （3）一般结论为logaM+logaN＝loga（MN）（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）； 证明：设am＝M，an＝N， ∴logaM＝m，logaN＝n， ∴logaM+logaN＝m+n， ∵MN＝am•an＝am+n， ∴loga（MN）＝m+n， ∴logaM+logaN＝loga（MN）． 【点睛】本题考查了有理数的乘方：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0的任何正整数次幂都是0． 【经典例题六 用科学记数法表示绝对值大于1的数】 【例6】2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得圆满成功，在发射过程中，神舟十八号的飞行速度约为米/分，把“”用科学记数法表示应是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了科学记数法，将数据表示成形式为的形式，其中，n为整数，正确确定a、n的值是解题的关键． 将写成其中，n为整数的形式即可． 【详解】解：． 故选A． 1．自参与创建全国文明城市以来，武汉涌出了106万名志愿者，他们秉承着“奉献、有爱、互助、进步”的志愿服务精神，积极投身到文明创建活动中．请将106万用科学记数法表示，下列表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为，其中，为整数,且比原来的整数位数少1，据此判断即可． 【详解】解：106万， 故选：B． 【点睛】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示较大的数时,一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定和的值． 2．据央视网报道，2022年1~4月份我国社会物流总额为98.9万亿元人民币，“98.9万亿”用科学记数法表示为 ． 【答案】9.89×1013 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：98.9万亿=98900000000000=9.89×1013． 故答案为：9.89×1013． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3．2020年中国外卖订单近150亿单，消耗一次性筷子数量将超过45万吨，近900亿双．900亿双一次性筷子耗费立方米木材，若木材利用率为，则耗费木材立方米．一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材． (1)1立方米的木材约能生产多少双一次性筷子？（精确到百位） (2)2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐多少棵生长了20年的大树？ 【答案】(1)34900双 (2)棵 【分析】（1）根据“消费一次性筷子约900亿双，耗费木材”列式计算即解答； （2）根据“我国每年消费一次性筷子约900亿双耗费木材立方米”，结合一棵生长了20年的大树相当于立方米的木材列式计算即可解答． 【详解】（1）解：（双）． 答：1立方米的木材约能生产34900双一次性筷子． （2）解：棵． 答：2020年我国消费的一次性筷子所耗费的木材要砍伐棵生长了20年的大树． 【点睛】本题考查科学记数法的应用、整式除法等知识点．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 【经典例题七 将用科学记数法表示的数变回原数】 【例7】用科学记数法表示的数的原数为（    ） A．80700000000 B．8070000000 C．807000000 D．80700000 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法，科学记数法的标准形式为（，n为整数），本题把数据中8.67的小数点向右移动8位就可以得到结果． 【详解】解：， 故选：C． 1．用科学记数法表示的数，它原来是________位数（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】根据科学记数法的形式，其中，n是整数位数减1． 【详解】解：根据题意， ∴它原来是12位数． 故选：C． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的一般形式以及a与n的取值是解题的关键． 2．太阳的半径用科学记数法表示为千米，用原数表示为 千米． 【答案】696000 【分析】根据科学记数法的表示方法求解即可． 【详解】解：把数据“”中6.96的小数点向右移动5位就可以得到其原数为696000． 故答案为：696000． 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法，解题的关键是熟练掌握科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数． 3．下列用科学记数法表示的数据，原来各是什么数？ （1）北京故宫的占地面积约为； （2）人体中约有个红细胞； （3）全球每年大约有的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽． 【答案】（1）；（2）25000000000000个；（3） 【分析】用科学记数法还原原数时，时，是几，小数点向右移动几位． 【详解】解：（1）＝； （2）＝25000000000000个； （3）＝． 【点睛】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法a×10−n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法a×10n表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向右移动n位所得到的数；把一个数表示成科学记数法的形式及把科学记数法还原是两个互逆的过程，这也可以作为检查用科学记数法表示一个数是否正确的方法． 【经典例题八 有理数四则混合运算】 【例8】下列各式的运算中，不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据有理数的混合计算法则求解判断即可． 【详解】解：A、，计算正确，不符合题意； B、，计算正确，不符合题意； C、，计算错误，符合题意； D、，计算正确，不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 1．定义一种新运算：则的值(   ) A．5 B．8 C．7 D．6 【答案】B 【分析】根据新定义规定的运算法则列式计算可得． 【详解】 ， 故选B． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则及有理数的混合运算顺序和运算法则． 2．已知a为有理数，表示不小于a的最小整数，如，则计算 ． 【答案】 【分析】根据表示不小于a的最小整数，先进行化简，再进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查有理数的混合运算．解题的关键是理解并掌握新定义以及有理数的运算法则． 3．计算： (1)； (2) (3)． 【答案】(1)5； (2)3； (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则混合计算： （1）（2）（3）按照先计算乘除法，再计算加减法，有括号先计算括号的运算顺序求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：原式 ． 【经典例题九 有理数四则混合运算的实际应用】 【例9】周六，小巧和同学一行共10人相约一起去看电影，电影院的价目表显示，电影票45元/张，也可以购买套餐，套餐价格如下表所示．不论是单买或购买套餐，购买一定金额还可参加“满减”的优惠活动． 套餐 内容 价格（元） 优惠活动 套餐A 1张电影票＋1桶爆米花 60 消费满300元，减25元 消费满600元，减60元 套餐B 1张电影票＋1桶爆米花＋1个主题纪念币 70 若全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币，还需要一些爆米花一起共享，则最少需要支付（    ） A．530元 B．540元 C．545元 D．550元 【答案】B 【分析】本题考查有理数运算的实际应用，根据题意，得到至少要购买5份套餐，再结合优惠活动进行求解即可．读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】解：∵全部同学都要进场看电影，其中有5位同学每人需要一个主题纪念币， ∴至少要购买5份套餐， ①当购买5份套餐，其余全部购买电影票时： （元）， ∵消费满300元，减25元， ∴共消费：元， ②当购买6份套餐，其余全部购买电影票时： 元， ∵消费满600元，减60元， ∴共消费：元， 此时最优惠， 故选B． 1．某品牌的饮料促销方式如下：甲店打七五折，乙店“买三送一”，丙店“每满元减元”．李老师要买瓶标价9元的这种品牌的饮料，在（    ）店购买更省钱 A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【答案】A 【分析】解决本题关键是理解三家商店不同的优惠政策，分别找出求现价的方法，求出现价，再比较．甲店打七五折：是指现价是原价的，把原价看成单位“1”，用原价9元乘求出每瓶的现价，再乘瓶，即可求出在甲店需要的钱数； 乙店“满三送一”：是指买4瓶饮料只需要付3瓶的钱，先用瓶除以4，求出里面最多有几个4瓶，还余几瓶，从而求出需要付钱的瓶数，再乘9元，即可求出在乙店需要的钱数； 丙店“每满元减元”：是指每元可以减免元，先用瓶乘9元，求出原价一共是多少钱，再除以，求出总钱数里面有多少个元，就是可以减免多少个元，再用乘法求出可以减免的钱数，然后用原总价减去可以减免的钱数，从而求出丙店需要的钱数，再比较即可求解． 【详解】解：甲店： （元） 乙店： （元） 丙店： （元） （元） 答：在甲店购买更省钱． 故选：A． 2．《行程问题》老李和老王两人沿铁路线相向而行，速度相同，一列火车从老李身边开过用了秒，分钟后火车又从老王身边开过，用了秒，那么从火车遇到老王开始，再过 秒，老李、老王两人相遇． 【答案】 【分析】本题考查相遇问题，路程、速度、时间三者之间的关系．利用已知信息先求出火车速度是人步行速度的倍数，相遇问题，利用路程速度、时间关系即可解答． 【详解】解：解：根据题意可知 ①火车速度是人步行速度的： ， ②相遇时间： （分钟）， （秒）． 故答案为：720． 3．自行车厂计划一周生产自行车1400辆，平均每天生产200辆，但由于种种原因，实际每天生产量与平均计划量相比有出入．下表是某周的生产情况（超产记为正、减产记为负）： 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减产量 (1)根据记录的数据可知该厂星期四生产自行车_______辆； (2)根据记录的数据可知该厂本周实际生产自行车_______辆； (3)该厂实行每日计件工资制，每生产一辆车可得60元，若超额完成任务，则超过部分每辆另奖励15元；少生产一辆另扣20元，那么该厂工人这一周的工资总额是多少？ 【答案】(1)313 (2)2109 (3)126550 【分析】本题主要考查了有理数加法和有理数四则混合计算的实际应用： （1）根据有理数的加法，可得答案； （2）先把所有数相加，再加上，即可求解； （3）根据基本工资加奖金以及扣费，可得答案． 【详解】（1）解：辆， ∴该厂星期四生产自行车313辆； 故答案为：313； （2）解：辆 ∴该厂本周实际生产自行车2109辆； 故答案为：2109； （3）解：元， ∴该厂工人这一周的工资总额是126550元． 【经典例题十 程序流程图与有理数计算】 【例10】按如图所示的流程图操作，若输入的值是，则输出的结果是（   ） A．0 B．7 C．14 D．49 【答案】D 【分析】本题考查了有理数的运算，解题的关键是根据流程图的意思列出算式． 【详解】解：输入的的值是， 则，返回继续运算， ，输出结果， 故选：D． 1．下图是一个“数值转换机”的示意图，按如图所示的运算程序，能使输出值为的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本体考查了代数式求值，将各项代入运算程序中，逐一计算即可，读懂运算程序是解题的关键． 【详解】、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，不符合题意； 、输入，，即，输出，符合题意； 故选：． 2．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为6和，则输出的值分别为 ． 【答案】4和5 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，绝对值的求解，根据程序顺序代入求值即可，解题的关键是读懂程序框图，并掌握有理数的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：输入x的值为6时，， 输出的值为； 输入x的值为时，， 输出的值为； 所以输出的值分别为4和5， 故答案为：4和5． 3．如图是一个数值转换机的示意图． (1)若输入x的值为，输入y的值为2，求输出的结果； (2)用含x，y的代数式表示输出的结果为：______； (3)若输入x的值为2，输出的结果为8，求输入y的值； (4)若y是x的3倍（为常数），且不论取任意负数时，输出的结果都是0，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或． 【分析】本题考查了整式的加减中的程序计算，正确理解程序是解题的关键． (1)根据程序，得，计算即可． (2)根据程序，列出代数式，计算即可． (3)根据程序，列出等式，计算即可． (4)根据程序，列出等式，计算即可． 【详解】（1）根据程序，得． （2）根据程序，得， 故答案为：． （3）根据程序，得， ∴， 解得或． （4）根据程序，得， ∴， ∴， 解得或． 【经典例题十一 算24点】 【例11】“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 1．“24点”游戏规则是：从一副牌中（去掉大、小王）任意抽取4张牌，用上面的数字进行混合运算，使结果为24或—24.其中红色代表负数，黑色代表正数，A，J，Q，K分别代表1，11，12，13，例如张毅同学抽取的4张牌分别为红桃4、红桃3、梅花6、黑桃2，于是张毅同学列出的算式为（－4）×（－3－6÷2）＝24，现在张毅同学想挑战“36点”，将这四张牌中的任意一张换成其它牌，使结果为36或—36，下列方法可行的有几种：①将红桃4换成黑桃6；②将红桃3换成红桃6；③将梅花6换成黑桃Q；④将黑桃2换成黑桃A（    ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】D 【分析】根据有理数的四则混合计算法则求解即可． 【详解】解：①这四个数分别为6、-3、6、2， ∵， ∴①符合题意； ②这四个数分别为-4、-6、6、2， ∵， ∴②符合题意； ③这四个数分别为-4、-3、12、2， ∵， ∴③符合题意； ④这四个数分别为-4、-3、6、1， ∵， ∴④符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟知相关计算法则是解题的关键． 2．嘉嘉和琪琪在玩24点游戏，游戏规则是：从一副扑克牌中抽去大小王剩下52张，任意抽取4张牌，把牌面上的数运用你所学过的运算（可以使用括号）得出24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．嘉嘉抽到的四张牌如下，请帮他写出一个计算结果为24的算式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了有理数的混合运算，注意明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】解： 本题中设计的数字有：8，4，2，12． 根据题目规则，可得满足条件的算式如下： （1）． （2）． （3）． （4）等． 故答案为：（答案不唯一）． 3．小明有5张写着不同数字的卡片，请你按要求抽出卡片，完成下列各问题： (1)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字的乘积最大，如何抽取？最大值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，乘积的最大值为 ． (2)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字相除的商最小，如何抽取？最小值是多少？ 答：我抽取的2张卡片是 、 ，商的最小值为 ． (3)从中取出2张卡片，使这2张卡片上数字组成一个最大的数，如何抽取？最大的数是多少； 答：我抽取的2张卡片是 、 ，组成一个最大的数为 ． (4)从中取出4张卡片，用学过的运算方法，使结果为24．如何抽取？写出运算式子．（写出一种即可）． 答：我抽取的4张卡片算24的式子为 ． 【答案】(1)、；15； (2)、； (3)、4； (4) 【分析】本题考查有理数的运算．熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据有理数的乘法法则即可确定； （2）根据有理数的除法法则即可确定； （3）根据有理数的乘方运算即可确定； （4）根据有理数的混合运算法则即可确定． 【详解】（1）解：∵，，， ∴抽取、两张卡片的乘积最大，最大值为15． 故答案为：、；15； （2）∵， ∴抽取、两张卡片相除的商最小，最小值为． 故答案为：、；． （3）∵，， ∴抽取、4两张卡片，组成的最大值为． 故答案为：、4；． （4）抽取、、0、3，则． 故答案为：． 【经典例题十二 含乘方的有理数混合运算】 【例12】计算： (1)； (2)； (3)（用简便方法计算） (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可； （2）根据有理数混合计算法则进行计算即可； （3）根据简便运算进行计算； （4）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 1．计算 (1) (2) (3) (4)． (5) (6) (7) (8)． 【答案】(1)8 (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)9 【分析】（1）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （2）应用加法交换律和加法结合律，求出算式的值是多少即可； （3）先运算乘除，然后加减解题即可； （4）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （5）应用乘法分配律，求出每个算式的值各是多少即可． （6）先运算括号内的加减，然后运算除法解题即可； （7）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题； （8）先运算乘方，然后乘法，最后加减解题． 此题主要考查了有理数的混合运算，明确有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算． 【详解】（1） ； （2） （3） ； （4） ； （5） ； （6） ； （7） ； （8） 2．计算下列各题： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，以及绝对值化简，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘方，然后再进行有理数的混合运算即可； （2）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （3）先算乘方和括号，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题； （4）先算乘方、括号、以及绝对值化简，然后再根据有理数的混合运算法则计算，即可解题． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， ． 3．为了求的值，可令，则，因此，，所以即，依照以上推理计算：的值． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，利用类比的数学思想解决问题是解题关键．仿照题干，令，进而得到，然后作差，整理即可得到所求式子的值． 【详解】解：令，则， ， ， 即的值为． 【经典例题十三 有理数乘方的新定义运算】 【例13】探究规律，完成相关题目． 定义“*”运算： ；； ；； ；． (1)归纳*运算的法则： 两数进行*运算时，________．（文字语言或符号语言均可）特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，________ (2)计算：． (3)是否存在有理数m，n，使得，若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)17 (3) 【分析】此题主要考查了定义新运算，以及有理数的混合运算． （1）首先根据*运算的运算法则进行运算的算式，归纳出*运算的运算法则即可；然后根据∶ ；，可得∶0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方； （2）根据（1）中总结出的*运算的运算法则，以及有理数的混合运算的运算方法，求出的值是多少即可； （3）加法有交换律和结合律，这两种运算律在有理数的*运算中还适用，并举例验证加法交换律适用即可． 【详解】（1）解：归纳*运算的法则∶ 两数进行*运算时，同号得正，异号得负，并把两数的平方相加．特别地，0和任何数进行*运算，或任何数和0进行*运算，等于这个数的平方． （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ∴， 解得：， 1．设a，b是有理数，定义新运算， 例如，． (1)计算：； (2)设，，求的值． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题考查新定义下的运算，有理数的乘方．理解题意掌握新定义下的实数运算法则是解题关键． （1）根据新定义下的运算法则计算即可； （2）根据新定义下的运算法则计算出M、N，再相加整理即可． 【详解】（1）解：； （2） 解： ． 2．定义新运算：，（右边的运算为平常的加、减、乘、除）． 例如:，． 若，则称有理数，为“隔一数对”． 例如：，，，所以2，3就是一对“隔一数对”． (1)下列各组数是“隔一数对”的是 （请填序号） ①，；②，；③，． (2)计算：． (3)已知两个连续的非零整数都是“隔一数对”． 计算：． 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查有理数的定义新运算，仔细审题，理解题干中的新定义，熟练掌握有理数的混合运算法则是解题关键． （1）按照题干定义进行计算，判断是否满足条件即可； （2）直接根据题目定义分别计算各项，然后再合并求解即可； （3）根据定义进行变形和拆项，然后根据规律求解即可． 【详解】（1）解：①； ∵，， ∴，则①是“隔一数对”； ②； ∵，， ∴，则②是“隔一数对”； ③； ∵，， ∴，则③不是“隔一数对”； 故答案为：①②； （2）解：根据定义， ； （3）解：根据定义， ． 3．【知识迁移】我们已经知道：求若干个相同的有理数（均不等于0）的乘法运算叫做乘方．类比乘方的定义，我们规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方． 如：，等，我们把记作，读作“2的3次商”， 记作，读作“的次商”．一般地，我们把个相除记作，读作“的次商”．根据以上信息，完成下列问题． (1)直接写出结果：______，______． (2)关于除方，下列说法错误的是（      ） A．任何非零数的次商都等于 B．对于任何正整数， C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数 D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数 (3)深入思考：除法运算能转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？ 试一试，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式：______；______； (4)综合应用：算一算：． 【答案】(1)， (2)B (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，新定义的理解与运用； （1）利用题中的新定义计算即可求出值； （2）根据题意确定出所求即可； （3）利用题中的新定义计算即可求出值； （4）原式变形后，计算即可求出值． 【详解】（1）， ， 故答案为：；； （2）A．任何非零数的次商都等于，说法正确，不符合题意； B．对于任何正整数，当为奇数时，；当为偶数时，，原说法错误，符合题意； C．除零外的互为相反数的两个数的偶数次商都相等，奇数次商互为相反数，说法正确，不符合题意； D．负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数，说法正确，不符合题意． 故选：B； （3）解： 故答案为：；． （4） 1．下列命题，正确的是（    ） A．绝对值等于本身的数为0 B．倒数等于本身的数有0，1 C．相反数等于本身的数是0 D．如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等 【答案】C 【分析】根据绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方运算逐项判断即可得． 【详解】解：A、绝对值等于本身的数为非负数，则此项错误，不符合题意； B、倒数等于本身的数有，则此项错误，不符合题意； C、相反数等于本身的数是0，则此项正确，符合题意； D、如果两个数的平方相等，那么这两个数也相等，命题错误，如，但，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了绝对值的性质、倒数、相反数的性质、乘方，熟练掌握各运算法则和性质是解题关键． 2．下列说法正确的是（    ） A．表示的积 B．任何有理数的偶次方都是正数 C．一个数的平方是，这个数一定是 D．与互为相反数 【答案】D 【分析】根据乘方的意义逐项排除，即可完成解答. 【详解】解：A. 表示3个2相乘，故A错误； B. 任何有理数的偶次方都是正数,零除外，故是错误； C. 一个数的平方是，这个数可能是和-，故错误； D. 与互为相反数,是正确的. 故答案为D. 【点睛】本题主要考查了乘方的定义和性质，其中正确理解性质和定义是解答本题的关键. 3．现定义运算：对于任意有理数、，都有，如：，则的值为（       ） A．20 B．25 C．38 D．40 【答案】D 【分析】根据题意写出算式，利用有理数的混合运算法则计算； 【详解】解：， ， ， ， =40， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算以及新定义，正确理解新定义，能根据新定义的意思列出算式是解题的关键． 4．甲、乙两人同时从相距2000米的两地出发，相向而行，甲每分钟走45米，乙每分钟走55米，一只小狗以每分钟200米的速度与甲同时、同地、同向而行，遇到乙后立即转头向甲跑去，如此循环，直到两人相遇，则这只小狗一共跑了（    ）米 A．3000 B．4000 C．5000 D．6000 【答案】B 【分析】根据小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的时间，先求出甲、乙两人相遇的时间，然后乘以小狗的速度即可求出小狗的路程． 【详解】解：由题意知，甲、乙两人相遇的时间为分钟 ∴小狗共跑了米 故选B． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算的应用，解题的关键在于明确小狗用的时间是甲、乙两人相遇用的时间． 5．按如图所示的程序进行运算．如果结果不大于10，就把结果作为输入的数再进行第二次运算，直到符合要求（结果大于10）为止．当输出的数为11时，输入的数字不可能是（      ） A．-1 B．3 C．-5 D．4 【答案】D 【分析】根据所给程序流程图的运算规则逐项计算即可解答． 【详解】解：当x=－1时，（－1）×（－2）+1=3＜10， 当x=3时，3×（－2）+1=－5＜10， 当x=－5，（－5）×（－2）+1=11＞10， 当x=4，4×（－2）+1=－7＜10， 当x=－7，（－7）×（－2）+1=15＞10， 故当输入数字为－1或3或－5时，输出的数为11，当输入数字为4时，输出的数为15， 故选：D． 【点睛】本题考查程序流程图与有理数的计算，理解所给程序流程图，掌握有理数的混合运算法则是解答的关键． 6．计算： = ． 【答案】5 【分析】先进行立方运算，然后再进行减法运算即可. 【详解】 =8-3 =5， 故答案为5. 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算的运算顺序以及运算法则是解题的关键. 7．计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的乘方和乘法，根据有理数的乘方和乘法运算法则进行计算即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．若与的值互为相反数，m、n互为倒数，c的绝对值为1，则的值为 . 【答案】18或20 【分析】本题考查有理数的运算，绝对值和偶次幂的非负性，根据相反数的性质及绝对值和偶次幂的非负性即可求得x，y的值，然后根据倒数的定义及绝对值的性质可求得，，然后将其代入中计算即可． 【详解】解：∵与的值互为相反数， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∵m、n互为倒数，c的绝对值为1， ∴， ∴， 或. 故答案为18或20. 9．如图是一个计算程序，若输入的值为，则输出的结果应为 ．    【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算的题目，掌握运算法则是解题的关键． 根据程序图，列出代数式是，再进行计算即可． 【详解】根据题意得 故答案为：． 10．你知道吗？我们赖以生存的美丽地球是一个近似于圆形的球体，它的半径长约千米．如果让你做一次旅行，沿着轨道乘“天宫一号”20天走完等于地球半径长的路程，则“天宫一号”平均每天要飞行 千米．（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】用半径除以时间，得出“天宫一号”平均每天要飞行距离，再用用科学记数法表示即可． 【详解】解：千米千米， ∴“天宫一号”平均每天要飞行距离（千米）， 7480000用科学记数法表示为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用科学记数法表示绝对值大于1的数，解题的关键是掌握用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法：将原数化为的形式，其中，n为整数，n的值等于把原数变为a时小数点移动的位数． 11．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)6479 (3) (4) 【分析】本题考查有理数的混合运算，根据有理数的混合运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据加减运算法则，进行计算即可； （2）根据混合运算法则，进行计算即可； （3）除法变乘法，再用分配律进行计算即可； （4）根据乘除运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 12．观察下列等式 ，，； (1)猜想并写出：___________； (2)求下列式子的计算结果： (3)探究并计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题干所给方法可直接进行求解； （2）根据题干所给方法及（1）中的结论可进行求解； （3）类比（1）中所给结论可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：原式 ； 故答案为； （3）解： ． 【点睛】本题主要考查有理数的乘法运算及加减运算，解题的关键是熟练掌握有理数的运算法则． 13．对于一个正整数a，将其各个数位上的数字分别立方后取其个位数字，顺次排列后，得到一个新数b，则称b是a的“荣耀数”．例如：a＝123，其各个数位上的数字分别立方后得到的数为1、8、27，则其个位数字分别为1、8、7，那么a的“荣耀数”b为187． （1）16的“荣耀数”为 　 　；2023的“荣耀数”为 　 　； （2）请求出“荣耀数”等于本身，且不大于50的数的个数． 【答案】（1）16；8087；（2）18个 【分析】（1）根据“荣耀数”的定义进行计算求解； （2）通过分析立方后等于本身的个位数有0、1、4、5、6、9，然后再根据不大于50的正整数这个条件分析确定符合题意的数的个数． 【详解】解：（1）∵13＝1，63＝216， 其个位数字分别为1、6， ∴16的“荣耀数”为16， ∵23＝8，03＝0，33＝27， 其个位数字分别为8、0、8、7， ∴2023的“荣耀数”为8087， 故答案为：16；8087； （2）立方后其各位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9， 又∵该数为不大于50的正整数， ∴十位数字可以是0、1、4、5， 个位数字可以是0、1、4、5、6、9， ∴符合要求的正整数有：1，4，5，6，9，10，11，14，15，16，19，40，41，44，45，46，49，50，共18个． 【点睛】本题属于新定义题型，考查有理数的乘方运算，理解“荣耀数”的定义，掌握有理数乘方的运算法则，确定出立方后其个位数字等于本身的数有0、1、4、5、6、9是解题关键． 14．为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过的部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过的部分每度按0.75元收费． (1)若居民甲在6月份用电90度，则他这个月应缴纳电费 元；若居民乙在7月份用电190度，则他这个月应缴纳电费 元． (2)若居民丙在8月份用电300度，则他这个月应缴纳电费多少元？ (3)若某户居民丁在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？ 【答案】(1)45；108.5 (2)190元 (3)460度 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，掌握单价、总价、数量之间的关系和分段收费的解题方法是解答题目的关键． （1）用电量为90度时，不超过100度，那么每度0.5元，根据“总价单价数量”求出应缴纳电费；用电量为190度时，其中100度按每度0.5元收费，超出的度按每度0.65元收费，最后求出两种费用之和； （2）用电量为300度超过200度，100度按每度0.5元收费，超过100度不超过200度的100度按每度0.65元收费，超过200度的100度按每度0.75元收费，最后求出三种费用之和； （3）用电量为300度时应交电费190元，丁户居民在9月份缴纳电费310元，则丁户居民9月份的用电量超过200度，用缴纳的总电费减去200度以内的电费，计算出超出200度的应缴纳电费，再根据“数量总价单价”求出超出200度的用电度数，最后加上200度，据此解答． 【详解】（1）解：(元)， (元)， 故答案为：45，108.5； （2）解： (元) 答：他这个月应缴纳电费190元． （3）解：∵， ∴用电大于300度，大于200度， (度) 答：他这个月用电460度． 15．已知：b是最小的正整数，且a、b满足，请回答问题： (1)请直接写出a、b、c的值： ； ； ． (2)a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P在数轴上运动，点A到点B的距离是 ，点B到点C的距离是 ，点P到点A、B、C的距离之和的最小值是 ． (3)在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动，则经过t秒钟时，请问：的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求出它的值． 【答案】(1)；； (2)2；4；6 (3)的值不随着时间t的变化而改变，为定值2 【分析】（1）根据b是最小的正整数可得，再根据非负数的性质求出a，c即可； （2）根据数轴上两点间距离的求法列式计算即可； （3）分别求出t秒后点A，B，C所表示的数，得出和，再计算的值即可． 【详解】（1）解：∵b是最小的正整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 故答案为：；；； （2）∵，，， ∴点A到点B的距离，点B到点C的距离， 当点P与点B重合时，点P到点A、B、C的距离之和取最小值，最小值为， 故答案为：2；4；6； （3）的值不随着时间t的变化而改变，为定值2； 理由：∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒3个单位长度和7个单位长度的速度向右运动， ∴经过t秒钟后，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴，， ∴， 即的值不随着时间t的变化而改变，为定值2． 【点睛】本题考查了非负数的性质，数轴上的动点问题，数轴上两点间距离的求法，能够正确求出数轴上的点表示的数是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$