专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练 （湘教版2024）

专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（  ） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＜0 D．b﹣a＜0 1．，且，那么(   ) A．为正数，为负数 B．为正数，为负数 C．，异号，且正数的绝对值较大 D．，异号，且负数的绝对值较大 2．数，，，，中任取二个数相乘，积最小值为 ． 3．若，，且，求的值. 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 1．“”是一种数学运算符号，并且，，，，…，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 2．已知“!”(阶乘)是一种数学运算符号，一个数的阶乘(factorial)是所有小于及等于该数的正整数的积，即 1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，5!=5×4×3×2×1=120，则 7! 的值为 . 3．计算： (1)34＋（-15）-（-16）-（＋25） (2)（﹣2）××（﹣）×4 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】计算+++++……+的值为（　　） A． B． C． D． 1．班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ） A．45元 B．90元 C．10元 D．100元 2．有一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬，它每天白天向上爬行32cm，但每天晚上又下滑20cm，蜗牛爬出井口需要的天数是 ． 3．观察下面的变形规律： ；；；…． 将以上三个等式两边相加得： . （1）上面的数量关系用含n的式子表示： =　 （n为正整数） （2）计算下列各式的结果：　 ； （3）计算：. 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（    ） A． B． C． D． 2．计算：＝ ． 3．简便计算： (1) (2) 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 1．如果互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，那么的值为（    ） A．9 B．9或－7 C．－9或7 D．－7 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|x|＝1，a+b+x2﹣cdx＝ ． 3．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，|m|＝2，则式子的值为多少？ 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 1．已知是有理数，，，则的值为(　　) A． B．1 C．或2 D．1或 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）甲、乙两车，在同一条路上相距220千米，若两车相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则10小时甲赶上乙，则甲车的速度为( )千米/小时． 3．（22-23七年级下·湖南常德·期中）用简便方法计算： 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】在下列年份中，不是闰年的是（        ） A．1992年 B．2000年 C．2016年 D．1900年 1．若1＜x＜2，则的值是（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 2．小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 3．一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为： ，，，，，， (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 1．计算(－3)×÷×3的结果是(　　)． A．9 B．－9 C．1 D．－1 2．若，则的值为 ． 3．阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 2．已知，，则的值是 ． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 1．的相反数的倒数是（    ）． A． B．2022 C． D． 2．在数轴上有、两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…且公式=，则=(   ) A． B． C． D． 4．现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于－1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于本身的有理数是0；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（　　） A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3 6．计算：＝ ． 7．计算，结果是 ． 8．一个数的倒数的相反数是3，这个数是 ． 9．有三个有理数，分别是、、，或者写成、、，那么数的值是 ． 10．下列5个数：﹣3，﹣2，1，4，5中取出三个不同的数，其和最大是 ，其积最大是 ． 11．计算题： (1) (2) 12．甲、乙两地相距千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地出发，相向而行，小时后两车在距中点千米处相遇，快车每小时比慢车每小时多行多少千米？ 13．已知：，N=18 (1)计算M、N的值． (2)求M的值． 14．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 15．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题05 有理数的乘除法重难点题型专训（12大题型+15道拓展培优） 题型一 两个有理数的乘法运算 题型二 多个有理数的乘法运算 题型三 有理数乘法的实际应用 题型四 利用乘法运算律进行巧算 题型五 倒数、绝对值和相反数的综合运算 题型六 有理数的除法运算 题型七 有理数的除法应用 题型八 有理数乘除的混合运算 题型九 与有理数乘除有关的新定义问题 题型十 有理数乘除法中的多结论问题 题型十一 有理数乘除法中的程序计算 题型十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数 知识点1：有理数的乘法 1.有理数的乘法 有理数乘法法则：（下列法则中a、b为正有理数，c为任意有理数） 两数相乘，同号得正，异号得负，积的绝对值两乘数的绝对值的积。任何数同0相乘，都得0。 即：=ab；=ab；=-ab；；=-ab；；。 有理数乘法的运算步骤：先确定积的符号，再确定积的绝对值。 多个有理数相乘：几个不是0的数相乘，负因数的个数是偶数时，积为正数；负因数的个数是奇数时，积为负数，即“奇负偶正”。几个数相乘，如果其中有因数为0，那么积等于0。 多个有理数相乘的运算步骤：先用上面的方法确定符号，再将各乘数的绝对值相乘作为积的绝对值。 2.有理数乘法运算律 乘法交换律：一般地，有理数乘法中，两个数相乘，交换乘数的位置，积不变。即：。 乘法结合律：一般地，有理数乘法中，三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。 即：。 乘法分配律：一般地，有理数乘法中，一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别与这两个数相乘，再把积相加。即：。 知识点2：倒数 1）倒数的概念：乘积是的两个数互为倒数。 2）倒数的性质：（1）倒数是成对出现的，单独一个数不能称为倒数。（2）没有倒数。（3）互为倒数的两个数的乘积一定是，即，互为倒数，则；反之亦然． 3）求一个非零有理数的倒数，把它的分子和分母颠倒位置即可。 （1）非零整数可以看作分母为的分数后再求倒数；（2）带分数一定要先化成假分数之后再求倒数。 知识点3：有理数的除法 1）有理数除法法则1：除以一个不等于的数，等于乘这个数的倒数。即：，()。 有理数除法法则2：两数相除，同号得正，异号得负，且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商。除以任何一个不等于的数，都得。 2）有理数除法的运算步骤：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 有理数的乘除混合运算：先将除法换成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。 【经典例题一 两个有理数的乘法运算】 【例1】有理数a，b在数轴上的对应点如图所示，则下列式子中错误的是（  ） A．ab＞0 B．a+b＜0 C．a﹣b＜0 D．b﹣a＜0 【答案】D 【分析】根据在数轴上的位置，确定数的符号，再根据有理数运算法则判断符号即可． 【详解】解：根据数轴可知，a＜b＜0， 可得，ab＞0，a+b＜0，a﹣b＜0，b﹣a＞0， 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数在数轴上的表示和有理数运算法则，解题关键是树立数形结合思想，判断数的符号，准确运用有理数运算法则判断运算结果符号． 1．，且，那么(   ) A．为正数，为负数 B．为正数，为负数 C．，异号，且正数的绝对值较大 D．，异号，且负数的绝对值较大 【答案】D 【分析】两数之积小于0，说明两数异号，两数之和小于0，说明两数都是负数或一正一负，且负数的绝对值大．综合两个条件可选出答案． 【详解】∵a＋b＜0， ∴a，b同为负数，或一正一负，且负数的绝对值大， ∵ab＜0， ∴a，b异号， ∴a、b异号，且负数的绝对值较大． 故选D． 【点睛】此题主要考查了有理数的乘法和加法，关键是熟练掌握计算法则，正确判断符号． 2．数，，，，中任取二个数相乘，积最小值为 ． 【答案】-30 【分析】根据负数比正数小、同为负数时绝对值越大反而越小的原则计算即可. 【详解】根据负数比正数小、同为负数时绝对值越大反而越小的原则，最小乘积为6×（-5）=-30 故答案为-30 【点睛】本题考查有理数乘法及大小比较，一般选择最大正数与最小负数乘积为最小值. 3．若，，且，求的值. 【答案】20或-20 【分析】根据绝对值的性质求出x、y，再确定x+y是非负数，然后确定出x、y的对应情况，再相乘计算即可得解 【详解】解：∵|x|=5，|y|=4， ∴，， ∵|x+y|=x+y， ∴， ∴x=5，y=±4， ∴ 或 故答案为或. 【点睛】本题考查了绝对值，有理数的乘法，熟记性质并判断出x、y的对应情况是解题的关键． 【经典例题二 多个有理数的乘法运算】 【例2】下列算式中，积为负数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的乘法运算，根据有理数的乘法法则分别计算，即可判断求解，掌握有理数的乘法法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项不符题意； 、，该选项不符题意； 、，该选项符合题意； 、，该选项不符题意； 故选：． 1．“”是一种数学运算符号，并且，，，，…，则的值为（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】原式利用题中的新定义变形，约分即可得到结果． 【详解】原式=7×6×5×4×3×2×1= 故选B. 【点睛】此题考查有理数的乘法，解题关键在于理解题意掌握运算法则. 2．已知“!”(阶乘)是一种数学运算符号，一个数的阶乘(factorial)是所有小于及等于该数的正整数的积，即 1!=1，2!=2×1=2，3!=3×2×1=6，4!=4×3×2×1=24，5!=5×4×3×2×1=120，则 7! 的值为 . 【答案】5040 【分析】根据题目所给的阶乘的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：5040． 【点睛】本题主要考查了有理数乘法计算，正确理解题目所给的阶乘的定义是解题的关键． 3．计算： (1)34＋（-15）-（-16）-（＋25） (2)（﹣2）××（﹣）×4 【答案】(1)10 (2)9 【分析】（1）原式利用减法法则变形，计算即可求出值 （2）原式利用乘法法则计算即可求出值 【详解】（1）解：原式＝34﹣15＋16﹣25＝50﹣40＝10； （2）解：原式＝2×××4＝9． 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【经典例题三 有理数乘法的实际应用】 【例3】计算+++++……+的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：直接利用分数的性质将原式变形进而得出答案． 详解：原式= =， =1- =． 故选B． 点睛：此题主要考查了有理数的加法，正确分解分数将原式变形是解题关键． 1．班长去文具店买毕业留言卡50张，每张标价2元，店老板说可以按标价九折优惠，则班长应付（ ） A．45元 B．90元 C．10元 D．100元 【答案】B 【详解】试题分析：根据九折可以知道实际售价为2×0.9=1.8元，一共买50张，则需付款1.8×50=90元． 解：班长应付款为：2×0.9×50=90（元）． 故选B． 2．有一口水井，水面比井口低，一只蜗牛从水面沿井壁往井口爬，它每天白天向上爬行32cm，但每天晚上又下滑20cm，蜗牛爬出井口需要的天数是 ． 【答案】7 【分析】根据题意列出算式，计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 则蜗牛爬出井口需要的天数是7天． 故答案为：7． 【点睛】此题考查了有理数的加减混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．观察下面的变形规律： ；；；…． 将以上三个等式两边相加得： . （1）上面的数量关系用含n的式子表示： =　 （n为正整数） （2）计算下列各式的结果：　 ； （3）计算：. 【答案】（1） ；（2）；（3） 【分析】（1）根据题干中单个式子的变形规律可知，两个连续整数乘积的倒数等于各自倒数的差即可得； （2）利用题（1）中的结论将式子每项分解开，再求和即可； （3）参考题干中的变形规律，将每一项分解开，再求和即可. 【详解】（1）由题中的变形规律得：； （2）由题（1）的结论，将所求式子中的每项分解开得： 原式 ； （3）原式 . 【点睛】本题考查了有理数的加减乘除法法则、以及归纳总结的能力，理解所给的变形规律是解题关键. 【经典例题四 利用乘法运算律进行巧算】 【例4】下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据有理数乘法运算法则即可得出答案． 【详解】 错误； 错误； 错误； 正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了有理数乘法运算，解决本题的关键是熟练运用乘法运算法则，注意符号． 1．在简便运算时，把变形成最合适的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据乘法分配律即可求解． 【详解】=计算起来最简便， 故选A． 【点睛】此题主要考查有理数的运算，解题的关键是熟知乘法分配律的运用． 2．计算：＝ ． 【答案】15 【分析】根据有理数乘法法则和乘法结合律进行计算即可． 【详解】解： =15 故答案为：15． 【点睛】本题考查有理数乘法，乘法结合律，掌握有理数乘法的计算方法是正确计算的前提． 3．简便计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)25 【分析】本题主要考查了运用简便方法进行有理数混合运算： （1）将变形为，然后再运用分配律进行计算即可得到答案； （2）将原式变形为，再逆用乘法分配律进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【经典例题五 倒数、绝对值和相反数的综合运算】 【例5】已知，则a，，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法进行判断即可，进行判断即可． 【详解】解：令， 则：， ∵ ∴； 故选D． 【点睛】本题考查比较有理数大小．熟练掌握特殊值法，是解题的关键． 1．如果互为相反数，互为倒数，的绝对值为2，那么的值为（    ） A．9 B．9或－7 C．－9或7 D．－7 【答案】B 【分析】先根据相反数与倒数的定义、绝对值运算得出相应的等式，再代入求解即可． 【详解】由相反数的定义得：，即 由倒数的定义得： 由绝对值运算得：，则 因此，分以下两种情况： （1）当时 （2）当时 综上，的值为或9 故选：B． 【点睛】本题考查了相反数与倒数的定义、绝对值运算、有理数的乘方运算，熟记各运算法则和定义是解题关键． 2．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，|x|＝1，a+b+x2﹣cdx＝ ． 【答案】0或2． 【分析】利用相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值，代入原式计算即可求出值． 【详解】根据题意得：a+b＝0，cd＝1，x＝1或﹣1， 当x＝1时，原式＝0+1﹣1＝0； 当x＝﹣1时，原式＝0+1+1＝2， 综上，原式＝0或2， 故答案为：0或2. 【点睛】此题考查代数式的代入求值，根据相反数，倒数，以及绝对值的代数意义求出各自的值是解题的关键，再整体代入进行计算. 3．若a与b互为相反数，x与y互为倒数，|m|＝2，则式子的值为多少？ 【答案】6或2 【分析】利用a与b互为相反数，x与y互为倒数可得a+b＝0，xy＝1，因为 |m|＝2，所以分情况讨论当m＝2时，当m＝﹣2时，分别计算即可． 【详解】解：∵a与b互为相反数，x与y互为倒数，|m|＝2， ∴a+b＝0，xy＝1，m＝±2， 当m＝2时，原式＝2﹣0+4＝6， 当m＝﹣2时，原式＝﹣2﹣0+4＝2， 综上可得：式子的值为6或2． 【点睛】本题考查相反数，倒数，绝对值，解题的关键是掌握相反数的性质，倒数的性质以及绝对值的性质． 【经典例题六 有理数的除法运算】 【例6】在等式“（－4）□（－2）＝2”，“□”中的运算符号是（    ） A．＋ B．－ C．× D．÷ 【答案】D 【分析】根据有理数除法法则计算即可． 【详解】（－4）+（－2）＝-6， ∴+是不成立的， A不符合题意； （－4）-（－2）＝-2， ∴-是不成立的， B不符合题意； （－4）×（－2）＝8， ∴×是不成立的， C不符合题意； ∵（－4）÷（－2）＝2， ∴应该填“÷”， 故选D． 【点睛】本题考查了有理数的运算，熟练掌握有理数运算法则是解题的关键． 1．已知是有理数，，，则的值为(　　) A． B．1 C．或2 D．1或 【答案】B 【分析】根据a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，把求转化为求的值，根据abc>0得结果． 【详解】因为a，b，c是有理数，a＋b＋c＝0，， 所以b＋c＝−a，a＋c＝−b，a＋b＝−c，且a，b，c有两个负数一个正数， 设a＞0，b＜0，c＜0， 则＝＝＝(−1)＋1＋1＝1， 故选：B． 【点睛】考查了有理数的混合运算、绝对值的化简，解决本题的关键是对a、b、c的分类讨论．注意＝±1（x＞0，结果为1，x＜0，结果为−1）． 2．（23-24七年级上·湖南岳阳·开学考试）甲、乙两车，在同一条路上相距220千米，若两车相向而行，则2小时相遇；若同向而行，则10小时甲赶上乙，则甲车的速度为( )千米/小时． 【答案】66 【分析】分别根据相向而行和同向而行的路程和时间算出速度和与速度差，再利用和差关系计算即可． 【详解】解：两车的速度和是：， 两车的速度差是： ∴甲车的速度是：， 故答案为：66． 【点睛】本题考查了简单的行程问题，解题的关键是掌握和差公式的利用． 3．（22-23七年级下·湖南常德·期中）用简便方法计算： 【答案】 【分析】此题考查了有理数的混合运算，把除法变为乘法后，利用乘法分配律进行计算即可. 【详解】解： 【经典例题七 有理数的除法应用】 【例7】在下列年份中，不是闰年的是（        ） A．1992年 B．2000年 C．2016年 D．1900年 【答案】D 【分析】根据不是整百的年份能够被4整除就是闰年，整百的年份能够被400整除就是闰年，逐项计算，进行判断即可． 【详解】解：A.，故1992年是闰年，不符合题意； B.，故2000年是闰年，不符合题意； C.，故2016年是闰年，不符合题意； D.，故1900年不是闰年，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了有理数除法的运用，熟练掌握不是整百的年份能够被4整除就是闰年，整百的年份能够被400整除就是闰年，是解题的关键． 1．若1＜x＜2，则的值是（    ） A．﹣3 B．﹣1 C．2 D．1 【答案】D 【分析】在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 【详解】解：， ，，， 原式， 故选：． 【点睛】本题主要考查了绝对值，代数式的化简求值问题．解此题的关键是在解绝对值时要考虑到绝对值符号中代数式的正负性，再去掉绝对值符号． 2．小忆对全班同学最喜爱丹顶鹤的人数运用划记法记录数据进行统计，喜欢的人数记，“正正”，经统计喜欢丹顶鹤的人数有 人，占全班人数的，则全班共有 人． 【答案】 13 52 【分析】 本题考查了有理数运算的应用．由题意一个正代表5个人，已知喜欢的人数记为“正正”，易求喜欢丹顶鹤的人数，再根据喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的，从而可以求出全班人数． 【详解】 解：由题意，喜欢的人数记为“正正”， ∴喜欢丹顶鹤的人数有人， ∵喜欢丹顶鹤的人数占全班人数的， ∴全班人数为：人． 故答案为：13、52． 3．一只小虫从某点出发，在一条直线上来回爬行，假定把向右爬行的路程记为正数，向左爬行的路程记为负数，则爬行各段路程（单位：厘米）依次为： ，，，，，， (1)通过计算说明小虫是否回到起点； (2)如果小虫爬行的速度为0.5厘米/秒，那么小虫共爬行了多长时间． 【答案】(1)小虫回到起点 (2)小虫共爬行了108秒 【分析】本题考查正负数的应用．有理数运算的应用． （1）将所有数据相加，根据和的情况进行判断即可； （2）将所有数据的绝对值相加后，除以速度，即可． 读懂题意，正确的列出算式，是解题的关键． 【详解】（1）解： （厘米） 答：小虫回到起点． （2）（秒）； 答：小虫共爬行了108秒． 【经典例题八 有理数乘除的混合运算】 【例8】计算的结果是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据除以一个数等于乘以这个数的倒数，可转化成有理数的乘法，根据有理数的乘法，可得答案． 【详解】（-1）÷（-9）×=-1×（-）×=， 故选C． 【点睛】本题考查了有理数的除法，利用了有理数的乘除法，先确定符号，再进行绝对值得运算． 1．计算(－3)×÷×3的结果是(　　)． A．9 B．－9 C．1 D．－1 【答案】A 【详解】试题解析：原式=（-1）×（-3）×3=9． 故选A． 2．若，则的值为 ． 【答案】5或−3或1． 【分析】有三种可能：①a、b、c、d都是正数，此时＝1＋1＋1＋1＋1＝5；②a、b、c、d都是负数，此时＝−1−1−1−1−1＋1＝−3；③a、b、c、d中有两个正数，有两个负数，此时＝0，由此即可解决问题. 【详解】∵abcd＞0， ∴＝1， ∵abcd＞0， ∴有三种可能：①a、b、c、d都是正数，此时＝1＋1＋1＋1＋1＝5； ②a、b、c、d都是负数，此时＝−1−1−1−1−1＋1＝−3； ③a、b、c、d中有两个正数，有两个负数，此时＝0， 故＝1． 综上所述，的值为5或−3或1． 故答案为：5或−3或1． 【点睛】本题考查绝对值的应用，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 3．阅读下面的解题过程： 计算： 解：原式=第一步 第二步 第三步 解答下列问题： (1)上面的解题过程中有两处错误：第一处错误是第______步，第二处错误是______步． (2)写出正确求解原式的计算过程． 【答案】(1)二；三 (2)见解析 【分析】（1）根据有理数的乘除运算法则，从左往右，进行计算； （2）先通分，计算小括号的，然后从左往右依次计算，即可． 【详解】（1）∵乘除运算属于同级运算，同级运算中，从左往右，进行计算 ∴第二步应该先计算，化除法为乘法： ∴第二步计算错误； ∵同号为正，负负为正 ∴去括号银行应该为正数 ∴第三步错误． （2） 原式 ． 【点睛】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数乘除混合运算，运算顺序和符号是易错点． 【经典例题九 与有理数乘除有关的新定义问题】 【例9】若定义一种新的运算，例如：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据新定义运算先计算，进而计算，即可求解． 【详解】解：依题意， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，根据新定义列出算式是解题的关键． 1．对于任意非零实数a，b，定义运算“※”如下：，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，根据题意得出是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ 故选：D 2．对于任意的有理数，定义新运算：，如． 试计算： ． 【答案】 【分析】利用定义的新运算转化为有理数的混合运算，进一步计算得出答案即可． 【详解】解：由题意得：， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查新定义下的运算，认真读懂题意是关键． 3．对于有理数a、b，定义新运算：“”，． (1)计算：________；________； ________（填“>”或“=”或“<”）； (2)我们知道：有理数的加法运算和乘法运算满足交换律，那么，由（1）计算的结果，你认为这种运算：“”是否满足交换律？若满足，请说明理由；若不满足，请举例说明． 【答案】(1)，， (2)满足交换律，理由见解析 【分析】本题考查有理数的混合运算，新定义，理解新定义是关键． （1）按照题中新定义的运算进行计算即可作出判断； （2）就一般情况根据新定义进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； ∵，， ∴； ∵，； ∴； 故答案：，， （2）解：运算：“”满足交换律 理由如下： 由新定义知：，， ∴， 表明运算“”满足交换律． 【经典例题十 有理数乘除法中的多结论问题】 【例10】若有理数a、b在数轴上表示的点的位置如图所示．下列结论： ①；    ②；    ③； ④；    ⑤；    ⑥． 其中正确结论的个数是（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，以及比较有理数的大小，根据数轴可以确定a、b的正负和它们的绝对值的大小，从而判断题目中各式子是否正确． 【详解】解：由图可知：，，， ，则①正确； ，则②错误； ，则③正确； ，则④正确； ，则⑤错误； ，则⑥正确； 综上所述，正确的结论有①③④⑥，共个， 故选：C． 1．下列说法：①若数a的绝对值等于a，则a是正数；②若，则a、b、c互为相反数；③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数；④若两个数的商为，则这两个数互为相反数；⑤除以一个数等于乘这个数的倒数；⑥几个数相乘，积的符号由负因数的个数决定．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了绝对值，相反数，有理数的运算，解题的关键是熟练掌握相关的定义和运算法则， 根据绝对值，相反数，有理数的运算进行解答即可 【详解】解：①若数a的绝对值等于a，则a是正数或0，故此选项错误； ②若，a、b、c不互为相反数，因为相反数指的是两个数，故此选项错误； ③若两个数的和为正数，则这两个数中至少有一个是正数，故此选项正确； ④若两个数的商为，则这两个数互为相反数，故此选项正确；； ⑤除以一个数等于乘这个数（0除外）的倒数，故此选项错误； ⑥当几个不为0的数相乘时，积的符号由负因数的个数决定，故此选项错误； 则正确的只有2个， 故选：B 2．下列各说法中，正确的个数有（    ） ①若，则一定是负数；②一个正数一定大于它的倒数；③除以一个数，等于乘以这个数的倒数；④若，则；⑤若，则且； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据绝对值的性质、倒数、有理数除法运算、有理数乘法法则逐个判定即可． 【详解】解：①若，则可能是负数，也可能是零，故①错误； ②小于1的正数的倒数，这个正数小于它的倒数，故②错误； ③除以一个数（0除外）等于乘以这个数的倒数，故③错误； ④若，则，说法正确； ⑤若，则且或且，即⑤错误． 故选A． 3．已知有理数，数轴上的位置如图所示，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的加减，除法和有理数的大小比较．根据各点在数轴上的位置，判断①，根据加法、减法和倒数确定②③④． 【详解】解：由数轴知，， 则，故①正确； ，故②正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，即；故③正确， ∴，故④不正确 故选：C． 【经典例题十一 有理数乘除法中的程序计算】 【例11】如图所示的程序框图，如图所示的运算程序中，若开始输入的值为100，我们发现第1次输出的结果为50，第2次输出的结果为25，…，第2023次输出的结果为（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】根据设计的程序进行计算，找到循环的规律，根据规律推导计算． 【详解】由设计的程序，可知： 依次输出的结果是50,25,32,16,8,4,2,1,8,4,2,1,…，发现从8开始循环． 则，故第2023次输出的结果是2. 故答案为：B. 【点睛】本题主要考查了数字的变化规律，掌握循环的规律，根据循环的规律进行推广是关键． 1．如图所示运算程序中，若开始输入的值为48，我们发现第1次输出的结果为24，第2次输出的结果为12，…第2017次输出的结果为（　　） A．3 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据题意可以写出前几次输出的结果，从而可以发现输出结果的变化规律，进而得到第2019次输出的结果． 【详解】解：根据题意得：可发现第1次输出的结果是24； 第2次输出的结果是24×=12； 第3次输出的结果是12×=6； 第4次输出的结果为6×=3； 第5次输出的结果为3+5=8； 第6次输出的结果为8=4； 第7次输出的结果为4=2； 第8次输出的结果为2=1； 第9次输出的结果为1+5=6； 归纳总结得到输出的结果从第3次开始以6，3，8，4，2，1循环， ∵（2017-2）6=335.....5， 则第2017次输出的结果为2. 故选：D. 【点睛】本题考查数字的变化类、有理数的混合运算，解答本题的关键是明确题意，发现题目中输出结果的变化规律． 2．如图所示，在这个数据运算程序中，若开始输入的x的值为2，结果输出的是1，返回进行第二次运算则输出的是﹣4，…，则第2021次输出的结果是 ． 【答案】-6 【分析】先根据数据运算程序计算出第1-8次的输出结果，再归纳类推出一般规律，由此即可得． 【详解】解：第1次运算输出的结果为 ×2=1， 第2次运算输出的结果为1−5=−4， 第3次运算输出的结果为 ×(−4)=－2， 第4次运算输出的结果为 ×(−2)=－1， 第5次运算输出的结果为−1−5=－6， 第6次运算输出的结果为×(−6)=－3， 第7次运算输出的结果为−3−5=－8， 第8次运算输出的结果为 ×(−8)=－4， 归纳类推得：从第2次运算开始，输出结果是以−4，−2，−1，−6，−3，−8循环往复的， 因为2021−1=336×6+4， 所以第2021次运算输出的结果与第5次输出的结果相同，即为−6． 故答案为：-6． 【点睛】本题考查了程序图与有理数计算的规律性问题，正确归纳类推出一般规律是解题关键． 3．哥哥在电脑中设置了一个有理数运算程序：输入数及运算符号，再输入，得运算式：． (1)求的值； (2)弟弟在运行该程序时，屏幕显示“该操作无法运行”，请你推测弟弟输入的数据可能是什么情况？ 【答案】(1) (2)输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示无法运行 【分析】（1）根据新定义，进行计算即可求解； （2）根据除数不能为0，即可求解． 【详解】（1）解： . （2）输入的两个数互为相反数，使运算式分母为零，失去意义，故屏幕显示“该操作无法运行” 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，理解新定义运算是解题的关键． 【经典例题十二 利用有理数的乘除法化简含绝对值的分数】 【例12】下列说法正确的有（    ） ①对于任意有理数，代数式有最大值1； ②10条直线两两相交，最多有90个交点： ③已知a、b、c是非零的有理数，且时，则的值为1或； ④规定，如果，，，那么． A．①② B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查的是绝对值的非负性的应用，直线相交交点个数的探究，化简绝对值，新定义运算的含义，由绝对值的非负性的含义可判断①，由直线相交交点个数的规律探究可判断②，由绝对值的含义，结合有理数的除法运算的符号确定可判断③，先根据探究得到，再根据新定义运算的含义可判断④，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴对于任意有理数，代数式有最大值1；故①符合题意； ∵2条直线相交，最多1个交点， 3条直线两两相交，最多3个交点，而， 4条直线两两相交，最多6个交点，而， ∴10条直线两两相交，最多有个交点，故②不符合题意； 由可得，中有一个或三个值为负数， 当，时，， 当时，，故③符合题意； ∵，，， ∴异号，且，， ∴， ∴，故④符合题意； 故选D 1．已知，，若，则x的最大值与最小值的乘积为（    ） A． B． C．6 D．24 【答案】A 【分析】本题考查了有理数的除法，有理数的乘法，绝对值的性质，熟记运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴a、b、c有1个负数或3个负数． ∵， ∴a、b、c只有1个负数， ∴，，， 当时，，时， ， 当时，，时， ， 当时，，时， ， ∴x的最大值为6，最小值为， ∴， 即x的最大值与最小值的乘积为． 故选：A． 2．已知，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，有理数的除法法则，由变形可得：，，，从而原式可化为：；再由和可知：在中必为两正一负或两负一正，分情况讨论就可求得原式的值． 【详解】∵， ∴，，， ∴原式， ∵和， ∴在中必为两正一负或两负一正， ∴当为两正一负时，原式， 当为两负一正时，原式， 故答案为：． 3．【总结提炼】 小明学习了绝对值的性质后，有这样的思考和总结：当时，，则；当时，，则． 【解决问题】 （1）若，则 ． （2）若，则 ． 【拓展提升】 （3）若，计算：_________． 【答案】（1）或2（2）或1；（3）或或3 【分析】（1）分和，两种情况进行讨论求解即可； （2）分 中有一个负数和三个均为负数，两种情况进行讨论求解； （3）分，和，两种情况，进行讨论求解． 【详解】解：（1）∵， ∴同号， 当时：； 当时：； 故答案为：或2； （2）∵， ∴有两种情况：有一个负数和两个正数或三个均为负数， 当时，则：； 当有两个正数和一个负数时，假设：，则：； 故答案为：或1； （3）∵， ∴中有两正一负， ①当时：则：均为正， ∴， ∴； ②当时，则：一正一负， 若，则：，此时：； 如，则：，此时：； 综上，原式或或3． 故答案为：或或3 【点睛】本题考查化简绝对值，有理数乘法的符号法则．熟练掌握绝对值的性质，利用分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 1．的相反数的倒数是（    ）． A． B．2022 C． D． 【答案】D 【分析】根据绝对值的性质、相反数和倒数的定义求解即可，绝对值：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数；相反数定义：符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数；倒数定义：两个数相乘积等于1的两个数互为倒数． 【详解】解：=2022， 2022的相反数是-2022， -2022的倒数是， 故选D 【点睛】本题考查了绝对值的性质、相反数和倒数的定义，熟练掌握相关性质和定义是解题关键． 2．在数轴上有、两个有理数的对应点，则下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴上的位置判断、两个有理数的正负和绝对值大小即可． 【详解】解：根据数轴可知，＜0，＞0，， ∴，，，， ∴A、B、D错误，C正确; 故选：C． 【点睛】本题考查了数轴上表示数和有理数的运算，解题关键是通过数轴确定两个有理数的正负和绝对值大小． 3．若“!”是一种数学运算符号,并且1!=1,2!=2×1=2,3!=3×2×1=6,4!=4×3×2×1,…且公式=，则=(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题目信息，表示出然后通分整理计算即可. 【详解】解：依题意得： ∴ = = = = 故选：B 【点睛】本题是信息给予题，读懂题目信息是解题的关键. 4．现有以下五个结论：①有理数包括所有正数、负数和0；②若两个数互为相反数，则它们相除的商等于－1；③数轴上的每一个点均表示一个确定的有理数；④绝对值等于本身的有理数是0；⑤几个有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数． 其中正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】①根据有理数的分类即可判断； ②根据相反数的性质即可判断； ③根据数轴上的点与有理数的关系即可判断； ④根据绝对值的性质即可得出答案； ⑤根据有理数乘法法则即可得出答案． 【详解】①有理数包括所有正有理数、负有理数和0，故原命题错误； ②若两个非零数互为相反数，则它们相除的商等于－1，故原命题错误； ③数轴上的每一个点均表示一个确定的实数，故原命题错误； ④绝对值等于本身的有理数是0和正数，故原命题错误； ⑤几个非零有理数相乘，负因数的个数为奇数，则乘积为负数，故原命题错误； 所以正确的有0个， 故选：A． 【点睛】本题主要考查有理数，相反数，绝对值，数轴上的点与有理数的关系，掌握有理数的分类，相反数，绝对值的性质，数轴上的点与有理数的关系是解题的关键． 5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9=10×7+2=72．那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为（　　） A．1，2 B．1，3 C．4，2 D．4，3 【答案】A 【分析】通过猜想得出数据，再代入看看是否符合即可． 【详解】解：一只手伸出1，未伸出4，另一只手伸出2，未伸出3，伸出的和为3×10=30， 30+4×3=42， 故选A． 【点睛】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关系． 6．计算：＝ ． 【答案】﹣ 【分析】根据有理数除法法则进行计算即可得到答案． 【详解】解： ＝， 故答案为：﹣． 【点睛】本题主要考查了有理数的除法，熟练掌握有理数除法法则是解答本题的关键． 7．计算，结果是 ． 【答案】 【分析】根据有理数的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解：原式=×=， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘除混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数的乘除混合运算法则． 8．一个数的倒数的相反数是3，这个数是 ． 【答案】- 【分析】根据相反数，倒数的概念可知． 【详解】解：∵3的相反数是-3，-3的倒数是-， ∴这个数是-． 故答案为: -． 【点睛】本题考查相反数，倒数的概念及性质．只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0．若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数． 9．有三个有理数，分别是、、，或者写成、、，那么数的值是 ． 【答案】1 【分析】三个有理数，分别是、、，或者写成、、的形式，也就是说这两个数组的数分别对应相等，据此即可确定三个有理数，求得a，b的值． 【详解】由于三个有理数，分别是、、，或者写成、、，也就是说这两个数组的数分别对应相等．于是可以判定a+b与a中有一个是0，但若a=0，会使无意义，∴a≠0，只能a+b=0，即a=﹣b，于是=1．只能是b=－1，于是a=1． 故答案为1． 【点睛】本题考查了有理数的运算，关键是根据两个数组的数分别对应相等确定a，b的值． 10．下列5个数：﹣3，﹣2，1，4，5中取出三个不同的数，其和最大是 ，其积最大是 ． 【答案】 10； 30 【分析】利用有理数的加法、乘法法则判断即可． 【详解】下列5个数：-3，-2，1，4，5中取出三个不同的数，其和最大是1+4+5=10，其积最大是（-3）×（-2）×5=30； 故答案为10；30 【点睛】此题考查了有理数的乘法，熟练掌握乘法法则是解本题的关键． 11．计算题： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1） ． （2） ． 【点睛】此题考查了有理数的计算，乘法运算律，在进行计算时有时可以利用运算律进行简便计算，熟练掌握乘法运算律是解题的关键． 12．甲、乙两地相距千米，一辆快车和一辆慢车同时从两地出发，相向而行，小时后两车在距中点千米处相遇，快车每小时比慢车每小时多行多少千米？ 【答案】快车每小时比慢车每小时多行千米 【分析】根据总路程相遇时间速度和，就可求出快车和慢车的速度和为（千米/小时），再由快车和慢车同时从两地相向开出，小时后两车距两地中点千米处相遇，由此可见快车小时比慢车多行（千米），所以快车每小时比慢车每小时多行（千米）． 【详解】解：快车和慢车的速度和为（千米/小时）， 快车小时比慢车多行（千米）， 快车每小时比慢车每小时多行（千米）． 故快车每小时比慢车每小时多行千米． 【点睛】本题考查了行程问题，解答此题关键是明白小时后两车距两地中点千米处相遇，就是快车小时比慢车多行（千米）． 13．已知：，N=18 (1)计算M、N的值． (2)求M的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）对先将小数化为分式，再通分，最后算乘方，对利用乘法的交换律来简便求解； （2）根据（1）中求出的结果直接计算即可． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 【点睛】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握乘法的运算法则及运算律． 14．观察下列各式： 第1个等式：；第2个等式：； 第3个等式：；…… (1)根据上述规律写出第5个等式： ； (2)第n个等式： ；（用含n的式子表示） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的乘法运算， （1）根据题干，模仿写出第5个等式，即可作答； （2）由（1）以及题干条件，即得第n个等式：； （3） 由（2）的结论，先化简再运算，即可作答， 掌握第n个等式：是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，第5个等式： ； （2）解：第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； 第5个等式：； …… 故第n个等式：； （3）解：由（2）知第n个等式：； 则 15．某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如表（规定向南为正，向北为负，单位：）： 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批 (1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司什么方向，距离公司多少千米？ (2)若该出租车每千米耗油0.3升，那么在这过程中共耗油多少升？ (3)若该出租车的计价标准为：行驶路程不超过收费10元，超过的部分按每千米加1.6元收费，在这过程中该驾驶员共收到车费多少元？ 【答案】(1)接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南方，距离公司6千米 (2)共耗油6升 (3)共收到车费59.6元 【分析】（1）根据有理数加法运算法则结合正负数的意义即可求出答案． （2）先求出所行驶路程总和，然后再求耗油量； （3）根据题意分别求每批客人的运费，从而求解． 【详解】（1）解：（千米）， 答：接送完第5批客人后，该驾驶员在公司南方，距离公司6千米； （2）解： （千米）， （升）， 答：在这过程中共耗油6升； （3）解：第1批客人运费为（元）， 第2批客人运费为10元； 第3批客人运费为（元）， 第4批客人运费为10元， 第5批客人运费为（元）， （元）， 答：在这过程中该驾驶员共收到车费59.6元． 【点睛】本题考查有理数混合运算的应用，正负数的意义，解题的关键是熟练运用正负数的意义，掌握有理数加法及乘法运算法则是解题关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$