3.2.2 奇偶性同步练习 2024-2025学年高一数学人教A版（2019）必修第一册

3.2.2　奇偶性 一、必备知识基础练 1.[探究点一·2024辽宁抚顺高一期中]下列函数是奇函数的是(　　) A.y=- B.y=x+1 C.y= D.y=2x2 2.[探究点一]下列函数图象,既是奇函数又是增函数的是(　　) 3.[探究点一]函数f(x)=是(　　) A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数也是偶函数 D.既不是奇函数也不是偶函数 4.[探究点三(角度1)]下列说法中,正确的是(　　) A.偶函数的图象一定与y轴相交 B.若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则f(0)=0 C.既是奇函数也是偶函数的函数一定是f(x)=0,x∈R D.图象过原点的增函数(或减函数)一定是奇函数 5.[探究点三(角度1)]若偶函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则a=f(-),b=f(),c=f()的大小关系是(　　) A.b<a<c B.b<c<a C.a<c<b D.c<a<b 6.[探究点三(角度1)](多选题)已知定义在区间[-7,7]上的一个偶函数,它在区间[0,7]上的图象如图,则下列说法正确的是(　　) A.这个函数有2个单调递增区间 B.这个函数有3个单调递减区间 C.这个函数在其定义域内有最大值7 D.这个函数在其定义域内有最小值-7 7.[探究点二]已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3-3x+1,则当x∈(0,+∞)时,f(x)=　　　　　. 8.[探究点三(角度2)·2024江苏连云港高一月考]已知f(x)=+bx-4,其中a,b为常数,若 f(-2)=2,则f(2)=　　　. 9.[探究点三(角度1)]若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是增函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是　 . 10.[探究点三(角度1)]已知f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x2-x. (1)求f(x)的解析式; (2)画出f(x)的图象; (3)求该函数的值域. 二、关键能力提升练 11.若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 12.设函数f(x),g(x)的定义域为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是(　　) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 13.(多选题)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,当x≥0时,f(x)=x-x2,则下列说法正确的是(　　) A.f(-1)=0 B.f(x)的最大值为 C.f(x)在(-1,0)上单调递增 D.f(x)>0的解集为(-1,1) 14.已知函数f(x)为R上的奇函数,且当x≥0时,f(x)=-x2++t,则t=　　　　, f(-2)= 　　　　.  15.已知f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=-x2+2x. (1)求函数f(x)在R上的解析式; (2)若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,求实数b的取值范围. 三、学科素养创新练 16.(多选题)给出定义:若m-<x≤m+(其中m为整数),则称m为离实数x最近的整数,记作{x},即{x}=m.则下列关于函数f(x)=x-{x}的四个说法中正确的有(　　) A.函数y=f(x)的定义域是R,值域是 B.函数y=f(x)是偶函数 C.函数y=f(x)是奇函数 D.函数y=f(x)在(-]上单调递增 17.(1)已知函数f(x),x∈R,若对于任意实数x1,x2,都有f(x1+x2)+f(x1-x2)=2f(x1)·f(x2), 求证:f(x)为偶函数; (2)设函数f(x)定义在(-t,t)上,证明:f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数. 答案 1.A　y=-的定义域为{x|x≠0},因为-=-(-),所以y=-是奇函数,故A正确; y=x+1的定义域为R,因为-x+1≠-(x+1),所以y=x+1不是奇函数,故B错误; y=的定义域为{x|x≥0},所以y=既不是奇函数也不是偶函数,故C错误; y=2x2的定义域为R,因为2(-x)2=2x2,所以y=2x2是偶函数,故D错误.故选A. 2.A 3.D　因为f(x)=, 所以x+1≠0,即x≠-1,故f(x)的定义域为{x|x≠-1},显然f(x)的定义域不关于原点对称, 故f(x)既不是奇函数也不是偶函数.故选D. 4.B　y=是偶函数,但函数与y轴没有交点,故A错误; 若奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则由f(-x)=-f(x)得f(-0)=-f(0),即f(0)=0,故B正确; 若函数f(x)是奇函数,则f(-x)=-f(x),若函数f(x)是偶函数,则f(-x)=f(x), 则-f(x)=f(x),则f(x)=0,此时只要定义域关于原点对称即可,故C错误; 函数的单调性和奇偶性没有关系,故过原点的增函数(或减函数)不一定是奇函数,故D错误.故选B. 5.C　由f(x)为偶函数,得a=f(-)=f(). 又,且f(x)在(0,+∞)上是增函数, ∴f()<f()<f(),即a<c<b. 6.BC　根据偶函数的图象关于y轴对称,可得它在区间[-7,7]上的图象,如图所示,因此这个函数在区间[-7,7]上有3个单调递增区间,3个单调递减区间,在其定义域内有最大值7,最小值不能确定,故选BC. 7.2x3-3x-1 8.-10　设g(x)=f(x)+4=+bx,g(-x)=--bx=-g(x),g(x)的定义域为x≠0,关于原点对称, 所以g(x)是奇函数, g(-2)=f(-2)+4=6,则g(2)=-g(-2)=-6, 又g(2)=f(2)+4,所以f(2)=-10. 9.(-∞,-2)∪(2,+∞)　因为函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,所以f(x)在[0,+∞)上是减函数,又因为f(2)=0,所以f(x)<0⇔f(|x|)<0=f(2),即|x|>2,所以x>2或x<-2. 10.解 (1)当x<0时,-x>0,故f(-x)=(-x)2-(-x)=x2+x, 因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(-x)=f(x), 所以f(x)=x2+x(x<0). 综上,f(x)= (2)当x≥0时,f(x)=x2-x=, 故此时函数f(x)在区间(0,)上单调递减,在区间(,+∞)上单调递增,又因为f(x)为偶函数,故f(x)在区间(-∞,-)上单调递减,在区间(-,0)上单调递增, 且f(-)=f()=-,f(-1)=f(1)=f(0)=0, 画出函数图象如下. (3)由图象可得出函数的值域为[-,+∞). 11.B　f(-x)=(m-1)x2-(m-2)x+(m2-7m+12),f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12), 由f(-x)=f(x),得m-2=0,即m=2. 12.C　∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). f(-x)g(-x)=-f(x)g(x),故f(x)g(x)是奇函数, 故A错误; |f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x), 故|f(x)|g(x)是偶函数,故B错误; f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,故f(x)|g(x)|是奇函数,故C正确; |f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)|,故|f(x)g(x)|是偶函数,故D错误.故选C. 13.AB　f(-1)=f(1)=0,A正确;当x≥0时,f(x)=x-x2=-(x-)2+,∴f(x)的最大值为,B正确因为f(x)在(-,0)上单调递减,C错误;f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1),D错误. 14.-1　　因为函数f(x)为R上的奇函数, 所以f(0)=0,即-02++t=0,解得t=-1. 所以f(x)=-x2+-1. 所以f(2)=-22+-1=-. 又函数f(x)为R上的奇函数, 所以f(-2)=-f(2)=. 15.解(1)根据题意,f(x)是定义在R上的奇函数,则f(0)=0, 若x<0,则-x>0,则f(-x)=-(-x)2+2(-x)=-x2-2x, 又由f(x)为奇函数,则x<0时,f(x)=-f(-x)=x2+2x,综上可得,f(x)= (2)由(1)知f(x)=作出函数图象如图, 若f(x)在区间[-2,b)上有最大值,即函数图象在区间[-2,b)上有最高点,必有-2<b≤0或b>1, 故b的取值范围为(-2,0]∪(1,+∞). 16.AD　化简函数解析式可得, f(x)=x-{x}= 画出函数的图象,如图所示.由图象可知函数y=f(x)的定义域是R,值域是(-],故A正确;由图可知,函数图象既不关于y轴对称,也不关于坐标原点对称,且f(x)在(-]上单调递增,故函数f(x)既不是奇函数,也不是偶函数,从而B,C错误,D正确. 17.证明 (1)令x1=0,x2=x,得f(x)+f(-x)=2f(0)·f(x).① 令x2=0,x1=x, 得f(x)+f(x)=2f(0)·f(x).② 由①②,得f(x)+f(-x)=f(x)+f(x), 即f(-x)=f(x),∴f(x)是偶函数. (2)∵x∈(-t,t),∴-x∈(-t,t). f(-x)的定义域也是(-t,t). 设F(x)=f(x)+f(-x),G(x)=f(x)-f(-x),则F(x)与G(x)的定义域也是(-t,t),显然是关于原点对称的. ∵F(-x)=f(-x)+f(-(-x))=f(-x)+f(x)=F(x), G(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-[f(x)-f(-x)]=-G(x), ∴F(x)为偶函数,G(x)为奇函数,即f(x)+f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$