3.3 幂函数 同步练习-2024-2025学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

3.3　幂函数 一、必备知识基础练 1.[探究点一]已知幂函数f(x)=xα(α是常数)的图象经过点(4,2),则α的值为(　　) A.- B. C.-2 D.2 2.[探究点二]函数y=-1的图象关于x轴对称的图象大致是(　　) 3.[探究点三]已知a=1.,b=(,c=,则(　　) A.c<b<a B.c<a<b C.b<a<c D.a<c<b 4.[探究点四]若(a+1<(3-2a,则a的取值范围是　　　　　　　.  5.[探究点一·2024江西高一校联考]已知幂函数f(x)=(m2-5m+7)xm的图象关于y轴对称. (1)求m的值; (2)若函数g(x)=f(x)-2,求g(x)的单调递增区间. 二、关键能力提升练 6.若幂函数f(x)=(m2-2m-2)xm在(0,+∞)上单调递减,则f(2)=(　　) A.8 B.3 C.-1 D. 7.已知幂函数f(x)=,若f(a-1)<f(14-2a),则a的取值范围是(　　) A.[-1,3) B.(-∞,5) C.[1,5) D.(5,+∞) 8.(多选题)已知幂函数y=xα(α∈R)的图象过点(3,27),下列说法正确的是(　　) A.函数y=xα的图象过原点 B.函数y=xα是偶函数 C.函数y=xα是减函数 D.函数y=xα的值域为R 9.幂函数f(x)=(m∈Z)为偶函数且在区间(0,+∞)上单调递减,则m=　　　　　, f()=　　　　　.  10.已知函数f(x)=2+xa(a为不等于0的常数)的图象恒过定点P,则点P的坐标为　　　. 11.已知幂函数f(x)经过点(9,3),则不等式f(x2-x+1)<1的解集为　　　　　.  三、学科素养创新练 12.[2024黑龙江哈尔滨高一期末]已知幂函数f(x)=(p2-3p+3)是其定义域上的增函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若函数h(x)=x+af(x),x∈[1,9],是否存在实数a使得h(x)的最小值为0?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由. 答案 1.B　因为幂函数f(x)=xα的图象经过点(4,2),所以2=4α,所以α=,故选B. 2.B　y=的图象位于第一象限且为增函数,所以函数图象是上升的,函数y=-1的图象可看作由y=的图象向下平移一个单位长度得到的,即为选项A,将y=-1的图象作关于x轴的对称变换后即为选项B. 3.A　b=0.,c==1., ∵>0,函数f(x)=在(0,+∞)上单调递增,且1.2>>1.1,∴1.>1.,即a>b>c. 4.　因为函数f(x)=的定义域为R,且为增函数,所以由不等式可得a+1<3-2a,解得a<. 5.解 (1)由题意知m2-5m+7=1,解得m=2或m=3. 又因为f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)为偶函数,从而m=2.所以f(x)=x2. (2)由(1)知,g(x)=f(x)-2=x2-2=x2-2|x|, 当x≥0时,g(x)=x2-2|x|=x2-2x,图象对称轴为直线x=1, 所以g(x)在区间(0,1)上单调递减,在区间(1,+∞)上单调递增. 当x<0时,g(x)=x2-2|x|=x2+2x,图象对称轴为直线x=-1, 所以g(x)在区间(-∞,-1)上单调递减,在区间(-1,0)上单调递增. 因此g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞). 6.D　函数f(x)=(m2-2m-2)xm为幂函数,则m2-2m-2=1,解得m=-1或m=3.当m=-1时,f(x)=x-1,在(0,+∞)上单调递减,满足题意;当m=3时,f(x)=x3,在(0,+∞)上单调递增,不满足题意,所以m=-1,所以f(x)=,所以f(2)=,故选D. 7.C　由幂函数f(x)=,若f(a-1)<f(14-2a), 可得,即得1≤a<5. 所以a的取值范围为[1,5). 8.AD　因为幂函数图象过(3,27),则有27=3α,所以α=3,即y=x3.故函数是奇函数,图象过原点,函数在R上单调递增,值域是R,故A,D正确,B,C错误.故选AD. 9.2或3　4　幂函数f(x)=为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减,∴m2-5m+4<0,且m2-5m+4是偶数,由m2-5m+4<0得1<m<4.由题知m是整数,故m的值可能为2或3,验证知m=2或3时,均符合题意,故m=2或3,此时f(x)=x-2,则f()=4. 10.(1,3)　因为y=xa的图象恒过(1,1), 所以f(x)=2+xa的图象恒过定点P(1,3). 11.(0,1)　设幂函数f(x)=xa, 由题意得9a=3,解得a=,故f(x)=,f(1)=1, 则f(x2-x+1)<1,即为f(x2-x+1)<f(1), 根据f(x)=在区间[0,+∞)上单调递增,则有0≤x2-x+1<1,解得0<x<1,故解集为(0,1). 12.解 (1)因为f(x)=(p2-3p+3)是幂函数, 所以p2-3p+3=1, 解得p=1或p=2. 当p=1时,f(x)=,在区间(0,+∞)上单调递减, 当p=2时,f(x)=,在区间(0,+∞)上单调递增, 所以f(x)=. (2)h(x)=x+af(x)=x+a,令t=,因为x∈[1,9],所以t∈[1,3], 则原函数转化为k(t)=t2+at,t∈[1,3],图象的对称轴为直线t=-. ①当-≤1,即a≥-2时,函数k(t)在区间[1,3]上单调递增,k(t)min=k(1)=1+a=0,解得a=-1. ②当1<-<3,即-6<a<-2时,k(t)min=k(-)=-=0, 解得a=0,不符合题意,舍去. ③当-≥3,即a≤-6时,函数k(t)在区间[1,3]上单调递减,k(t)min=k(3)=9+3a=0, 解得a=-3,不符合题意,舍去. 综上,存在实数a=-1使得h(x)的最小值为0. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$