精品解析：江苏省常州市中天实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题

常州市中天实验学校2022-2023学年第一学期第一次单元练习 九年级数学试卷 班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________ 一．选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，某河堤迎水坡的坡比，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是平行四边形，AC，BD相交于点O，AD，BE相交于点P，且，AC，BE相交于点Q．下列结论错误的是（ ） A. ∠POD＝∠AED B. EC＝4PO C. PE＝3PQ D. 二．填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 一元二次方程的根是__________． 10. 若关于x的方程有一个根为，则的值是 _____． 11. 若一幅地图的比例尺是1：5000000，测得哈尔滨到长春的图上距离为5厘米，那么这两座城市的实际距离是______千米． 12. 已知中，，则____________． 13. 随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为___________． 14. 如果，那么的值为 __． 15. 以坐标原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大得到△DEF，点C（2，3）的对应点F在第一象限，则点F的坐标为____． 16. 如图，中，，于，，，则的长为___________． 17. 如图，在中，点分别为边上的点，，，的面积为2，则四边形的面积为____________． 18. 如图，在中，，点分别是的中点，在射线上有一动点，若是直角三角形，则的长为____________． 三．解答题：（本大题共8小题，共64分．第19题16分，第20、21、22、23每题6分，其余每题8分） 19. 解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 20. 如图，的方格都是由边长为1的小正方形组成．的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． （1）画出绕点A旋转得到的，使得点B落在边BC上． （2）请以A为位似中心，作与的面积比为的位似图形． 21. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，求扩展的宽度． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有一个根是—1，求此方程的根的判别式的值． 23. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为点E．求证：． 24. 如图，在中，点D是BC上的点，，且，E为AD上一点，． （1）求证：； （2）若，求AD的长． 25. 从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236） （1）若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m） （2）若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m） 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连结．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 常州市中天实验学校2022-2023学年第一学期第一次单元练习 九年级数学试卷 班级：___________ 姓名：___________ 得分：___________ 一．选择题：（本大题共8小题，每小题2分，共16分） 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的定义包括三点：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2，另外一元二次方程的一般形式是．根据一元二次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：A．当时，不是一元二次方程，故此选项不符合题意； B．是一元一次方程，故此选项不符合题意； C．是一元二次方程，故此选项符合题意； D．是二元二次方程，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 用配方法解方程，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】方程移项后，配方得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：x2-8x=-9，配方得：x2-8x+16=7，即（x-4）2=7， 故选A． 【点睛】此题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 3. 下列两个图形一定是相似图形的是（ ） A. 等边三角形 B. 矩形 C. 等腰三角形 D. 菱形 【答案】A 【解析】 【分析】根据相似图形的定义：形状相同的图形称为相似图形进行分析即可． 【详解】解：A、两个等边三角形的对应边的比相等，对应角相等，故两个等边三角形一定相似，此选项符合题意； B、两个矩形的对应角相等，但对应边的比不一定相等，故两个矩形不一定是相似图形，此选项不符合题意； C、两个等腰三角形对应边的比不一定相等，对应角不一定相等，故两个等腰三角形不一定是相似图形，此选项不符合题意； D、两个菱形的对应角不一定相等，对应边的比相等，故两个菱形不一定是相似图形，此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了相似图形，解题的关键是掌握相似图形的定义． 4. 在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的知识点是求角的正切值，解题关键是熟练掌握求角的正切值的方法． 根据题目分析得，代入即可得解． 【详解】解：依题得：． 故选：． 5. 如图，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵a∥b∥c， ∴，即， 解得，BD＝6， 故选：D． 【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 6. 如图，某河堤迎水坡的坡比，河堤高，则坡面的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据坡度的概念求出，根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】解：，坡的坡比， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 7. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 8. 如图，已知四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是平行四边形，AC，BD相交于点O，AD，BE相交于点P，且，AC，BE相交于点Q．下列结论错误的是（ ） A. ∠POD＝∠AED B. EC＝4PO C. PE＝3PQ D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是平行四边形即可证得OP为△ACD的中位线，即有，且，进而判断A、B选项；先证明，再根据，可得，即有，则可判断C选项；假设D项正确，即有，则有，可证得△AQP∽△EQA，即有∠QAP=∠QEA，进而可得∠CBD=∠EBD，则有BD平分∠CBE，显然BD不总是能平分∠CBE，即假设不成立，故D项错误． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是平行四边形， ∴AB=DC，AB=DE， ∴CD=DE， ∵四边形ABCD是矩形，四边形ABDE是平行四边形， ∴点O为矩形的对角线交点，点P为平行四边形的对角线交点， ∴O为AC中点，P为AD中点， ∴OP为△ACD的中位线，且有BP=PE，AP=PD，AO=OC，BO=OD， ∴，且， ∴，，即4OP=CE，故B正确； ∵， ∴∠POD=∠ABD， ∵在平行四边形ABDE中，∠ABD=∠AED， ∴∠POD=∠AED，故A正确； ∵CD=DE=AB， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵BQ=BE-QE=BP-PQ，PE=BP， ∴， ∴PE=3PQ，故C正确； 假设D项正确，即有， ∴， ∵∠AQP=∠EQA， ∴△AQP∽△EQA， ∴∠QAP=∠QEA， ∵在矩形ABCD中，有∠QAP=∠CBD， ∵根据，有∠QEA=∠EBD， ∴∠CBD=∠EBD， ∴BD平分∠CBE， 显然BD不总是能平分∠CBE， 即假设不成立，故D项错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了矩形和平行四边形的性质、中位线的判定与性质、相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识，灵活运用矩形和平行四边形的性质是解答本题的关键． 二．填空题：（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 9. 一元二次方程的根是__________． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程．利用直接开平方法即可求出答案． 【详解】解：， ， 或0． 故答案为：，． 10. 若关于x的方程有一个根为，则的值是 _____． 【答案】## 【解析】 【分析】把代入方程中，求解即可； 【详解】解：将代入方程得： 解得：， 故答案为：. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解一元一次方程；理解方程的解与方程的关系是解题的关键． 11. 若一幅地图的比例尺是1：5000000，测得哈尔滨到长春的图上距离为5厘米，那么这两座城市的实际距离是______千米． 【答案】250 【解析】 【分析】根据比例尺进行求解即可． 【详解】解：因为一幅地图的比例尺是1：5000000， 测得哈尔滨到长春的图上距离为5厘米， 所以这两座城市的实际距离是厘米=250千米， 故答案为：250． 【点睛】本题主要考查了比例尺，解题的关键是熟知比例尺的定义求解． 12. 已知中，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握三角函数的定义以及勾股定理是解决本题的关键．设，则．勾股定理得到，根据正弦的定义即可得到答案． 【详解】解：如图． ∵，， ∴设，则． ∴． ∴． 故答案为：． 13. 随着新冠疫情趋于缓和，口罩市场趋于饱和，某N95口罩每盒原价为200元，连续两次降价后每盒的售价为72元，则平均每次下降的百分率为___________． 【答案】40% 【解析】 【分析】此题利用基本数量关系：商品原价×（1-平均每次降价的百分率）=现在的价格，列方程即可求解． 【详解】解：设平均每次下降百分率为x， 由题意可得：200×（1-x）2=72． 解得：x1=0.4=40%，x2=1.6（不合题意，舍去）． 答：某N95口罩平均每次降价的百分率是40%． 故答案为：40%． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 14. 如果，那么的值为 __． 【答案】 【解析】 【分析】利用合比的性质进行计算即可． 【详解】解：， ， ， 故答案为：. 【点睛】本题考查比例的基本的性质，根据性质内容准确计算是关键. 15. 以坐标原点O为位似中心，相似比为2，将△ABC放大得到△DEF，点C（2，3）的对应点F在第一象限，则点F的坐标为____． 【答案】（4，6） 【解析】 【分析】根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将△ABC放大，C(2,3)， ∴F(2×2，3×2)，即F(4,6)， 故答案为：(4,6)． 【点睛】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，解题的关键是：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 16. 如图，中，，于，，，则的长为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】证明，根据相似三角形的性质列出比例式计算即可． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了摄影定理，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 17. 如图，在中，点分别为边上的点，，，的面积为2，则四边形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为： 18. 如图，在中，，点分别是的中点，在射线上有一动点，若是直角三角形，则的长为____________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，先求出，，当时，根据直角三角形的性质即可得到；当，证明，利用相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 当时， ∵点分别是的中点， ； 当时，如图， ∵点分别是的中点， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为：或 三．解答题：（本大题共8小题，共64分．第19题16分，第20、21、22、23每题6分，其余每题8分） 19. 解一元二次方程： （1）（配方法）； （2）（公式法）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的各种方法是解题的关键． （1）方程两边都除以3，然后移项，配方解方程即可； （2）整理成一般形式，利用公式法解方程即可； （3）变形后用直接开平方法解方程即可； （4）利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 【小问2详解】 整理得， ∵， ∴， ∴， ∴ 【小问3详解】 ∴ ∴ 开平方得，， ∴ 【小问4详解】 ∴ ∴ 即， ∴或， 解得 20. 如图，的方格都是由边长为1的小正方形组成．的顶点都在格点上，请按以下要求在图1，图2中画出相应的格点图形（顶点均在格点上）． （1）画出绕点A旋转得到的，使得点B落在边BC上． （2）请以A为位似中心，作与的面积比为的位似图形． 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【详解】（1）如图1 （2）如图2，3 【点睛】本题考查图形的旋转、位似，旋转时，找准旋转三要素（旋转中心、旋转方向、旋转角度）是关键，注意位似图形两种情况． 21. 如图，要把长为、宽为的长方形花坛四周扩展相同的宽度，得到面积为的新长方形花坛，求扩展的宽度． 【答案】扩展的宽度为 【解析】 【分析】利用长方形的面积计算公式，结合新长方形花坛的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设扩展的宽度为， 依题意，得：， 整理得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：扩展的宽度为． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程根的判别式的值为1，求m的值． （2）如果方程有一个根是—1，求此方程的根的判别式的值． 【答案】（1）m=2；（2） ． 【解析】 【分析】（1）根据判别式的定义得到△=（3m-1）2-4m（2m-1）=1，解得m1=0，m2=2，再利用一元二次方程的定义得到m=2． （2）根据一元二次方程的解的定义，将x=-1代入一元二次方程，求得m值，然后将m值代入原方程，即可求出此方程的根的判别式的值． 【详解】解：（1） ， △=（3m-1）2-4m（2m-1）=1， 整理得m2-2m=0，解得m1=0，m2=2， ∵m≠0， ∴m=2； （2）根据题意，将x=-1代入方程得 ， 整理，得：6m-2=0， 解得：m=， 原方程为 ， △=b2-4ac= = ． 故答案为（1）m=2；（2） ． 【点睛】本题考查根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．也考查了一元二次方程的解． 23. 如图，在中，，是的平分线，，垂足为点E．求证：． 【答案】 证明：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】若要证明，则问题可转化为证明比例线段所在的三角形相似即可，即． 【详解】略 【点睛】本题考查了比例式的证明，解题的一般思路是比例线段所在的三角形相似，同时也考查了对顶角相等的性质． 24. 如图，在中，点D是BC上的点，，且，E为AD上一点，． （1）求证：； （2）若，求AD的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴△ACE∼△BAD； （2）5 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再利用等角的补角相等即可得到，进而即可求证结论； （2）设，则，，，先证明△ACD∼△BCA，利用相似三角形的性质可得，再利用△ACE∼△BAD，根据相似三角形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设，则，，． ∵， ∴∠ACD=∠BCA， ∴△ACD∼△BCA， ∴，即， ∴， 由（1）得：△ACE∼△BAD， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，灵活运用相似三角形的判定及其性质是解题的关键． 25. 从2019年底以来，新冠疫情一直困扰着我们的日常生活，今年为进一步加强疫情防控工作，某公司决定安装红外线体温检测仪，这种设备的原理是采用非接触式测温法，只要用红外体温测试仪的镜头对准被测对象进行扫描，其体温就可立刻在显示屏上显示出来，从而有效地避免了其他常规测温法所可能造成的交叉感染，测温区域示意图如图所示，已知最大探测角∠PAO＝75°，最小探测角∠PBO＝30°．（参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236） （1）若该设备安装在离水平地面距离为2.2m的P处，即OP＝2.2m，请求出图中OB的长度；（结果精确到0.1m） （2）若该公司要求测温区域AB的长度为4 m，请求出该设备的安装高度OP的高度．（结果精确到0.1 m） 【答案】（1）3.8米 （2）2.7米 【解析】 【分析】（1）根据，结合已知即可解得OB的长度； （2）在OP上取一点M，使，则可得，，再解三角形即可解答． 【小问1详解】 解：在Rt△OBP中，， ∴， ∴（米） 答：OB的长度为3.8米； 【小问2详解】 解：在OP上取一点M，使， ∴， ∵∠PAO＝75°， ∴∠APO＝15°，∠PAM＝15°， ∴， 在Rt△OBP中，设，则，， 又∵=，即：， ∴， 解得：， ∴（米） 答：设备的安装高度OP的高度为2.7米 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，构造特殊直角三角形将Rt△OPA分成30°直角三角形和等腰三角形是解题的关键． 26. 【基础巩固】 （1）如图1，在中，，，点为延长线上一点，连结，将线段绕点逆时针旋转90°得到线段，连结．求证：； 【尝试应用】 （2）如图2，在（1）的条件下，连接，若交于点，已知，，求线段的长； 【拓展提高】 （3）如图3，在正方形中，点是对角线延长线上的一点，连结，过点作的垂线交于点，交边于点，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：线段绕点逆时针旋转90°得到线段 ， 又 又， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得出，，根据可证明； （2）证出，求出的长，则可得出答案； （3）延长至点，使得，证明，由相似三角形的性质得出，设，则，得出，，由比例线段求出，证明，由相似三角形的性质得出，则可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ，， 设，， ， ， ， ； 【小问3详解】 延长至点，使得， 同（1）得， ，， ， 连结，交于点， 在正方形中，， ∴， ∴， ∴， ， 设，则， ，， ， 解得：， ，， 又， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $