函数的单调性与最大(小)值 课件-2025届高三数学一轮复习

第二章 函数与基本初等函数 第2节　函数的单调性与最大(小)值 ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI 知识诊断 基础夯实 1 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义   增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I，如果∀x1，x2∈D 当x1＜x2时，都有______________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1＜x2时，都有___________，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 f(x1)＜f(x2) f(x1)＞f(x2) 3 图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间D上__________或__________，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，________叫做y＝f(x)的单调区间. 单调递增 单调递减 区间D 4 2.函数的最值 前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件 (1)∀x∈I，都有__________； (2)∃x0∈I，使得__________ (1)∀x∈I，都有________； (2)∃x0∈I，使得________ 结论 M为最大值 M为最小值 f(x)≤M f(x0)＝M f(x)≥M f(x0)＝M 5 × × × √ 解析　(1)错误，应对任意的x1＜x2，都有f(x1)＜f(x2)成立才可以. (2)错误，反例：f(x)＝x在[1，＋∞)上为增函数，但f(x)＝x的单调区间是 (－∞，＋∞). (3)错误，此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞). D 2.下列函数中是增函数的为(　　) B 解析　∵f(x)的定义域为[1，＋∞)， ∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9. 9 解得－1≤a＜1. 5.(易错题)函数y＝f(x)是定义在[－2，2]上的减函数，且f(a＋1)＜f(2a)，则实数a的取值范围是___________. [－1，1) 解析　由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3， 故f(x)的定义域(－∞，－1)∪(3，＋∞)， 由函数y＝x2－2x－3在(－∞，－1)上单调递减， 故f(x)的单调增区间是(－∞，－1). (－∞，－1) KAODIANTUPOTIXINGPOUXI 考点突破 题型剖析 2 解析　y＝－sin x和y＝x2－2x＋3在(0，＋∞)上不具备单调性； y＝ln(x＋1)在(0，＋∞)上单增. 故选D. 1.下列函数中，在区间(0，＋∞)上为减函数的是(　　) D A 该函数图象如图所示， 其单调递减区间是[0，1). [0，1) 设x1＜x2＜－2， 因为(x1＋2)(x2＋2)＞0，x1－x2＜0， 所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)， 所以f(x)在(－∞，－2)上单调递增. (2)若a＞0且f(x)在(1，＋∞)上单调递减，求a的取值范围. 解　设1＜x1＜x2， 因为a＞0，x2－x1＞0， 所以要使f(x1)－f(x2)＞0， 只需(x1－a)(x2－a)＞0恒成立， 所以a≤1.综上所述，a的取值范围是(0，1]. 8 解析　法一　在同一坐标系中， 作函数f(x)，g(x)的图象， 依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分. 易知点A(2，1)为图象的最高点， 因此h(x)的最大值为h(2)＝1. 1 当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数， 当x>2时，h(x)＝3－x是减函数， 因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1. 根据图象可知，函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为[3，＋∞). 训练1 (1)函数y＝|x＋1|＋|x－2|的值域为___________. [3，＋∞) 作出函数的图象如图所示. ∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6， 角度1　比较函数值的大小 例2 设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　) C 解析　f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减， 解析　因为函数f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)＝0.又f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，画出函数f(x)的大致图象如图(1)所示，则函数f(x－1)的大致图象如图(2)所示. 例3 (1)若定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)单调递减，且f(2)＝0，则满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是(　　) A.[－1，1]∪[3，＋∞) B.[－3，－1]∪[0，1] C.[－1，0]∪[1，＋∞) D.[－1，0]∪[1，3] 角度2　解函数不等式 D 当x≤0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≤0，得－1≤x≤0. 当x＞0时，要满足xf(x－1)≥0， 则f(x－1)≥0，得1≤x≤3. 故满足xf(x－1)≥0的x的取值范围是 [－1，0]∪[1，3]. 解析　因为函数f(x)＝ln x＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增， 且f(1)＝ln 1＋2＝2， 所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)， (2)已知函数f(x)＝ln x＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是 ___________________________. 解析　令t＝|x－a|，∴y＝et， t＝|x－a|在(－∞，a]上单调递减， 在[a，＋∞)上单调递增. 又y＝et为增函数， ∴f(x)＝e|x－a|在(－∞，a]上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增，∴a≤1. 例4 (1)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1， ＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是____________. 角度3　求参数的取值范围 (－∞，1] 由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2， 即a≤1或a≥4. 解析　函数f(x)的图象如图所示， (－∞，1]∪[4，＋∞) 当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立等价于函数f(x)在(1，＋∞)上单调递减，所以b＞a＞c. D f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数， 且f(－1)＝3， 由f(a－2)＞3，得f(a－2)＞f(－1)， 即－2＜a－2＜－1，即0＜a＜1. (0，1) 构造函数解决不等式(方程)问题 对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的单调性，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象. 解析　由指数和对数的运算性质可得 2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b. 令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增. 又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)， ∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)， 即f(a)<f(2b)，∴a<2b. 例 (1)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　) A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2 B 解析　原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y， 设函数f(x)＝2x－3－x. 因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增， 所以f(x)在R上单调递增， 即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确. 因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确. (2)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　) A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0 C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0 A FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG 分层训练 巩固提升 3 1.(多选)下列函数中，在区间(0，1)上是增函数的是(　　) AB A 解析　因为f(x)是偶函数， 所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2). 又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数， 所以f(π)＞f(3)＞f(2)， 即f(π)＞f(－3)＞f(－2). 3.设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　) A.f(π)＞f(－3)＞f(－2) B.f(π)＞f(－2)＞f(－3) C.f(π)＜f(－3)＜f(－2) D.f(π)＜f(－2)＜f(－3) A 解析　令g(x)＝－x2－2x＋3，由题意知g(x)＞0，可得－3＜x＜1， 故函数的定义域为{x|－3＜x＜1}. 根据f(0)＝loga3＜0，可得0＜a＜1. 又g(x)在定义域(－3，1)内的单调递减区间是[－1，1)， 所以f(x)的单调递增区间为[－1，1). 4.已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a＞0且a≠1)，若f(0)＜0，则此函数的单调递增区间是(　　) A.(－∞，－1] B.[－1，＋∞) C.[－1，1) D.(－3，－1] C 解析　因为对任意x1≠x2， 所以y＝f(x)在R上是增函数， D 解析　f(x)＝loga|x－1|的定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞). 设z＝|x－1|，可得函数z在(－∞，1)上单调递减； 在(1，＋∞)上单调递增， 由题意可得0＜a＜1，故A正确，B错误； 由于0＜a＜1，可得2 021＜a＋2 021＜2 022. 又f(x)在(1，＋∞)上单调递减， 则f(a＋2 021)＞f(2 022)，故C正确，D错误. 6.(多选)已知函数f(x)＝loga|x－1|在区间(－∞，1)上单调递增，则(　　) A.0＜a＜1 B.a＞1 C.f(a＋2 021)＞f(2 022) D.f(a＋2 021)＜f(2 022) AC 画出函数图象如图所示， 7.函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为_________________________，单调递减区间为_____________________________. (－∞，－1]和[0，1] (－1，0)和(1，＋∞) 单调递增区间为(－∞，－1]和[0，1]，单调递减区间为(－1，0)和(1，＋∞). 解析　由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数， 又易证在定义域R上，f(x)是增函数， 则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)， 8.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为__________. 解析　∵f(x)在R上是奇函数， 又f(x)在R上是增函数， 且log25＞log24.1＞log24＝2＞20.8， ∴f(log25)＞f(log24.1)＞f(20.8)， ∴a＞b＞c. a＞b＞c ∴f(x)的定义域为(－3，1)， 则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1). 令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1， 10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1). (1)求方程f(x)＝0的解； 经检验，均满足原方程成立. (2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值. 解　由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)， 由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)， ∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4， 解　f(x)在R上单调递增.证明如下： ∵f(x)的定义域为R， ∴任取x1，x2∈R，且x1<x2， (2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论； ∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2， ∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0， ∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在R上单调递增. ∴f(ax)<f(2)，即为f(x)<f(2). 又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2. ∴x的取值范围是(－∞，2). (3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围. 解　∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)， 解析　对于a，b：a＝4ln 3π＝ln 34π＝πln 81，b＝3ln 4π＝ln 43π＝πln 64，显然a＞b； 12.已知a＝4ln 3π，b＝3ln 4π，c＝4ln π3，则a，b，c的大小关系是(　　) A.c＜b＜a B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.a＜b＜c B ∴3ln π＜πln 3，∴ln π3＜ln 3π，∴a＞c； 对于b，c：b＝3ln 4π，c＝4ln π3＝3ln π4， 当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)在(0，e)上单调递增， 当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)在(e，＋∞)上单调递减. 解析　当x＞0时，f(x)＝ex－e－x单调递增，且f(0)＝0； 当x≤0时，f(x)＝－x2单调递增，且f(0)＝0， 所以函数f(x)在R上单调递增. 所以a＞b＞c，所以f(a)＞f(b)＞f(c). f(c)＜f(b)＜f(a) 当a＞1时，x2－2x＋a＞0恒成立，定义域为(0，＋∞)， 当a∈(1，4)，x∈[2，＋∞)时， (2)当a∈(1，4)时，求函数f(x)在[2，＋∞)上的最小值； 因此g(x)在[2，＋∞)上是增函数， ∴f(x)在[2，＋∞)上是增函数， 解　对任意x∈[2，＋∞)，恒有f(x)>0. (3)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围. ∴a>3x－x2. 令h(x)＝3x－x2，x∈[2，＋∞). ∴h(x)max＝h(2)＝2. 故a>2时，恒有f(x)>0. 故a的取值范围为(2，＋∞). 1.有关单调性的常用结论 在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数. 2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq \f(1,f（x）)的单调性相反. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.(　　) (2)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1， ＋∞).(　　) (3)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).(　　) (4)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0，则函数f(x)在区间D上是增函数.(　　) A.f(x)＝－x B.f(x)＝ C.f(x)＝x2 D.f(x)＝ 解析　∵函数y＝＝1＋在[2，3]上递减， 3.函数y＝eq \f(x,x－1)在区间[2，3]上的最大值是(　　) A.eq \f(3,2) B.2 C.3 D.3.5 ∴当x＝2时，y＝eq \f(x,x－1)取得最大值eq \f(2,2－1)＝2. 且y＝9x2与y＝在[1，＋∞)内均为增函数， 4.函数f(x)＝9x2＋的最小值为________. 解析　由条件知 6.(易错题)函数f(x)＝eq \f(1,\r(x2－2x－3))的单调增区间为______________. A.y＝－sin x B.y＝x2－2x＋3 C.y＝ln(x＋1) D.y＝2 022－ 解析　由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logt，易知其为减函数. 2.函数y＝logeq \f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2))) C.(－2，3) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)) 由复合函数的单调性法则可知本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为. 3.设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________. 解析　由题意知g(x)＝ 4.已知f(x)＝eq \f(x,x－a)(x≠a). (1)若a＝－2，试证明f(x)在(－∞，－2)上单调递增； 证明　当a＝－2时，f(x)＝. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 则f(x1)－f(x2)＝－ ＝. 解析　因为函数y＝，y＝－log2(x＋4)在区间[－2，2]上都单调递减， 例1 (1)函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－log2(x＋4)在区间[－2，2]上的最大值为________. 所以函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－log2(x＋4)在区间[－2，2]上单调递减， 所以函数f(x)的最大值为f(－2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(－2)－log2(－2＋4)＝9－1＝8. (2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________. 法二　依题意，h(x)＝ 解析　函数y＝ 解析　∵f(x)＝＝＝2＋在[3，4]上单调递减， (2)设函数f(x)＝eq \f(2x,x－2)在区间[3，4]上的最大值和最小值分别为M，m，则eq \f(m2,M)＝________. ∴M＝6，m＝4，∴＝＝. A.f＞f(2－)＞f(2－) B.f＞f(2－)＞f(2－) C.f(2－)＞f(2－)＞f D.f(2－)＞f(2－)＞f 则f＝f(－log34)＝f(log34). 又log34＞1，0＜2－＜2－＜1， ∴f(log34)＜f(2－)＜f(2－)， 即f(2－)＞f(2－)＞f. 所以0<x2－4<1，解得－<x<－2或2<x<. (－，－2)∪(2，) (2)设函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋4x，x≤4，,log2x，x>4.))若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是______________________. 解析　由于函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后得到的图象关于y轴对称，故函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以a＝f＝f. 训练2 (1)已知函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后关于y轴对称，当x2＞x1＞1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)＜0恒成立，设a＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))，b＝f(2)，c＝f(3)，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c＞a＞b B.c＞b＞a C.a＞c＞b D.b＞a＞c (2)已知函数f(x)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq \s\up12(x)－log2(x＋2)，若f(a－2)＞3，则a的取值范围是________. 解析　由f(x)＝－log2(x＋2)知， 解析　函数y＝与y＝－x2＋4在(0，1)都是减函数，故选AB. A.y＝|x| B.y＝x＋3 C.y＝ D.y＝－x2＋4 解析　易知f(x)＝－x＋在上单调递减， 2.函数f(x)＝－x＋eq \f(1,x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－2，－\f(1,3)))上的最大值是(　　) A.eq \f(3,2) B.－eq \f(8,3) C.－2 D.2 故其最大值为f(－2)＝. 所以解得≤a＜2. 5.如果函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）x＋1，x＜1，,ax，x≥1，))满足对任意x1≠x2，都有eq \f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＞0成立，那么实数a的取值范围是(　　) A.(0，2) B.(1，2) C.(1，＋∞) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)) 都有＞0， 故实数a的取值范围是. 解析　由于y＝ 即y＝ 则2x＋1>－x＋2，即x>， 故不等式的解集为. 9.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a＝－feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log2\f(1,5)))，b＝f(log24.1)，c＝f(20.8)，则a，b，c的大小关系为________________. ∴a＝－f＝f＝f(log25). 解　由得－3<x<1， 解得x＝－1－或x＝－1＋， 故f(x)＝0的解为x＝－1±. 由题意可得loga4＝－1，解得a＝，满足条件. 所以a的值为. 11.已知函数f(x)＝a－. (1)求f(0)； 解　f(0)＝a－＝a－1. 则f(x1)－f(x2)＝a－－a＋ ＝. 即a－＝－a＋，解得a＝1， 对于a，c：构造函数f(x)＝， 则f′(x)＝， ∵π＞3＞e，∴f(π)＜f(3)，即＜， ∵eq \f(ln π,π)＞eq \f(ln 4,4)，∴4ln π＞πln 4，ln 4π＜ln π4，∴c＞b，∴a＞c＞b. 因为a＝50.01＞1，0＜b＝log32＜1，c＝log30.9＜0， 13.已知函数f(x)＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－e－x，x＞0，,－x2，x≤0，))若a＝50.01，b＝eq \f(3,2)log32，c＝log30.9，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为________________. 当0＜a＜1时，定义域为{x|0＜x＜1－或x＞1＋}. 14.已知函数f(x)＝lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,x)－2))(a>0，且a≠1). (1)求函数f(x)的定义域； 解　由x＋－2＞0，得＞0， 解　设g(x)＝x＋－2， g′(x)＝1－＝>0， 则f(x)min＝f(2)＝lg. 由于h(x)＝－＋在[2，＋∞)上是减函数， 即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立. $$