河北省石家庄市无极县石家庄实验中学2024-2025学年高二上学期开学模拟检测数学试卷

2024一2025学年度第一学期开学模拟检测 高二数学试卷 一、单选题（共40分） 1．（本题5分）已知平面向量，满足，，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．（本题5分）如图，在直角梯形中，，为边上一点，，为的中点，则＝（    ） A． B． C． D． 3．（本题5分）若复数满足（是虚数单位），则的模长等于（    ） A． B． C． D． 4．（本题5分）如图,为平行四边形所在平面外一点,为的中点,为上一点,当∥平面时,(   ) A． B． C． D． 5．（本题5分）围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是（    ） A． B． C． D．1 6．（本题5分）已知三棱锥的顶点A，B，C都在半径为2的球面上，O是球心，，当△与的面积之和最大时，三棱锥的体积为 A． B． C． D． 7．（本题5分）一个年级有12个班，每个班有50名同学，随机编号为1～50，为了了解他们在课外的兴趣，要求每班第40号同学留下来进行问卷调查，这里运用的抽样方法是 A．系统抽样法 B．分层抽样法 C．随机数表法 D．抽签法 8．（本题5分）在中，点在边的延长线上，且.若，则点在（    ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 二、多选题（共15分） 9．（本题5分）在中，已知，，，则角的值可能为（    ） A． B． C． D． 10．（本题5分）如图，在棱长为的正方体中，点在线段上运动，则（ ） A．平面平面 B．三棱锥的体积为定值 C．异面直线与所成角的取值范围是 D．当为的中点时，三棱锥的外接球的表面积为 11．（本题5分）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中正确的是（    ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 三、填空题（共15分） 12．（本题5分）设向量，且⊥，则向量的模为 13．（本题5分）下列数据的70%分位数为 ． 20，14，26，18，28，30，24，26，33，12，35，22. 14．（本题5分）如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，则的最小值为 . 四、解答题（共80分） 15．（本题16分）已知向量，满足. (1)若，求的值； (2)若的夹角为，求与夹角的余弦值. 16．（本题16分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶7元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶1.5元的价格当天全部处理完.据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：）有关，如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 2 14 34 27 9 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率. （1）求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为（单位：元），若该超市在六月份每天的进货量均为450瓶，写出的所有可能值，并估计大于零的概率. 17．（本题16分）如图，三棱柱的侧棱与底面垂直，，，，，点D是AB的中点． （1）求证：； （2）求三棱锥的体积． 18．（本题16分）在中，内角的对边分别为，且. (1)求角； (2)若，求面积的最大值； (3)若为锐角三角形，求的取值范围. 19．（本题16分）如图所示，一个圆锥形的空杯子上放着一个直径为的半球形的冰淇淋，请你设计一种这样的圆锥形杯子（杯口直径等于半球形的冰淇淋的直径，杯子壁厚忽略不计），使冰淇淋融化后不会溢出杯子，怎样设计最省材料？最省材料为多少？    试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．B 【分析】首先根据题意得到，再根据向量夹角公式求解即可. 【详解】因为，，， 所以，所以， 设向量与的夹角为，则， 因为，所以． 故选：B 2．C 【分析】根据平面向量的三角形法则和共线定理即可得答案. 【详解】解： 故选：C. 【点睛】本题考查用基底表示向量，向量的线性运算，是中档题. 3．D 【分析】先化简已知条件求出，再求模长 【详解】 所以，所以 故选：D 4．D 【分析】连接交于,连接,因为∥平面,平面,平面平面,可得∥,结合已知条件,即可求得答案. 【详解】连接交于,连接,    ∥平面,平面 平面平面, ∥, 故: ① 又∥,为的中点, ② 由①②可得: 故选:D. 【点睛】本题考查了根据线面平行求线段比例,解题关键是掌握线面平行判定定理,考查了分析能力和空间想象能力,属于基础题. 5．C 【解析】利用互斥事件和的概率等于概率的和计算结果. 【详解】从中取出2粒恰好是同一色包含都是黑子或都是白子两个事件，这两个事件是互斥事件，设两粒是同一色为事件，同为黑子为事件，同为白子为事件， 则. 故选：C 【点睛】本题考查互斥事件和的概率，属于基础题型. 6．B 【详解】试题分析：， ∴当时， 取得最大值，此时，，平面AOB， ，故选B． 考点：三棱锥的体积． 7．A 【分析】根据系统抽样的特征及适用条件即可求解. 【详解】解：当总体容量N较大时，采用系统抽样，将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，在第一段上采用简单随机抽样确定一个起始编号， 在此编号的基础上加上分段间隔的整数倍即为抽样编号，这种抽样方法是系统抽样，每班的第号同学进行问卷调查是系统抽样． 故选：A. 8．B 【分析】根据向量共线定理的推论，求得三点共线；再根据，即可判断点的位置. 【详解】因为 所以，由向量共线定理可知三点共线. ∵，∴， ∴. 又∵， ∴点在线段上，且不与、点重合. 故选：B 【点睛】本题考查向量共线定理的应用，属基础题. 9．AC 【分析】根据正弦定理求出，根据可得或. 【详解】由正弦定理得，得， 因为，且，所以或. 故选：AC. 10．ABD 【分析】直接利用正方体的性质，几何体的体积公式, 异面直线的夹角和外接球的表面积公式逐项判断即可. 【详解】对于，由正方体的性质，在、上的射影分别为、， 而，，则，，， 又平面 所以面，平面，所以平面平面，故正确； 对于，因为，平面， 所以点到平面的距离为定值，又的面积不变， 所以三棱锥的体积为定值，故正确； 对于，因为， 所以异面直线与所成的角就是直线与所成的角， 因为是等边三角形， 当与线段的两个端点重合时，直线与所成的角最小为， 当与线段的中点重合时，直线与所成的角最大为， 所以所求角的范围是，故错误； 对于，该正四面体的外接球即为正方体外接球，， 故所求球的表面积为，故正确. 故选：. 11．BCD 【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论. 【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为； 对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为；精准扶贫及新农村建设后，种植收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误； 对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为；精准扶贫及新农村建设后，其他收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确； 对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为；精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确； 对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确. 故选：BCD. 12． 【分析】由两个向量垂直可得x值，即得到，由向量的模的公式计算即可得到答案. 【详解】向量， 由⊥得=0即 解得x=-3,则 |， 故答案为 【点睛】本题考查向量垂直的坐标公式和向量的模公式的应用，属于基础题. 13．28 【分析】根据求百分位数的步骤求解可得结果. 【详解】将这12个数据按从左向右，由小到大的顺序排列： ， 因为不是整数，所以第个数是分位数. 故答案为：. 14．. 【详解】. 15．(1) (2) 【分析】（1）根据向量平行，分类讨论同向或反向即可求解； （2）分别求出向量与的模，根据向量的夹角公式，即可求得答案. 【详解】（1）因为，所以或， 当时，， 当， 所以的值为. （2）因为， 所以. 16．（1）（2）. 【分析】（1）当且仅当最高气温低于时这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,由表格数据求解即可； （2）分别讨论最高气温不低于,最高气温位于区间（单位:）,最高气温低于的情况,进而求解；基于此,若大于零,则当且仅当最高气温不低于,进而求解即可 【详解】（1）这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于, 由表格数据知,最高气温低于的频率为, 所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为 （2）当这种酸奶一天的进货量为450瓶时, 若最高气温不低于,则； 若最高气温位于区间（单位:）, 则, 若最高气温低于,则, 所以的所有可能值为1350,525,, 若大于零,则当且仅当最高气温不低于, 由表格数据知,最高气温不低于的频率为, 因此大于零的概率的估计值为 【点睛】本题考查古典概型的应用,考查根据频率分布表处理实际问题 17．（1）证明见解析；（2）108. 【解析】（1）证明，，可得平面，而平面，故． （2）由可得，然后算出答案即可. 【详解】（1）平面，面，． ，，，． 又， 平面，而平面，． （2）因为侧面是平行四边形，所以 所以 18．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用正弦定理边角互化得，再利用余弦定理求解即可； （2）利用余弦定理结合基本不等式求得，然后利用面积公式求解即可； （3）根据正弦定理结合两角和差公式化简得，然后结合锐角三角形性质，根据正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得，整理得， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由余弦定理得，所以，即， 当且仅当时，等号成立，所以， 即当为正三角形时，面积最大值为. （3）由正弦定理得 ， 其中为锐角，且，所以， 又因为为锐角三角形，所以，解得， 所以， 所以，即， 故的取值范围为. 19．当圆锥形杯子的高为8 cm时，用料最省 【详解】要使冰淇淋融化后不会溢出杯子，则必须有V圆锥≥V半球，而V半球＝×πr3＝×π×43， V圆锥＝Sh＝πr2h＝π×42×h，则有π×42×h≥×π×43，解得h≥8． 即当圆锥形杯子的高大于或等于8 cm时，冰淇淋融化后不会溢出杯子． 又因为S圆锥侧＝πrl＝，所以高为8 cm时，制造的杯子最省材料． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$