精品解析：安徽省六安市舒城县2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

2023-2024学年 九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. y＝x﹣1 B. y＝ C. y＝（x﹣1）2﹣x2 D. y＝﹣2x2＋1 2. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ） A. B. C. D. 4. 已知点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 （ ） A B. C. D. 5. 如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 6. 二次函数与轴的交点坐标是（　　） A B. C. D. 7. 给出下列式子：①，②，③，④．其中正确是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 8. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 9. 已知二次函数y=mx+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 10. 二次函数图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，计20分） 11. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 12. 如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为_______． 13. 点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则___________． 14. 抛物线与线段有两个不同的交点，已知，，则的取值范围是__________． 三、解答题（ 计90分） 15. 计算：． 16. 先化简，后求值：，其中． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． (1)画出△A1B1C，； (2)求在旋转过程中，CA所扫过的面积． 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）写出反比例函数的解析式： ； （2）过点B作轴于C，求； （3）若在y轴上存在一点D，使得的值最小，求出点D的坐标． 19. 中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为米，某天该深潜器在海面下米处作业（如图），测得正前方海底沉船的俯角为，该深潜器在同一深度向正前方直线航行米到点，此时测得海底沉船的俯角为．沉船是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积． 21. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）连接DG，求证：． 22. 某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数 （1）若该服装获得利润为（元），试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？ （2）若该商场获得利润不低于元，试确定销售单价的取值范围． 23. 如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． （1）求证：； （2）连接，求的大小； （3）求值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023-2024学年 九年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题（每小题4分，计40分） 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. y＝x﹣1 B. y＝ C. y＝（x﹣1）2﹣x2 D. y＝﹣2x2＋1 【答案】D 【解析】 分析】整理成一般形式，根据二次函数定义即可解答． 【详解】解：A、该函数中自变量x的次数是1，属于一次函数，故本选项错误； B、该函数是反比例函数，故本选项错误； C、由已知函数关系式得到：y＝﹣2x＋1，属于一次函数，故本选项错误； D、该函数符合二次函数定义，故本选项正确． 故选：D． 【点睛】考查了二次函数的定义：一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y═ax2＋bx＋c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式． 2. 如图，是的切线，切点为，的延长线交于点，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，等腰三角形的性质，连接，如图，根据切线的性质得，根据等腰三角形的性质求出，由圆周角定理求出的度数，则可求出的度数．解题的关键是掌握切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵圆周角和圆心角所对的弧相同， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：D． 3. 共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放辆单车，计划第三个月投放单车辆，若第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍，那么与的函数关系是 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据增长率问题，一般“增长后的量增长前的量（1+增长率）”找出等量关系列方程即可 【详解】第二个月的增长率是，第三个月的增长率是第二个月的两倍， 第三个月的增长率为 第一个月投放辆单车， 第二个月投放辆 第三个月投放量 故选：A． 【点睛】本题考查了根据实际问题列二次函数关系式，解题关键是熟练掌握增长率问题的求解，即“增长后的量增长前的量（1+增长率）”． 4. 已知点在反比例函数的图象上，若，则的取值范围是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】比例系数时，反比例函数在每个象限内，y随x的增大而减小，根据性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴，在第一象限内，y随x的增大而减小，且， ∵当时，， ∴当时，， 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，熟练掌握反比例函数的图象特点，牢记图象在每个象限内的变化是解题的关键． 5. 如图，在中，高相交于点，图中与相似的三角形共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】先利用高的定义得到∠BEC=∠BDC=90°，再利用等角的余角相等得到∠ABD=∠ACE，加上∠A=∠A，根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD∽△ACE，利用同样的方法得到△FBE∽△ABD，△FCD∽△ACE，所以△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 【详解】解：∵高BD、CE相交于点F， ∴∠BEC=∠BDC=90°， ∵∠BFE=∠CFD， ∴∠ABD=∠ACE， ∵∠A=∠A， ∴△ABD∽△ACE， ∵∠ABD=∠FBE，∠BEF=∠BDA， ∴△FBE∽△ABD， 同理可得△FCD∽△ACE， ∴△FBE∽△ABD∽△ACE∽△FCD． 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似. 6. 二次函数与轴的交点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点，令中，求解即可出结论．解题的关键是掌握求二次函数的图像与坐标轴交点的方法：①与轴的交点，令后求解；②与轴的交点，令后求解． 【详解】解：令二次函数中， ∴， ∴二次函数与轴的交点坐标是． 故选：D． 7. 给出下列式子：①，②，③，④．其中正确的是（　　） A. ①③ B. ②④ C. ①④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的增减性，互余两角三角函数的关系以及特殊角的三角函数值，对于①③可用特殊角的三角函数值进行判断，对于②④，根据互余两角三角函数关系，将余弦化成余角的正弦进行比较即可作出判断．解题的关键是掌握锐角三角函数的性质：当角度在（不包括，）之间变化时：①正弦值随角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随角度的增大（或减小）而减小（或增大）． 【详解】解：∵，，， ∴，故式子①错误； ∵， 又∵正弦值随锐角的角度的增大而增大， ∴， 即，故式子②正确； ∵，，， ∴，故式子③错误； ∵，故式子④正确， 综上，正确的式子有②④． 故选：B． 8. 如图，在▱ABCD中，E是AB的中点，EC交BD于点F，那么（ ） A. 1：2 B. 1：3 C. 1：4 D. 2：3 【答案】A 【解析】 【分析】证明△EBF∽△CDF，得到EF:CF=BE:CD=1:2，△BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴BE∥CD， ∴∠BEC=∠DCF，∠EBF=∠CDF， ∴△EBF∽△CDF， ∴， △BEF和△BCF分别选择EF、CF为底，则高相同， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，本题的关键是能根据平行四边形的性质得到△EBF∽△CDF，进而求出对应边之比，然后再根据同高的两个三角形面积之比等于底边之比求解． 9. 已知二次函数y=mx+2mx-1（m＞0）的最小值为-5，则m的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将抛物线解析式化为顶点式求解． 【详解】解：，， 抛物线开口向上，函数最小值为， ， 解得． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数与不等式的关系． 10. 二次函数的图形如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图像大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数、反比例函数和一次函数的图像与系数的关系，根据抛物线图像可得，，由时，，即可得出答案．掌握二次函数的图像与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线开口向上，与轴的交点在负半轴上， ∴，， ∴一次函数的图像经过一、二、三象限，故选项B、D不符合题意； ∵当时，， ∴反比例函数图像的两个分支分别在二、四象限，故选项A不符合题意． 故选：C． 二、填空题（每小题5分，计20分） 11. 若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝_____． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入得到得 然后利用整体代入的方法进行计算． 【详解】∵2是关于x的一元二次方程的一个根， ∴， ∴n＋m＝−2， 故答案为−2． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握方程的解的定义是解决本题的关键. 12. 如图，圆锥的表面展开图由一扇形和一个圆组成，已知圆的面积为100π，扇形的圆心角为120°，这个扇形的面积为_______． 【答案】300π 【解析】 【分析】首先根据底面圆的面积求得底面的半径，然后结合弧长公式求得扇形的半径，然后利用扇形的面积公式求得侧面积即可． 【详解】∵底面圆的面积为100π， ∴底面圆的半径为10， ∴扇形的弧长等于圆的周长为20π， 设扇形母线长为l，则=20π， 解得：l=30， ∴扇形的面积为πrl=π×10×30=300π 13. 点A，B，C，D都在上，，D为上的一点，，的延长线交AB于点P，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接AC，OB，根据三角形的内角和得到∠DOC=180°-67.5°-67.5°=45°，根据圆周角定理得到∠BOC=90°，推出∠BCP=∠COD=45°，∠PBC=∠OCD=67.5°，证得△CPB∽△ODC，根据相似三角形的性质即可求得结果. 【详解】如图，连接AC，OB 又∵ ∴AB=AC ∴∠ABC=∠ACB=67.5° ∴∠BAC=180°-675°-67.5°=45° 又CO=DO ∴∠OCD=∠ODC=67.5° ∴∠COD=180°-67.5°-67.5°=45° ∴∠BCP=∠COD=45° 又∠CBP=∠OCD ， ∴ ． 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键. 14. 抛物线与线段有两个不同的交点，已知，，则的取值范围是__________． 【答案】或 【解析】 【分析】分a>0，a<0两种情况讨论，根据题意列出不等式组，可求a的取值范围． 【详解】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b ∵A(−1，0) ，B(1，1) ∴ 解得： ∴线段AB所在的直线解析式为：y=x+ 分类讨论:a的正负关系， 当时，在减小的过程中，抛物线与线段相切，则 代入得 ． 当时，当抛物线穿过点时成立． 代入，得， ∴ 综上所述：或． 故答案为：1≤a< 或a≤−2 【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象点的坐标特征，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键. 三、解答题（ 计90分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先根据整数指数幂、负指数幂、零指数幂、三角函数和绝对值进行化简，再进行加减运算. 【详解】解：原式 = 【点睛】本题考查指数幂、三角函数和绝对值，解题的关键是掌握指数幂、三角函数和绝对值. 16. 先化简，后求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】括号内先通分进行分式的加减运算，然后再与括号外的分式进行乘除法运算，最后代入数值进行计算即可． 【详解】原式 ， 当时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 17. 如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，把△ABC绕点C逆时针旋转90°后得到△A1B1C． (1)画出△A1B1C，； (2)求在旋转过程中，CA所扫过的面积． 【答案】(1)见解析;(2). 【解析】 【分析】（1）根据旋转中心方向及角度找出点A、B的对应点A1、B1的位置，然后顺次连接即可. （2）利用勾股定理求出AC的长，CA所扫过的面积等于扇形CAA1的面积,然后列式进行计算即可． 【详解】解： (1)△A1B1C为所求作的图形： (2)∵AC=，∠ACA1=90°, ∴在旋转过程中，CA所扫过的面积为： ． 【点睛】本题考查的知识点是作图-旋转变换, 扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握作图-旋转变换, 扇形面积的计算. 18. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点和点B． （1）写出反比例函数的解析式： ； （2）过点B作轴于C，求； （3）若在y轴上存在一点D，使得的值最小，求出点D的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比函数与一次函数的综合题，熟练掌握反比函数与一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点代入，即可求解； （2）由，可得点，从而得到，再由三角形的面积公式，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小，求出直线的关系式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为； 故答案为： 【小问2详解】 解∶由， 解得，， 又∵， ∴点， 又∵轴， ∴点，， ∴； 【小问3详解】 解∶作关于轴的对称点，连接交轴于点，连接，则，此时最小， ∵， ∴， 设直线的关系式为， 将，代入得， ，解得， ∴一次函数的关系式为， 当，， ∴点． 19. 中国“蛟龙”号深潜器目前最大深潜极限为米，某天该深潜器在海面下米处作业（如图），测得正前方海底沉船的俯角为，该深潜器在同一深度向正前方直线航行米到点，此时测得海底沉船的俯角为．沉船是否在“蛟龙”号深潜极限范围内？并说明理由 【答案】沉船在“蛟龙”号深潜极限范围内，理由见解析 【解析】 【分析】过点C作CD垂直AB延长线于点D，设CD为x米，在Rt△ACD和Rt△BCD中，分别表示出AD和BD的长度，然后根据AB=2000米，求出x的值，求出点C距离海面的距离，判断是否在极限范围内． 【详解】解：过点C作CD垂直AB延长线于点D， 设CD=x米， 在Rt△ACD中， ∵∠DAC=45°， ∴AD=x， Rt△BCD中， ∵∠CBD=60°， ∴CD=BD•tan60º， ∴BD=， ∴AB=AD-BD=x-=2000， 解得：x≈4732， ∴船C距离海平面为4732+1800=6532米＜7062．68米， ∴沉船C在“蛟龙”号深潜极限范围内． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题．掌握仰角俯角定义，利用仰角俯角构造直角三角形，在直角三角形中利用三角函数构造方程是解题关键． 20. 如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC为⊙O的直径，点E为△ABC的内心，连接AE并延长交⊙O于D点，连接BE． （1）求证：DB＝DE； （2）若过C点的切线与BD的延长线交于点F，已知DE，求弧DC、线段DF、CF围成的阴影部分面积． 【答案】（1）见解析；（2）S阴 【解析】 【分析】（1）欲证明DB＝DE，只要证明∠DBE＝∠DEB； （2）连接CD、OD，根据S阴＝S△CDF−（S扇形OCD−S△OCD）计算即可； 【详解】（1）证明：∵E是△ABC的内心． ∴∠BAE＝∠CAE，∠EBA＝∠EBC， ∵∠BED＝∠BAE+∠EBA，∠DBE＝∠EBC+∠DBC，∠DBC＝∠EAC， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． （2）解：连接CD、OD． ∵∠BAD＝∠DAC， ∴， ∴BD＝CD， ∵BC是直径， ∴∠BDC＝90°， ∴∠DBC＝∠DCB＝45°， ∵DE， 由（1）证得DB＝DE ∴DB＝DE=CD=， ∴BC=6，OB=OC=OD=3， ∴△BCD为等腰直角三角形，O为BC的中点， ∴DO⊥BC，即∠DOC=90°， ∵FC是切线， ∴∠BCF＝90°， ∴∠CFD＝90°-45°=45°，∠DCF＝90°-45°=45°， ∴△CDF的等腰直角三角形， ∴DF＝CD＝BD＝3， ∴S阴＝S△CDF﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）33（3×3）． 【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的判定、等腰三角形的性质和判定、直角三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线． 21. 已知：如图，在△ABC中，点D在边BC上，AE∥BC，BE与AD、AC分别相交于点F、G， ． （1）求证：△CAD∽△CBG； （2）连接DG，求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】（1）由及∠AFG=∠EFA，证得△FAG∽△FEA，结合AE∥BC，证得∠EBC =∠FAG，从证得结论； （2）由（1）的结论得到，证得△CDG ∽△CAB，结合AE∥BC，证得，继而证得结论. 【详解】（1）∵， ∴． 又∵∠AFG=∠EFA， ∴△FAG∽△FEA． ∴∠FAG=∠E． ∵AE∥BC， ∴∠E=∠EBC． ∴∠EBC =∠FAG． 又∵∠ACD=∠BCG， ∴△CAD ∽△CBG． （2）∵△CAD ∽△CBG， ∴． 又∵∠DCG=∠ACB， ∴△CDG ∽△CAB， ∴． ∵AE∥BC， ∴． ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，灵活运用比例的性质以及中间比是解题的关键. 22. 某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且每件的利润率不得高于，经试销发现，销售量（件）与销售单价（元）符合一次函数 （1）若该服装获得利润为（元），试写出利润与销售单价之间的关系式；销售单价定为多少时，商场可获得利润最大，最大利润是多少元？ （2）若该商场获得利润不低于元，试确定销售单价的取值范围． 【答案】（1）；销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润为元；（2）． 【解析】 【分析】（1）根据利润=（售价-成本）×销售量列出函数关系式，再根据利润率求出x的取值范围，然后利用二次函数的性质即可得； （2）令函数关系式W=500，解得x，然后进行讨论． 【详解】解：（1）由题意得：， 整理得：， 因为抛物线的开口向下， 所以当，随的增大而增大， 而按要求， 即， 所以当时，商场可获得最大利润， 此时最大利润（元）， 答：销售单价定为元时，商场可获最大利润，最大利润为元； （2）当时，由， 整理得：， 解得：， 由图象可知，要使该商场获得利润不低于元，销售单价应在元到元，而． 所以销售单价的取值范围是． 【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据利润=（售价成本）×销售量列出函数关系式，求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单． 23. 如图，是正方形的边延长线上一点，连接，过顶点作，垂足为，交边于点． （1）求证：； （2）连接，求的大小； （3）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意利用正方形的性质及垂线的性质得到，证明，即可得证； （2）根据的圆周角所对的弦是直径，可推出点、、、在以为直径的圆上，从而得到，再根据正方形的性质即可得解； （3）连接，过点作，交与点，利用平行线性质得到，继而得到，推出，，进一步推出，根据同弧所对的圆周角相等得到，证明，根据相似三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 证明：∵四边形为正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，， ∴点、、、在以为直径的圆上，即四边形为圆内接四边形， ∵， ∴， ∵四边形为正方形，为对角线， ∴， ∴， ∴的大小为； 【小问3详解】 如图，连接，过点作，交与点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 由（2）题图知：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的值为． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，的圆周角所对的弦是直径，同弧所对的圆周角相等，等角对等边，勾股定理等知识点．解题的关键是构造出以为直径的圆及相似三角形，注意数形结合思想方法的运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$