函数的概念及其表示 课件-2025届高三数学一轮复习

第二章 函数与基本初等函数 第1节 函数的概念及其表示 ZHISHIZHENDUANJICHUHANGSHI 知识诊断 基础夯实 1 1.函数的概念 概念 一般地,设A,B是非空的_,如果对于集合A中的_,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有_确定的数y和它对应,那么就称f:A B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y=f(x),x∈A 定义域 _的取值范围 值域 与x对应的y的值的集合{f(x)|x∈A} 实数集 任意一个数x 唯一 x 3 2.同一个函数 (1)前提条件:①定义域_;②对应关系_. (2)结论:这两个函数为同一个函数. 3.函数的表示法 表示函数的常用方法有_、图象法和列表法. 4.分段函数 (1)若函数在其定义域的不同子集上,因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示,这种函数称为分段函数.分段函数表示的是一个函数. (2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集,其值域等于各段函数的值域的_. 相同 相同 解析法 并集 4 解析 (1)错误.函数y=1的定义域为R,而y=x0的定义域为{x|x≠0},其定义域不同,故不是同一函数. (2)错误.值域可以为B的子集. (3)错误.集合A中的元素0在集合B中无元素与之对应. (4)错误.只有两个函数的定义域,对应关系分别相同时,这两个函数才是同一个函数. 1.思考辨析(在括号内打“√”或“ ”) (1)函数y=1与y=x0是同一函数.( ) (2)对于函数f:A B,其值域是集合B.( ) (3)若A=R,B={x|x>0},f:x y=|x|,其对应是从A到B的函数.( ) (4)若两个函数的定义域与值域分别相同,则这两个函数是同一个函数.( ) C 解析 A中的值域不满足,B中的定义域不满足,D项不是函数的图象,由函数的定义可知C正确. 2.(易错题)下列图形中可以表示以M={x|0≤x≤1}为定义域,N={y|0≤y≤1}为值域的函数的图象是( ) 即x>0且x≠-1,所以函数的定义域为(0,+∞). (0,+∞) 2 则f(t)=t2-1,所以f(x)=x2-1(x≥0). x2-1(x≥0) KAODIANTUPOTIXINGPOUXI 考点突破 题型剖析 2 解析 根据函数意义:对任意x值,y都有唯一值与之对应,只有C不满足. 1.下列各曲线表示的y与x之间的关系中,y不是x的函数的是( ) C 解析 同一函数满足①定义域相同; ②对应关系相同,只有A、C满足. 2.(多选)下列各组函数是同一函数的为( ) AC 3.已知集合P={x|0≤x≤4},Q={y|0≤y≤2},下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是_.(填序号) ③ A.(0,4) B.[0,2)∪(2,4] C.(0,2)∪(2,4) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 解析 要使函数有意义, C 解得0<x<4且x≠2. A.[1,2] B.[2,+∞) C.[1,2) D.(1,2] 解析 根据函数f(x)的解析式, C 所以函数f(x)的定义域为[1,2). 解析 由题意可知函数f(x)的定义域为[-1,1], 即-1≤x≤1,令-1≤2x-1≤1,解得0≤x≤1. 又由g(x)满足1-x>0且1-x≠1,解得x<1且x≠0, 所以函数g(x)的定义域为(0,1). B 当a=0时,显然成立; 当a≠0时,需 =a2+12a<0,解得-12<a<0. 综上所述,实数a的取值范围为-12<a≤0. B 所以ax2+ax-3≠0对任意实数x都成立. 解 (换元法)设1-sin x=t,t∈[0,2], 则sin x=1-t. ∵f(1-sin x)=cos2x=1-sin2x, ∴f(t)=1-(1-t)2=2t-t2,t∈[0,2]. 即f(x)=2x-x2,x∈[0,2]. 例1 求下列函数的解析式: (1)已知f(1-sin x)=cos2x,求f(x)的解析式; ∴f(x)=x2-2, x∈(-∞,-2]∪[2,+∞). 解 (待定系数法)∵f(x)是一次函数, 可设f(x)=ax+b(a≠0), ∴3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b] =2x+17. 即ax+(5a+b)=2x+17, (3)已知f(x)是一次函数且3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x)的解析式; ∴f(x)的解析式是f(x)=2x+7. (4)已知f(x)满足2f(x)+f(-x)=3x,求f(x)的解析式. 解 (方程组法)∵2f(x)+f(-x)=3x,① ∴将x用-x替换, 得2f(-x)+f(x)=-3x,② 由①②解得f(x)=3x. 代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3(t≥1), 所以f(x)=x2-4x+3(x≥1). x2-4x+3(x≥1) (2)已知f(x)是一次函数,且2f(2)-3f(1)=5,2f(0)-f(-1)=1,则f(x)的解析式为_. 解析 ∵f(x)是一次函数, ∴设f(x)=kx+b,k≠0, 则f(2)=2k+b,f(1)=k+b, f(0)=b,f(-1)=-k+b. f(x)=3x-2 解得k=3,b=-2,∴f(x)=3x-2. 角度1 分段函数求值 A 解析 由f(x)=f(x-3)得f(x+3)=f(x), 因而f(2 021)=f(3 673+2)=f(2)=f(2-3) 解析 由f(x)的定义域,知a>0. 当0<a<1时,由f(a)=f(a-1), 当a≥1时,由f(a)=f(a-1), 得2a=2(a-1),无解. D 解析 ∵f(1)=21=2,∴f(a)+2=0, ∴f(a)=-2, 当a≤0时,f(a)=a+1=-2,∴a=-3, 当a>0时,f(a)=2a=-2,方程无解,综上有a=-3. 角度2 分段函数与方程、不等式问题 A 解析 当x≤0时,x+1≤1,f(x)<f(x+1), 当0<x≤1时,x+1>1, 此时f(x)=x2-1≤0,f(x+1)=log2(x+1)>0, ∴0<x≤1时,恒有f(x)<f(x+1), 当x>1时,f(x)<f(x+1) log2x<log2(x+1)恒成立, 函数的值域 求函数值域的一般方法 (1)分离常数法;(2)反解法;(3)配方法;(4)不等式法;(5)单调性法;(6)换元法;(7)数形结合法;(8)导数法. 解 (配方法)y=x2-2x+3=(x-1)2+2, 由x∈[0,3),再结合函数的图象(如图①所示), 可得函数的值域为[2,6). 例 求下列函数的值域: (1)y=x2-2x+3,x∈[0,3); 故函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞). 且t≥0, 解 函数的定义域为[1,+∞), FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG 分层训练 巩固提升 3 解析 A中f(x)的定义域是(0,+∞),g(x)的定义域是R,故不是同一个函数; B中f(x)的定义域是(-∞,-2)∪(-2,+∞),g(x)的定义域是R,故不是同一个函数; 1.下列各组函数中,表示同一个函数的是( ) D D中的函数是同一个函数. 解析 图象A关于x轴对称,x>0时,每一个x对应2个y, 图象B中x0对应2个y, 所以A,B均不是函数图象; 图象C,D可以是函数图象. 2.(多选)下列所给图象可以是函数图象的是( ) CD A.(2,3) B.(2,+∞) C.(3,+∞) D.(2,3)∪(3,+∞) 故函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞). D 4.函数 B 解析 函数f(x+1)的定义域为(-2,0),即函数y=f(x+1)中的x满足-2<x<0,此时-1<x+1<1,记t=x+1,则-1<t<1,则f(t)的定义域为(-1,1),也就是f(x)的定义域是(-1,1). 要求f(2x-1)的定义域,则-1<2x-1<1, 解得0<x<1, ∴f(2x-1)的定义域为(0,1). 5.已知函数f(x+1)的定义域为(-2,0),则f(2x-1)的定义域为( ) C 解析 当a>0时,-a<0, 所以2log2a>0,解得a>1; C 所以2log2(-a)<0,可得0<-a<1, 即-1<a<0. 综上,a的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 解析 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 则f′(x)=2ax+b,∴2ax+b=2x+2, 则a=1,b=2. ∴f(x)=x2+2x+c. 又f(x)=0,即x2+2x+c=0有两个相等实根. ∴ =4-4c=0,则c=1. 故f(x)=x2+2x+1. 8.已知y=f(x)是二次函数,若方程f(x)=0有两个相等实根,且f′(x)=2x+2,则f(x)=_. x2+2x+1 解析 令t=x-1,∴t>0,x=t+1, ∵-1<0,∴f(-1)=-3+5=2. 解 这个函数的图象如图. (2)画出这个函数的图象; 在函数f(x)=3x+5的图象上截取x≤0的部分, 在函数f(x)=x+5的图象上截取0<x≤1的部分, 在函数f(x)=-2x+8的图象上截取x>1的部分. 图中实线组成的图形就是函数f(x)的图象. (3)求f(x)的最大值. 解 由函数图象可知, 当x=1时,f(x)取最大值6. 解 (1)由题意及函数图象, (1)求出y关于x的函数解析式; (2)如果要求刹车距离不超过25.2 m,求行驶的最大速度. ∵x≥0,∴0≤x≤70. 故行驶的最大速度是70 km/h. 12.(多选)若一系列函数的解析式和值域相同,但定义域不相同,则称这些函数为“同值函数”,例如函数y=x2,x∈[1,2]与函数y=x2,x∈[-2,-1]即为“同值函数”,给出下面四个函数,其中能够被用来构造“同值函数”的是( ) AD 解析 根据题意,“同值函数”需满足:对于同一函数值,有不同的自变量与其对应. 因此,能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调. 对于A,y=[x],定义域为R,在定义域内不是单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故A可以构造“同值函数”; 所以能够被用来构造“同值函数”的是A,D. 解析 依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集, [-5,0] 解得-5≤a≤0. 即1<f(x)<3. 当1<f(x)<2时,[f(x)]=1, 当2≤f(x)<3时,[f(x)]=2. 综上,函数y=[f(x)]的值域为{1,2}. 1.直线x=a(a是常数)与函数y=f(x)的图象至多有1个交点. 2.注意以下几个特殊函数的定义域: (1)分式型函数,分母不为零的实数集合. (2)偶次方根型函数,被开方式非负的实数集合. (3)f(x)为对数式时,函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合. (4)若f(x)=x0,则定义域为{x|x≠0}. (5)正切函数y=tan x的定义域为eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x≠k +\f( ,2),k∈Z)). 解析 要使函数有意义,需满足 3.函数f(x)=eq \f(1,x+1)+ln x的定义域是_. 解析 因为>2,所以f()=6-4=2, 4.已知a∈R,函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2-4,x>2,,|x-3|+a,x≤2.))若f(f(eq \r(6)))=3,则a=_. 所以f(f())=f(2)=1+a=3,解得a=2. 5.(易错题)已知f(eq \r(x))=x-1,则f(x)=_. 解析 令t=,则t≥0,故x=t2, 故f(x)的值域为. 解析 f(x)=x-在区间[2,4]上单调递增, 6.函数f(x)=x-eq \f(1,x)在区间[2,4]上的值域为_. 又f(2)=,f(4)=, A.f(x)=x2-2x-1,g(s)=s2-2s-1 B.f(x)=x-1,g(x)= C.f(x)=,g(x)= D.f(x)=,g(x)=x 解析 ③中,f:x y=x,x∈[0,4]时,y=x∈ Q,故不满足函数的定义. ①f:x y=x;②f:x y=x; ③f:x y=x;④f:x y=. 1.函数f(x)=ln(4x-x2)+eq \f(1,x-2)的定义域为( ) 则 有解得1≤x<2, 2.函数f(x)=eq \r(ln x) lgeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x+2,2-x)))的定义域是( ) 3.已知函数f(x)的定义域是[-1,1],则函数g(x)=eq \f(f(2x-1),ln(1-x))的定义域是( ) A.[0,1] B.(0,1) C.[0,1) D.(0,1] 4.已知函数f(x)=eq \f(3x-1,ax2+ax-3)的定义域是R,则实数a的取值范围是( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3),+∞)) B.(-12,0] C.(-12,0) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(1,3))) 解析 因为函数f(x)=的定义域是R, (2)已知feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(1,x)))=x2+eq \f(1,x2),求f(x)的解析式; 解 (配凑法)∵f=x2+ =-2, ∴解得 解析 令t=+1,则t≥1,x=(t-1)2, 训练1 (1)已知f(eq \r(x)+1)=x-2eq \r(x),则f(x)=_. ∵ ∴ ①+② 2得-3f(x)=2x+, ∴f(x)=-. 以代替①中的x,得f-2f(x)=,② (3)已知f(x)满足f(x)-2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))=2x,则f(x)=_. - 解析 ∵f(x)-2f=2x,① 例2 (1)(2021 枣庄二模)已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex+ln 2,x≤0,,f(x-3),x>0,))则f(2 021)=( ) A.eq \f(2,e) B.2e C.eq \f(2,e2) D.2e2 =f(-1)=e-1+ln 2=. (2)已知函数f(x)=若实数a满足f(a)=f(a-1),则f=( ) A.2 B.4 C.6 D.8 即2a=, 解得a=,则f=f(4)=8; 综上可知,f=8. 例3 (1)已知函数f(x)=若f(a)+f(1)=0,则实数a的值等于( ) A.-3 B.-1 C.1 D.3 当x≤0时,x+1+x-+1>1, ∴x>-,即-<x≤0. 综上x的取值范围是. 解析 由题意得:当x>时,2x+2x->1恒成立,即x>; (2)设函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x+1,x≤0,,2x,x>0))则满足f(x)+feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(1,2)))>1的x的取值范围是_. 当0<x≤eq \f(1,2)时,2x+x-eq \f(1,2)+1>1恒成立,即0<x≤eq \f(1,2); 解得a=-1,与a>-矛盾,舍去; 当-a≥1,即a≤-时,f=f=2-a=4, 则-a=2,即a=-,满足a≤-. 所以a=-. 解析 ∵<1,∴f=2 -a=-a. 训练2 (1)设函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x-a,x<1,,2x,x≥1,))若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))=4,则a=_. - 当eq \f(1,2)-a<1,即a>-eq \f(1,2)时,feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))))=feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-a))=2 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)-a))-a=1-3a=4, 等价于x2-1<(x+1)2-1,解得-<x≤0, (2)已知函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>1,,x2-1,x≤1,))则f(x)<f(x+1)的解集为_. 综上知,不等式f(x)<f(x+1)的解集为. 解 (分离常数法)y===2+, (2)y=; 显然≠0,∴y≠2. 解 (换元法)设t=,则x=t2+1, (3)y=2x-; ∴y=2(t2+1)-t=2+, 由t≥0,再结合函数的图象(如图②所示),可得函数的值域为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,8),+∞)). ∵y=与y=在[1,+∞)上均为增函数, (4)y=+. ∴y=eq \r(x+1)+eq \r(x-1)在[1,+∞)上为单调递增函数, ∴当x=1时,ymin=eq \r(2),即函数的值域为[eq \r(2),+∞). A.f(x)=eln x,g(x)=x B.f(x)=,g(x)=x-2 C.f(x)=,g(x)=sin x D.f(x)=|x|,g(x)= C中f(x)的定义域是,g(x)的定义域是R,故不是同一个函数; 解析 由得x>2且x≠3, 3.函数y=log2(2x-4)+的定义域是( ) 因为t≥0,所以y≤. 所以函数y=1+x-的值域为. 解析 设=t,则t≥0,x=, 4.函数y=1+x-eq \r(1-2x)的值域为( ) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-∞,\f(3,2))) B.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(-∞,\f(3,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2),+∞)) 所以y=1+-t=(-t2-2t+3) =-(t+1)2+2. A.(-1,0) B.(-2,0) C.(0,1) D. 6.设函数f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x,x>0,,log\f(1,2)(-x),x<0,))若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是( ) A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1) 由f(a)>f(-a)得log2a>loga, 当a<0时,-a>0,由f(a)>f(-a)得log(-a)>log2(-a), 联立①②解得f(-2)=. 解析 令x=2,可得f+f(-2)=4,① 7.已知函数f(x)满足feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))+eq \f(1,x)f(-x)=2x(x≠0),则f(-2)=_. 令x=-eq \f(1,2),可得f(-2)-2feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))=-1,② ∴函数的值域为[2+1,+∞). ∴y===t++1≥2+1, 9.函数y=eq \f(x2-x+2,x-1)(x>1)的值域是_. [2+1,+∞) 当且仅当t=即t=时取等号, 解 ∵>1,∴f=-2 +8=5. 10.已知函数f(x)的解析式为f(x)=eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x+5,x≤0,,x+5,0<x≤1,,-2x+8,x>1.)) (1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2))),feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1, ))),f(-1)的值; ∵0<<1,∴f=+5=. 11.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用,要继续往前滑行一段距离才能停下,这段距离叫做刹车距离.在某种路面上,某种型号汽车的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)满足下列关系:y=eq \f(x2,200)+mx+n(m,n是常数).如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y(m)与汽车的车速x(km/h)的关系图. 得解得m=,n=0, ∴y=+(x≥0). (2)令eq \f(x2,200)+eq \f(x,100)≤25.2,得-72≤x≤70. A.y=[x]([x]表示不超过x的最大整数,例如[0.1]=0) B.y=x+ C.y=-log3x D.y= 对于B,y=x+,为定义在[-1,+∞)上的单调增函数,故B不可以构造“同值函数”; 对于C,y=eq \f(1,x)-log3x,为定义在(0,+∞)上的单调减函数,故C不可以构造“同值函数”; 对于D,y=,不是定义域上的单调函数,有不同的自变量对应同一函数值,故D可以构造“同值函数”. 13.已知函数f(x)=log2x,g(x)=2x+a,若存在x1,x2∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2),2)),使得f(x1)=g(x2),则a的取值范围是_. x∈时,f(x)∈[-1,1], x∈时,g(x)∈[a+1,a+4], 故或 解 f(x)===1+, 14.高斯是德国著名的数学家,是近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,用其名字命名的“高斯函数”为:设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,则y=[x]称为高斯函数.例如:[-2.1]=-3,[3.1]=3,已知函数f(x)=eq \f(2x+3,2x+1),求函数y=[f(x)]的值域. ∵2x>0,∴1+2x>1,0<<1, 则0<<2,1<1+<3, $$