精品解析：贵州省安顺市2023-2024学年高二下学期期末教学质量监测考试数学试题

全市2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页、19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 2. 函数在点处的切线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法正确是（ ） A. 某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B. 数据，，，，，，，的第80百分位数为8 C. 线性回归分析中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D. 线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越好 4. 已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 5. 高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（ ） A. 21种 B. 27种 C. 30种 D. 42种 6. 你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则，，大小关系是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，.若，则实数可取值（ ） A. B. C. D. 0 10. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. ，使得 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于坐标原点对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 四叶草曲线所围的区域面积大于 D. 四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数______. 13. 函数的所有极值之和为______. 14. 已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为______；双曲线的渐近线方程为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列是等差数列，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 16. 由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ （2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 附： 0.1 005 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上. （1）若，求实数的值； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值. 18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若斜坐标系中，，且，求实数的值； （2）若斜坐标系中，，求向量，的夹角的余弦值. 19. 固定项链两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）求与的导数； （2）证明：在上恒成立； （3）求的零点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 全市2023-2024学年度第二学期期末教学质量监测考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页、19小题，满分150分，考试用时120分钟. 2答卷前、考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后、用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动、用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】 根据复数代数形式的除法运算将复数化成标准形式即可得解； 【详解】解：，的虚部为1. 故选：D. 【点睛】本题考查复数的基本概念，关键是将其分母实数化，化为的形式，进行判断，属于基础题． 2. 函数在点处的切线倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助导数的几何意义即可得切线的斜率，结合斜率与倾斜角的关系计算即可得. 【详解】，， 设在点处的切线倾斜角为， 则有，由，则. 故答案为：A. 3. 下列说法正确的是（ ） A. 某班共有学生50人，现按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人，则该班女生共有20人 B. 数据，，，，，，，的第80百分位数为8 C. 线性回归分析中，样本相关系数的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强 D. 线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越好 【答案】C 【解析】 【分析】结合分层抽样的定义，百分位数的定义，相关系数、决定系数的定义，即可求解． 【详解】对于A，按性别采用分层随机抽样的方法抽取容量为5的样本，若样本中男生有2人， 则样本中女生有3人，该班女生共有人，A错误； 对于B，数据2，3，3，5，7，8，10，12，共8个，，则该组数据的第80百分位数为10，B错误； 对于C，线性回归分析中，样本相关系数r的绝对值越大，成对样本数据的线性相关性越强，C正确； 对于D，线性回归模型分析中，模型的决定系数越小，模型的拟合效果越差，D错误. 故选：C 4. 已知函数的导函数为，且满足，则的最大值为（ ） A. B. 0 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】对给定等式求导，求出，进而求出函数的解析式及最大值. 【详解】由，求导得， 令，则，即， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：C 5. 高三某班毕业活动中，有5名同学已站成一排照相，这时有两位老师需要插入进来.若同学顺序不变，则不同的插入方式有（ ） A. 21种 B. 27种 C. 30种 D. 42种 【答案】D 【解析】 【分析】利用插空法，结合分步乘法计数原理求解． 【详解】5位同学已经排好，第一位老师站进去有6种选择， 当第一位老师站好后，第二位老师站进去有7种选择， 所以2位老师与同学们站成一排的站法共有6×7＝42（种）. 故选：D 6. 你正在做一道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为；而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是，那么这一刻，你答对这道选择题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式，列式计算即得. 【详解】依题意，由全概率公式，得答对这道选择题的概率为. 故选：A 7. 的展开式中各项系数和为32，则展开式中含的项是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助赋值法令可得，再利用二项式的展开式的通项公式计算即可得解. 【详解】令，则有，解得， 对有， 则有， 故展开式中含的项是. 故选：A. 8. 已知，，，则，，的大小关系是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数的性质可得，构造函数证明即可比较大小. 【详解】令，求导得，即函数在上单调递减， 则，即，因此； 令，求导得， 函数在上单调递增，则，即，因此， 所以. 故选：B 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 集合，.若，则实数可取值（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BC 【解析】 【分析】求出集合A，利用集合的互异性求出的范围，再结合交集定义求解. 【详解】依题意，，由，得，解得且，D错误， 对于A，，此时，，A错误； 对于B，，此时，，B正确； 对于C，，此时，，C正确. 故选：BC 10. 已知随机变量服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在上是增函数 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正态分布可求得，可判断A；结合正态分布的性质计算可得，可判断B；易得在上是增函数，可判断C；当时，，，可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B：因为， 所以，故B正确； 对于C：当增大时，也增大， 所以在上是增函数，故C正确； 对于D：因为，， 当时，，所以， 又，所以，所以； 当时，，则， 又，所以不成立，故D错误； 故选：ABC 11. 数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线.例如：四叶草曲线就是其中一种（如图）.则下列结论正确的是（ ） A. 曲线关于坐标原点对称 B. 曲线上的点到原点的最大距离为 C. 四叶草曲线所围的区域面积大于 D. 四叶草曲线恰好经过5个整点（横、纵坐标均为整数的点） 【答案】AB 【解析】 【分析】由点在上，点亦在上，即可得A；借助基本不等式计算，结合两点间距离公式可得B；由B知曲线在圆内部，计算出该圆面积即可得C；由B知、的取值范围，即可得D. 【详解】对A：若点在上，则亦在上， 故曲线关于坐标原点对称，故A正确； 对B：若，，， 则，即，当且仅当时等号成立， 故曲线上的点到原点的最大距离为，故B正确； 对C：由B知，故曲线在圆内部， 圆的面积为， 故叶草曲线所围的区域面积不大于，故C错误； 对D：由B知，则，， 则当、为整数时，只有、，此时满足曲线， 故四叶草曲线只经过1个整点，故D错误. 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经统计，用于数学学习的时间（单位：小时）与成绩（单位：分）之间的关系近似于线性相关关系.对某小组学生每周用于数学的学习时间与数学成绩进行数据收集如表： 15 16 18 19 22 102 98 115 120 若由表中样本数据求得线性回归方程为，则实数______. 【答案】115 【解析】 【分析】根据已知条件，利用回归直线必过样本的中心点，列式求解. 【详解】依题意，，， 而线性回归方程为，则， 所以. 故答案为：115 13. 函数的所有极值之和为______. 【答案】4 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，从而可得函数的极值，相加即可得解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得或，由，得或， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 于是当时，取得极大值， 当时，取得极小值， 所以函数的所有极值之和为. 故答案为：4 14. 已知椭圆和双曲线在第一象限的交点为，椭圆的右焦点为，在方向上的投影向量为，则椭圆的离心率为______；双曲线的渐近线方程为______. 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】设椭圆的半焦距为，则，由点的横坐标，得，代入双曲线方程得，则得，，即可求得椭圆的离心率和双曲线的渐近线方程. 【详解】 设椭圆的半焦距为， 则，，① 因为在方向上的投影向量为，点在第一象限， 所以点的横坐标， 代入椭圆的方程得， 又点在双曲线上， 所以，② 由①②解得，， 所以椭圆的离心率为； 双曲线的渐近线方程为. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列是等差数列，且满足，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前99项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列的通项公式，求得公差，进而得到所求. （2）由（1）的结论，利用裂项相消求和即可得解. 【小问1详解】 等差数列中，，则公差，因此， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以. 16. 由于人类的破坏与栖息地的丧失等因素，地球上濒临灭绝生物的比例正在以惊人的速度增长.在工业社会以前，鸟类平均每300年灭绝一种，兽类平均每8000年灭绝一种，但是自工业社会以来，地球物种灭绝的速度已经超出自然灭绝率的1000倍.所以保护动物刻不容缓，全世界都在号召保护动物，动物保护的核心内容是禁止虐待、残害任何动物，禁止猎杀和捕食野生动物，某动物保护机构为了调查研究人们“保护动物意识的强弱与性别是否有关联”，从某市市民中随机抽取200名进行调查，得到统计数据如下表： 性别 保护动物意识 合计 强 弱 男性 30 70 100 女性 60 40 100 合计 90 110 200 （1）根据以上数据，依据小概率值的独立性检验，能否认为人们保护动物意识的强弱与性别有关联？ （2）将表中求得的频率视为概率，现从该市女性市民（人数足够多）中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次.记被抽取的3人中“保护动物意识强”的人数为，若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列和数学期望. 参考公式：，其中. 附： 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）能； （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）将表格中的数据代入公式求出χ2的值，与临界值对比，即可求解. （2）求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列，代入期望公式即可求解． 【小问1详解】 零假设H0：保护动物意识强弱与性别无关， 由表中数据计算， 依据小概率值α＝0.001的独立性检验，我们推断H0不成立， 即认为保护动物意识的强弱与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.001. 小问2详解】 从该市女性市民中抽到1人“保护动物意识强”的概率为， X的所有可能取值为0，1，2，3， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P 数学期望. 17. 五面体为直三棱柱截去一个三棱锥后得到的几何体，，，为的中点，为线段的中点.点满足上. （1）若，求实数的值； （2）若是线段的中点，求平面与平面夹角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，以点C为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出即可求解； （2）利用（1）中坐标系，平面的法向量，再利用面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 以点C坐标原点，直线CA，CB，分别为轴建立空间直角坐标系，如图，    则，，，，，， ，， 所以，， 因为，所以， 所以， 因为，则， 解得； 【小问2详解】 因为P是线段AC的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则， 取，则有，，即， 显然平面的一个法向量为， 设平面ABC与平面PBF的夹角为， 则， 所以， 即平面ABC与平面PBF夹角的正弦值为. 18. 如图，在斜坐标系中，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量，且，的夹角为，定义向量在该斜坐标系中的坐标为有序数对，记为.在斜坐标系中，完成如下问题： （1）若斜坐标系中，，且，求实数的值； （2）若斜坐标系中，，求向量，的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由及条件，结合向量数量积的运算律建立方程求解即可. （2）利用向量数量积的运算律求出，再利用向量夹角的公式计算即得. 【小问1详解】 依题意，，由，得， 由，得，即， 整理得，所以. 【小问2详解】 由（1）知，，由，得， 则， ， ， 所以向量，的夹角的余弦值. 19. 固定项链的两端，在重力的作用下项链所形成的曲线是悬链线1691年，莱布尼茨等得出“悬链线”方程为.当时，就是双曲余弦函数，类似的我们可以定义双曲正弦函数.它们与正、余弦函数有许多类似的性质. （1）求与的导数； （2）证明：在上恒成立； （3）求的零点. 【答案】（1），； （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）借助导数公式计算即可得； （2）构造函数后，借助导数研究其单调性即可得； （3）多次求导最终判断函数在内单调递增，结合奇函数的定义得到为奇函数，又，即可得其具有唯一零点. 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 构造函数，， 由（1）知，， 当且仅当，即时，等号成立， 故在上单调递增，则， 故在上恒成立，即得证； 【小问3详解】 由，则， 令，则， 令，则， 令，则， 当时，由（2）可知，， 则， 令，则，故在内单调递增， 则，故在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，故在上单调递增， 则，故在上单调递增， 由， 且定义域为，则为奇函数， 由，则在上单调递增， 故具有唯一零点. 【点睛】关键点点睛：最后一问关键点在于借助导数多次求导最终判断函数在上的单调性，再结合奇函数的性质得到在上的单调性. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$