精品解析：广东省广州市荔湾区2023-2024学年九年级上学期期末数学模拟试题

广东省广州市荔湾区2023-2024学年第一学期九年级期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，为中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 本题考查了中心对称图形，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误； B、是中心对称图形，故此选项正确； C、不是中心对称图形，故此选项错误； D、不是中心对称图形，故此选项错误； 故选：B． 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的顶点式，直接写出顶点坐标即可． 【详解】抛物线的顶点坐标是：． 故选B． 【点睛】本题主要考查二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的顶点坐标为（h，k）是解题的关键． 3. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据圆周角定理即可得出答案． 【详解】解：， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 4. 反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，的在函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答． 【详解】解：∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴， ∴点在第二象限， ∴， ∵， ∴，两点在第四象限， ∴， ∵函数图象在第四象限内为增函数， ∴． ∴，，的大小关系为． 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握反比例函数图象增减性，当时，该反比例函数的图象在每个象限内y随x的增大而增大． 5. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：画树状图得： ∵共有9种等可能的结果，小明和小亮选到同一社区参加实践活动的有3种情况， ∴小明和小亮选到同一社区参加实践活动的概率为： 故选B 6. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴交点的知识．根据题意得出，然后求出的值，即可以得到与轴的交点坐标． 【详解】解：令，得， 故与轴的交点坐标是：． 故选：B． 7. 如图，四边形是的内接四边形，点E是延长线上一点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：， ， 故选：D． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质的应用，解决此题的关键是圆内接四边形的对角互补，并且一个外角等于它的内对角． 8. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，进而得出为等边三角形，进而求出． 【详解】解：∵ 由直角三角形中，30°角所对直角边等于斜边的一半可知， ∴cm， 又∠CAB=90°-∠ABC=90°-30°=60°， 由旋转的性质可知：，且， ∴为等边三角形， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，旋转的性质等，熟练掌握其性质是解决此类题的关键． 9. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如图所示（见详解），设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为，可得半径，根据垂径定理，可知，设，根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，设圆弧形拱桥所在为位置的圆的圆心为， ∵圆弧形拱桥的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离）米， ∴，，且半径， 设，在中，，， ∴，解方程得，， ∴拱桥的半径为， 故选：． 【点睛】本题主要考查圆与直角三角形的综合，掌握圆的垂径定理，直角三角形的勾股定理是解题的关键． 10. 如图，矩形的顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设、，根据题意：利用函数关系式表示出线段，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：设点A的坐标为，．则． ∴点B的纵坐标为． ∴点B的横坐标为． ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴． ． ∴． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数的几何意义，反比例函数的图像上点的坐标的特征、矩形的性质等知识点，灵活利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若2是关于的方程的一个根，则________． 【答案】4 【解析】 【分析】将代入方程可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握解的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得， 故答案为：4． 12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先画出平面直角坐标系，再根据旋转的性质即可得出答案． 【详解】解：由题意，画出图形如下，其中点的坐标为： 过点作轴于点，则， 因为点分别是点绕原点逆时针旋转的对应点， 所以轴， 又因为点位于第二象限， 所以点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求绕原点逆时针旋转的点坐标，熟练掌握旋转的性质是解题关键． 13. 一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有_________个黄球． 【答案】15 【解析】 【分析】通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4，即红球占总数的0.4，列方程求解即可． 【详解】解：设有黄球x个，由题意得，， 解得，， 经检验，是原方程的解， 故答案为：15 【点睛】本题考查频率估计概率，理解频率和概率之间的关系是正确解答的关键． 14. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________ 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了根据二次函数的图象和性质，根据解析式可得二次函数的对称轴为直线，二次函数图象开口向下，进而根据点距离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵， ∴二次函数图象开口向下， ∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵抛物线的图象上有三个点，， ∴， 故答案为： 15. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，易证∽，则面积比等于相似比的平方，然后根据反比例函数中比例系数k的几何意义即可求解． 【详解】解：作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D． 则∠BDO＝∠ACO＝90°， 则∠BOD＋∠OBD＝90°， ∵OA⊥OB， ∴∠BOD＋∠AOC＝90°， ∴∠OBD＝∠AOC， ∴∽， ∴， 又∵S△AOC＝×4＝2， ∴S△OBD＝， ∵第二象限的点在反比例函数上 ∴k＝． 故答案为． 【点睛】本题考查了相似三角形判定与性质，以及反比例函数的比例系数k的几何意义，正确作出辅助线求得两个三角形的面积的比是关键． 16. 已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】①由抛物线开口向下a＜0，抛物线和y轴的正半轴相交，c＞0， ＝1＞0，b＞0，②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，③＝1，即2a+b＝0，④把x＝m代入函数解析式中表示出对应的函数值，把x＝1代入解析式得到对应的解析式，根据图形可知x＝1时函数值最大，所以x＝1对应的函数值大于x＝m对应的函数值，化简得到不等式． 【详解】解：①∵抛物线开口向下，抛物线和y轴的正半轴相交， ∴a＜0，c＞0， ∵＝1＞0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②令x＝﹣1，时y＜0，即a﹣b+c＜0，故②错误； ③∵＝1， ∴2a+b＝0， 故③正确； ④x＝m对应的函数值为y＝am2+bm+c， x＝1对应的函数值为y＝a+b+c，又x＝1时函数取得最大值， ∴a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm＝m（am+b）， 故④错误； 故答案为①③． 【点睛】本题主要考查二次函数的图象与系数、性质，熟练掌握二次函数的图象与系数、性质的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查利用因式分解法解一元二次方程， （1）选择因式分解法求解即可． （2）选择因式分解法先移项，再提取公因式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 解得． 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， 解得． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．试画出绕点逆时针旋转90°的，并写出、坐标． 【答案】图见解析，、 【解析】 【分析】先画出点A、B、C绕点逆时针旋转90°的对应点，再一次连接即可，最后根据图形写出、坐标即可． 【详解】解：如图： 由图可知：、． 【点睛】本题主要考查了旋转的作图，解题的关键是熟练掌握旋转的作图方法和步骤． 19. 如图，在中，已知，，将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A，设与相交于点F，求的大小． 【答案】 【解析】 【分析】根据“等边对等角”与“三角形内角和定理”求得大小，然后根据旋转的性质得，，再求出，然后根据三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：，， ， ， 将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A， ，， 在中，， ， ， ， ； 的大小为． 【点睛】此题考查了图形旋转的性质、等边对等角、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，熟练掌握并运用相关性质与定理进行逻辑推理是解答此题的关键． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 【答案】（1）①400；②图见解析③54 （2）参加组（阅读）的学生人数为980人 （3）恰好抽中甲、乙两人的概率为 【解析】 【分析】（1）①利用参加体育活动小组的人数除以所占的百分比求出总人数；②先求出参加小组的人数，再补全条形图即可；③用小组人数所占的百分比求出圆心角度数即可； （2）用总人数乘以参加组在样本中所占的百分比，进行求解即可； （3）利用列表法求出概率即可． 【小问1详解】 解：①（人）； 故答案为：； ②参加组的学生人数为：（人）； 参加组的学生人数为：（人）； 补全条形图如下： ③； 故答案为：54； 【小问2详解】 解：（人）； 答：参加组（阅读）的学生人数为980人． 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，丙 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有12种等可能的结果，其中抽到甲、乙两人的情况有2种， ∴； 答：恰好抽中甲、乙两人的概率为． 【点睛】本题考查条形图和扇形图的综合应用，以及利用列表法求概率．从条形图和扇形图中有效的获取有效信息，熟练掌握列表法求概率，是解题的关键． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？ 【答案】（1）w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25）（2）销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大 【解析】 【分析】（1）利用销量×每件利润=总利润，进而求出即可； （2）利用二次函数的性质得出销售单价. 【详解】（1）根据题意得：w =（25+x-20)(250-10x） 即：w =-10x2+200x+1250或w=-10（x-10）2+2250（0≤x≤25） （2）∵-10＜0，∴抛物线开口向下，二次函数有最大值， 当时，销售利润最大 此时销售单价为：10+25=35（元） 答：销售单价为35元时，该商品每天的销售利润最大． 【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，根据题意利用函数性质得出最值是解题关键． 22. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O的切线； （2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径为4 【解析】 【分析】（1）连接OE，根据等腰三角形的性质和平行线的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：（1）连接OE． ∵AB＝BC， ∴∠A＝∠C； ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠C， ∴∠A＝∠OEC， ∴OE∥AB， ∵BA⊥GE， ∴OE⊥EG，且OE为半径； ∴EG是⊙O的切线； （2）∵BF⊥GE， ∴∠BFG＝90°， ∵，GB＝4， ∴， ∵BF∥OE， ∴△BGF∽△OGE， ∴， ∴， ∴OE＝4， 即⊙O的半径为4． 【点睛】 本题考查了圆和三角形的综合问题，掌握等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 23. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】（1）、； （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）把，两点的坐标代入一次函数的解析式即可求出m、n的值，再把B的坐标代入反比例函数的解析式即可求出k的值； （2）求得C的坐标，然后根据求得即可； （3）作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则，利用两点之间线段最短可判断此时的值最小，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后求出直线与x轴的交点坐标即可得到P点坐标． 【小问1详解】 解：把，两点的坐标代入， 得， ，解得， 则、， 把代入，得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵一次函数的图象与y轴交于点C， ∴， ∴， ∵、， ∴； 【小问3详解】 解：作B点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，则， ∵， ∴此时的值最小， 设直线的解析式为， 把点，的坐标代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得：， ∴点P的坐标为． 【点睛】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，最短路径问题，解题的关键，（1）是熟练掌握待定系数法，（2）利用割补法，（3）是作出点B关于x轴的对称点，求得对称点的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 【答案】（1） （2） （3）面积的最大值为2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可； （2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可； （3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案． 【小问1详解】 解：把代入抛物线得： ， 解得：， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：∵点G是该抛物线对称轴上动点， ∴， ∴， ∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小， 把代入得：， ∴点C的坐标为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴ 直线的解析式为：， 抛物线的对称轴为直线， 把代入得：， ∴点G的坐标为：； 【小问3详解】 解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示： ∵点D是的中点， ∴， ∴当面积最大时，面积最大， 设，则， ， ， ∴当时，面积取最大值4， ∴面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 广东省广州市荔湾区2023-2024学年第一学期九年级期末数学模拟试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，为中心对称图形的是（    ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，点在上，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 4. 反比例函数的图象在直角坐标系中的位置如图，若点，，的在函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A. B. C. D. 5. 暑假即将来临，小明和小亮每人要从甲、乙、丙三个社区中随机选取一个社区参加综合实践活动，那么小明和小亮选到同一社区参加实践活动概率为（ ） A. B. C. D. 6. 抛物线与y轴的交点坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形是内接四边形，点E是延长线上一点，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，将绕点逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 某地有一座圆弧形拱桥，它的跨度（弧所对的弦的长），拱高（弧的中点到弦的距离），则求拱桥的半径为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，矩形顶点A、B分别在反比例函数与的图像上，点C、D在x轴上，分别交y轴于点E、F，则阴影部分的面积等于（ ） A. B. 2 C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 若2是关于方程的一个根，则________． 12. 点（2，3）绕原点逆时针旋转90°对应点的坐标是 _____． 13. 一口袋中装有10个红球和若干个黄球（这些球除颜色外都相同），通过大量重复实验得知，摸到红球的频率为0.4．据此估计：口袋中约有_________个黄球． 14. 已知三点都在二次函数的图象上，则的大小关系为___________ 15. 如图，已知第一象限内的点在反比例函数上，第二象限的点在反比例函数上，且，，则的值为_______． 16. 已知二次函数的y＝ax2+bx+c （a≠0）图象如图所示，有下列4个结论：①abc＜0；②b＜a+c；③2a+b＝0；④a+b＜m （am+b） （m≠1的实数），其中正确的结论有_____． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 在平面直角坐标系中，的顶点坐标是，，．试画出绕点逆时针旋转90°的，并写出、坐标． 19. 如图，在中，已知，，将绕点B按逆时针方向旋转一定的角度后得到，若恰好经过点A，设与相交于点F，求的大小． 20. 某校为落实“双减”工作，增强课后服务的吸引力，充分用好课后服务时间，为学有余力的学生拓展学习空间，成立了5个活动小组（每位学生只能参加一个活动小组）：．音乐；．体育；．美术；．阅读；．人工智能．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图． 根据图中信息，解答下列问题： （1）①此次调查一共随机抽取了______名学生； ②补全条形统计图（要求在条形图上方注明人数）； ③扇形统计图中圆心角______度； （2）若该校有2800名学生，估计该校参加组（阅读）的学生人数； （3）学校计划从组（人工智能）的甲、乙、丙、丁四位学生中随机抽取两人参加市青少年机器人竞赛，请用树状图法或列表法求出恰好抽中甲、乙两人的概率． 21. 某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件． （1）求出每天所得的销售利润w（元）与每件涨价x（元）之间的函数关系式； （2）销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大？ 22. 如图，AB＝BC，以BC为直径作⊙O，AC交⊙O于点E，过点E作EG⊥AB于点F，交CB的延长线于点G． （1）求证：EG是⊙O切线； （2）若GF＝2，GB＝4，求⊙O的半径． 23. 如图，一次函数的图象与y轴交于点C，与反比例函数的图象交于，两点． （1）求A、B两点的坐标和反比例函数的表达式； （2）连接、，求的面积； （3）在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标； （3）若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$