精品解析：北京师范大学附属实验中学2023-2024学年七年级下学期月考数学试题

北师大实验中学2023—2024学年度第二学期 初一数学阶段练习 试卷说明： 1．本试卷考试时间为90分钟，总分数为110分． 2．本试卷共7页，四道大题，26道小题． 3．请将答案都写在答题纸上． 4．一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效． 5．注意保持卷面整洁，书写工整． A卷 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据立方根的定义进行求解即可：对于两个数a，b，如果，那么a就叫做b的立方根． 【详解】解：∵， ∴的立方根为， 故选B． 【点睛】本题主要考查了立方根，熟知立方根的定义是解题的关键． 2. 通过平移图中的吉祥物“海宝”得到的图形是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题根据平移的特点即可找到答案． 【详解】A、B、C吉祥物“海宝”是原图形通过旋转得到的，因此不是平移，只有D符合要求，是平移． 故选：D． 【点睛】此题考查平移的性质即平移后图形不变． 3. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ） A. B. C. 3.1415 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据无理数的定义：限不循环小数叫无理数，结合算术平方根的性质分析，即可得到答案． 【详解】是无理数，故选项A符合题意； ，是整数，属于有理数，故选项B不合题意； 是有限小数，属于有理数，故选项C不合题意； 是分数，属于有理数，故选项D不合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了实数、算术平方根的知识；解题的关键是熟练掌握无理数的定义和算术平方根的性质，从而完成求解． 4. 如图，点E、B、C、D在同一条直线上，∠A=∠ACF，∠DCF=50°，则∠ABE的度数是（　　　） A. 50° B. 130° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【分析】根据∠A=∠ACF证得，求出∠ABC，利用邻补角定义求出∠ABE． 【详解】解：∵∠A=∠ACF， ∴， ∴∠ABC=∠DCF=50°， ∴∠ABE=， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等，熟记性质是解题的关键． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 同一平面内，不相交的两条直线是平行线 D. “相等的角是对顶角”是真命题 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行公理、点到直线的距离、平行线的定义及对顶角的性质分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选项错误； C、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，正确； D、相等的角是对顶角是假命题，故选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行公理、点到直线的距离、平行线的定义及对顶角的性质等知识，难度不大． 6. 下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查算术平方根、立方根的概念，熟悉它们的意义是解题的关键．根据算术平方根定义和立方根的定义和性质解答即可． 【详解】解：A、表示9的算术平方根，结果是3，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、表示的立方根的相反数，，故本选项符合题意； D、表示16的算术平方根的相反数，，故本选项不合题意． 故选：C. 7. 如图，两直线、平行，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】分别过E点,F点,G点,H点作L1,L2,L3,L4平行于AB 观察图形可知，图中有5组同旁内角， 则 故选D 【点睛】本题考查了平行线的性质，添加辅助线是解题的关键 8. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ） A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步 【答案】B 【解析】 【分析】根据图示和平移的性质，注意正确的计数，查清方格的个数，从而求出步数． 【详解】解：由图形知，中间的线段向左平移1个单位，上边的直线向右平移2个单位，最下边的直线向上平移2个单位，只有这样才能使构造的三角形平移的次数最少，其它平移方法都多于5步． ∴通过平移使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要5步． 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的平移变换，注意平移不改变图形的形状和大小且平移前后图形对应点之间的连线应该互相平行，另外使平移后成为三角形． 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 已知是方程y=kx＋4的解，则k的值是____． 【答案】 【解析】 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出k的值． 【详解】解：把代入方程得：-2=4k+4， 解得：k=， 故答案为：. 【点睛】此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程注意两边相等的未知数的值． 10. 如图，直线交于点O，平分，，则________． 【答案】46°##46度 【解析】 【分析】本题考查角平分线的定义及对顶角相等，熟练找到角度之间的关系是解题的关键． 根据角平分线求出，再根据对顶角相等求出即可． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， 故答案为：46°． 11. 对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则_______，_______． 【答案】 ①. （答案不唯一） ②. （答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：；（答案不唯一）． 12. 如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为_____；若点A对应的数是，则点B对应的数是_____． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的周长及实数与数轴， 解题的关键是求了出．运用圆的周长公式求出周长即可 ． 【详解】解：长度为：， 点对应的数是， 故答案为：，． 13. 已知，则的值是 __． 【答案】 【解析】 【分析】根据乘方和绝对值的性质，得二元一次方程组并求解，即可得到x和y的值，结合代数式的性质计算，即可得到答案． 【详解】， ，，即， 将代入到，得： 去括号，得： 移项并合并同类项，得： 将代入到，得 ∴ ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了乘方、绝对值、二元一次方程组、代数式的知识；解题的关键是熟练掌握二元一次方程组的性质，从而完成求解． 14. 如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积______． 【答案】1421平方米 【解析】 【分析】将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，则剩余部分即为种植花草的面积． 【详解】解：将横向的小路平移至长方形的上边，将纵向小路平移至长方形的左边，可以得到下图： 所以种植花草面积=(50−1)(30−1)=1421m2， 故答案为1421平方米． 【点睛】本题考查了平移在实际中的应用，将两条小路平移至长方形的边上，使种植花草的面积等于一个长方形的面积是解决此题的关键． 15. 如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是________． 【答案】或 【解析】 【分析】此题主要考查了角的计算，解决问题的关键是理解如果一个角的两边分别与另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补．根据比的2倍少得，再根据与的两边分别垂直得或，由此可求出与的值． 【详解】解：比的2倍少， ， 与的两边分别垂直， 或， 当时，， 解得：， 此时； 当时，， 解得：， ． 综上所：的度数是或． 故答案为：或． 16. 如图，直线，直线l与直线相交于点E，F，点P是射线上的一个动点（不包括端点E），将沿折叠，使顶点E落在点Q处．若，点Q恰好落在其中一条平行线上，则的度数为_____． （备用图） 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键．分两种情况：当点落在上时；当点落在上时；然后分别画出图形进行计算即可解答． 【详解】解：分两种情况： 当点落在上时，如图： 由折叠得：， ， ， ， ； 当点落在上时，如图： ， ， ， 由折叠得：； 综上所述：的度数为：或， 故答案为：或． 三、解答题（共60分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）首先计算开平方，然后计算乘法，最后计算减法，求出算式的值即可； （2）首先计算开立方，然后从左向右依次计算，求出算式的值即可． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 18. （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，注意代入消元法和加减消元法的应用是关键． （1）应用代入消元法，求出方程组的解即可； （2）应用加减消元法，求出方程组的解即可． 【详解】解：（1）， ①代入②，可得：， 解得， 把代入①，解得， 原方程组的解是． （2）， ①②，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是． 19. 如图，过三角形的顶点B画直线，过点C画的垂线段． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图—复杂作图、平行线的判定、垂线，熟练掌握平行线的判定、垂线的定义是解答本题的关键．根据作一个角等于已知角的方法作，则；根据垂线的作图方法作即可． 【详解】解：如图，即为所求． 在的右侧作， 则， 则即为所求． 20. 如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD//BC， 　　（理由：　　）． 平分， 　　　　． ． ， ， 　　　　（理由：　　）． （理由：　　）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【解析】 【分析】根据平行线的性质与判定，角平分线的意义，补全证明过程即可． 【详解】 （理由：两直线平行，内错角相等）， 平分， ， ． ， ， （理由：同位角相等，两直线平行）． （理由：两直线平行，同旁内角互补）． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的意义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 21. 已知：如图，四边形中，为对角线，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质及判定定理，综合运用平行线的性质和判定定理是解答此题的关键． （1）由平行线的性质易得，等量代换得，利用平行线的判定得出结论； （2）由平行线的性质易得，由角平分线的性质可得，易得，利用三角形的内角和定理得结论． 【小问1详解】 证明： 又 【小问2详解】 解：， ， 平分 又 ． 22. 学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买5个篮球和10个足球需花费1150元，若买9个篮球和6个足球需花费1170元． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）实际购买时，正逢该商店进行促销．所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和足球，恰好花费1760元．请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少． 【答案】（1）篮球的单价是80元，足球的单价是75元； （2）学校购买篮球5个，足球24个或购买篮球20个，足球8个． 【解析】 【分析】此题主要考查一元一次方程的实际应用． （1）首先设篮球的单价是元，则足球的单价是元，然后根据题意列出方程求解即可； （2）首先设购买了个篮球，则购买足球数为，求出其整数解即可． 【小问1详解】 解：设篮球的单价是元，则足球的单价是元， 根据题意得， 解得， ， 答：篮球的单价是80元，足球的单价是75元； 【小问2详解】 解：设购买了个篮球， 则购买足球数为， ∵为整数，且也是整数， ∴或， 当时，； 当时，， 答：学校购买篮球5个，足球24个或学校购买篮球20个，足球8个． 23. 已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，ab）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，32）即（5，1）． （1）有序数对（2，1）的“3阶结伴数对”为 ； （2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（1，5），求a，b的值； （3）若有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，求a，b的数量关系，并求出此时k的值． 【答案】（1）（﹣5，﹣3） （2）a＝2，b＝﹣3 （3）a＝2b，k的值为． 【解析】 【分析】（1）根据“k阶结伴数对”的含义求解横纵坐标即可； （2）根据“k阶结伴数对”的含义列二元一次方程组，再解方程组即可； （3）根据“k阶结伴数对”含义列二元一次方程组，再解方程组即可； 【小问1详解】 解：∵3×（﹣2）+1＝﹣5，﹣2﹣1＝﹣3， ∴有序数对（﹣2，1）的“3阶结伴数对”为（﹣5，﹣3）， 故答案为：（﹣5，﹣3）； 【小问2详解】 根据题意，得， 解得：， 即a＝2，b＝﹣3； 【小问3详解】 ∵有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身， ∴ka+b＝a，a﹣b＝b， ∴a＝2b， 把a＝2b代入ka+b＝a得：2bk+b＝2b， 即2bk＝b， ∵ 解得：， 所以a＝2b，， 【点睛】本题考查的是新定义运算的含义，二元一次方程组的应用，理解“新定义的含义再建立二元一次方程组”是解本题的关键． 24. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①点在直线的上方时，；点在直线的下方时，；②． 【解析】 【分析】（1）作，根据平行线的性质证明即可； （2）①分两种情况，画出图形后，利用平行线的性质求解即可；②先确定点到直线的最大距离就是线段的长，再画出图形，利用平行线的性质和垂线的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：补全图形如图所示，作， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， 即 【小问2详解】 解：①分两种情况： 点在直线的上方时，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理，得； 点在直线的下方时，如图所示： ， ∴， 整理，得； ②作，如图所示： ∵， ∴点到直线的距离就是线段的长， ∵， ∴点到直线最大距离就是线段的长，此时，作于点，如图所示： 由平移的性质得：， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，平行线间的距离，点到直线的距离，角的和差，恰当分类并画出图形是解题的关键． B卷 四、探究题（本题共10分） 25. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度（），当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值是______. 【答案】，，，， 【解析】 【分析】此题考查了旋转变换，平行线的性质，分种情况，分别画出图形，利用平行线的性质解答即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：（）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当 时，如图， 则； （）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当时，如图， ∵， ∴， ∴； （）当时，如图，过点作， 则， ∴， ∴； 综上，旋转角的值是，，，，， 故答案：，，，，． 26. 已知，直线，点E为直线上一定点，射线交于点F，平分，． （1）如图1，当时， °； （2）点P为线段上一定点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求与的数量关系； ②当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 【答案】（1） （2）①；②的度数为：或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由得，根据平角的定义及角平分线的性质可得出，然后将代入即可； （2）①延长交于点，由得，由得可得出结论； ②由于的一边恰好与射线平行，因此有以下两种情况， （ⅰ）当与射线平行时，设，延长交于点，由得，，再由及（1）的结论得，然后由三角形的内角和定理得，据此可得出答案； （ⅱ）当与射线平行时，由得由得，进而得，据此可得，最后再由三角形的外角定理可得出答案． 【小问1详解】 解：∵， ， ， ， 平分， ， ． 【小问2详解】 解：①与的数量关系是：． 理由如下： 延长交于点， ∵， ， ， ， ， ， ， ． ②的度数为：或． 理由如下： 的一边恰好与射线平行， 有以下两种情况， （ⅰ）当与射线平行时，设， 延长交于点， ∵， ，， ∵， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， ， （ⅱ）当与射线平行时， ∵， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，垂直的定义，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行内错角相等，两直线平行同位角相等，难点是分类讨思想在解题中的应用，这也是解答此题的易错点之一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大实验中学2023—2024学年度第二学期 初一数学阶段练习 试卷说明： 1．本试卷考试时间为90分钟，总分数为110分． 2．本试卷共7页，四道大题，26道小题． 3．请将答案都写在答题纸上． 4．一律不得使用涂改液及涂改带，本试卷主观试题铅笔答题无效． 5．注意保持卷面整洁，书写工整． A卷 一、选择题（每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意） 1. 的立方根是（ ） A. 2 B. C. D. 4 2. 通过平移图中吉祥物“海宝”得到的图形是（　　） A. B. C. D. 3. 在实数，，3.1415，中，无理数是（ ） A. B. C. 3.1415 D. 4. 如图，点E、B、C、D在同一条直线上，∠A=∠ACF，∠DCF=50°，则∠ABE的度数是（　　　） A. 50° B. 130° C. 135° D. 150° 5. 下列说法正确的是（ ） A. 经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B. 直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离 C. 同一平面内，不相交的两条直线是平行线 D. “相等的角是对顶角”是真命题 6. 下列式子正确是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，两直线、平行，则（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，如果将图中任意一条线段沿方格线的水平或竖直方向平移1格称为“1步”，那么通过平移要使图中的3条线段首尾相接组成一个三角形，最少需要（ ） A. 4步 B. 5步 C. 6步 D. 7步 二、填空题：（每小题2分，共16分） 9. 已知是方程y=kx＋4解，则k的值是____． 10. 如图，直线交于点O，平分，，则________． 11. 对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则_______，_______． 12. 如图，直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动（无滑动）一周到达点B，则的长度为_____；若点A对应的数是，则点B对应的数是_____． 13. 已知，则值是 __． 14. 如图，在长为50米，宽为30米的长方形地块上，有纵横交错的几条小路，宽均为1米，其它部分均种植花草．则种植花草的面积______． 15. 如果与的两边分别垂直，比的2倍少，则的度数是________． 16. 如图，直线，直线l与直线相交于点E，F，点P是射线上的一个动点（不包括端点E），将沿折叠，使顶点E落在点Q处．若，点Q恰好落在其中一条平行线上，则的度数为_____． （备用图） 三、解答题（共60分） 17. 计算： （1） （2） 18. （1） （2） 19. 如图，过三角形的顶点B画直线，过点C画的垂线段． 20. 如图，AD//BC，的平分线交于点，交的延长线于点，． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：∵AD//BC， 　　（理由：　　）． 平分， 　　　　． ． ， ， 　　　　（理由：　　）． （理由：　　）． 21. 已知：如图，四边形中，为对角线，点E在边上，点F在边上，且． （1）求证：； （2）若平分，，求度数． 22. 学校计划在某商店购买秋季运动会的奖品，若买5个篮球和10个足球需花费1150元，若买9个篮球和6个足球需花费1170元． （1）篮球和足球的单价各是多少元？ （2）实际购买时，正逢该商店进行促销．所有体育用品都按原价的八折优惠出售，学校购买了若干个篮球和足球，恰好花费1760元．请直接写出学校购买篮球和足球的个数各是多少． 23. 已知有序数对（a，b）及常数k，我们称有序数对（ka+b，ab）为有序数对（a，b）的“k阶结伴数对”．如（3，2）的“1阶结伴数对”为（1×3+2，32）即（5，1）． （1）有序数对（2，1）的“3阶结伴数对”为 ； （2）若有序数对（a，b）的“2阶结伴数对”为（1，5），求a，b的值； （3）若有序数对（a，b）（b≠0）的“k阶结伴数对”是它本身，求a，b的数量关系，并求出此时k的值． 24. 如图，已知线段，点是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段．点是线段上一动点，连接，． （1）依题意在图1中补全图形，并证明：； （2）过点C作直线．在直线上取点，使． ①当时，画出图形，并直接用等式表示与之间的数量关系； ②在点运动的过程中，当点到直线的距离最大时，的度数是________（用含的式子表示）． B卷 四、探究题（本题共10分） 25. 一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点，按顺时针方向旋转度（），当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值是______. 26. 已知，直线，点E为直线上一定点，射线交于点F，平分，． （1）如图1，当时， °； （2）点P为线段上一定点，点M为直线上的一动点，连接，过点P作交直线于点N． ①如图2，当点M在点F右侧时，求与的数量关系； ②当点M在直线上运动时，的一边恰好与射线平行，直接写出此时的度数（用含α的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$