指对幂函数小专题检测卷-2025届高三数学一轮复习

指对幂函数小专题-2025年高考数学常考易错一轮复习检测卷 一、单选题 1．设函数在区间单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知，若，，，则（    ） A． B． C． D． 3．定义在上的奇函数，满足，当时，，若，则（    ） A． B． C． D． 4．已知函数.设，则（    ） A． B． C． D． 5．在下列函数中，是奇函数且在上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 6．设，，.若，，则最大值为（    ） A．2 B． C．1 D． 7．若函数，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 8．遗忘曲线（如图）由德国心理学家研究发现，描述了人类大脑对新事物遗忘的规律.人体大脑对新事物遗忘的循序渐进的直观描述，人们可以从遗忘曲线中掌握遗忘规律并加以利用，从而提升自我记忆能力.该曲线对人类记忆认知产生了重大影响.设初次记忆后经过了小时，那么记忆率近似的满足.则记忆率为时，所经过的时间约为（    ） (参考数据:)    A．2小时 B．小时 C．小时 D．小时 二、多选题 9．已知实数a，b，c满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．若，则的最小值为2 10．已知函数若，且，则下列关系式一定成立的为（    ） A． B． C． D． 11．已知函数，则（    ） A．的定义域为 B．的值域为 C． D．的单调递增区间为 三、填空题 12．已知函数，则的值为 ． 13．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为 . 14．人工智能（Artificial Intelligence），英文缩写为AI.它是研究､开发用于模拟､延伸和扩展人的智能的理论､方法､技术及应用系统的一门新的技术科学.人工智能研究的一个主要目标是使机器能够胜任一些通常需要人类智能才能完成的复杂工作.在疫情期间利用机器人配送､机器人测控体温等都是人工智能的实际运用.某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了，预计以后每年资金年增长率与第一年相同.公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元，第年年底企业的剩余资金超过21000万元，则整数的最小值为 . 四、解答题 15．设，函数. (1)求的值，使得为奇函数； (2)若，求满足的实数的取值范围. 16．已知函数，其中. (1)求证：是奇函数； (2)若关于的方程在区间上有解，求实数的取值范围. 17．已知幂函数在上单调递增，函数. (1)求的值； (2)当时，记，的值域分别为集合，，设命题：，命题：，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围. 18．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是，室温是，则经过时间t（单位：分钟）后物体的温度（单位：）满足，其中k为正常数.该研究小组在的室温下，通过多次测量取平均值的方法，测得200mL初始温度为的水的温度降至相应温度所需时间如下表所示： 从降至所需时间 3.4分钟 从降至所需时间 5.0分钟 (1)从上表中选取一组数据求出k的值（精确到0.01），并根据上述冷却模型写出冷却时间t关于冷却后水温的函数解析式； (2)在（1）的条件下，现用200mL水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮用口感约需要多少分钟？（精确到0.1分钟） （参考数据：，，，） 19．若定义在上的函数满足对任意实数恒成立，则我们称为“类余弦型”函数. (1)已知为“类余弦型”函数，且，求和的值； (2)在（1）的条件下，定义，求的值； (3)若为“类余弦型”函数，且对任意非零实数，总有，求证：函数为偶函数.设有理数满足，判断和的大小关系，并证明你的结论. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．D 【分析】运用复合函数单调性知识，结合对数函数和二次函数单调性可解. 【详解】设，则其对称轴为，抛物线开口向下， 是减函数，要使在区间单调递减， 则在区间单调递增，即且，即， 故实数的取值范围是. 故选：D. 2．A 【分析】根据对数的运算及，，，即可得出，，，然后根据对数函数的单调性即可得出，，的大小关系． 【详解】， ，． 故选：A． 3．C 【分析】由定义在上奇函数的性质求得，进而求得，再结合函数的奇偶性及对称性得出周期，进而求得，结合列出方程求解即可． 【详解】因为是定义在上的奇函数，当时，， 所以，解得， 所以， 由及得，， 所以，即周期为4， 所以，， 因为， 所以，解得， 所以， 故选：C． 4．D 【分析】令，由得函数为奇函数，且在单调递增，不妨设，设点，则的直线方程为，故，两式相加得，再由函数的奇偶性得即可求解. 【详解】由题意，函数的定义域为， 令， 则， 所以为奇函数，且在单调递增，如图所示， 因为， 所以不妨设， 设点， 则的直线方程为， 如图，因为， 所以两式相加得， 又因为， 所以， 所以， 即. 故选：D. 5．B 【分析】运用幂函数奇偶性和单调性可解 【详解】根据幂函数性质知道， 定义域为，上单调递增，非奇非偶函数，故A错误； 奇函数且在单调递增，故B正确； 为偶函数，且在单调递增，故C错误； 为奇函数，且在单调递减，故D错误. 故选：B． 6．C 【分析】先利用指、对数的关系，用表示，再利用基本不等式求最大值. 【详解】∵，，，， ∴，， ∴， 当且仅当，时取等号. ∴的最大值为1. 故选：C. 7．D 【分析】根据给定条件，利用对数函数单调性求出的值域，再借助二次函数求出的值域，最后利用指数函数单调性求解即得. 【详解】由可得， 函数在上单调递增，， 令， 而函数在上单调递增，则， 所以函数的值域为. 故选：D 8．C 【分析】令，代入函数，结合指数对数的运算求解即可. 【详解】由题意，当时，，，. 故选：C. 9．BC 【分析】利用不等式的性质、指数函数的单调性以及二次函数进行计算求解. 【详解】对于A，等价于，当时，显然不成立，故A错误； 对于B，，，，故B正确； 对于C，，，，故C正确； 对于D，，，，所以， 所以， 所以当时，的最小值为2，此时，显然不满足，故D错误. 故选：BC. 10．ACD 【分析】对于A，当时讨论推理即可．对于B，举反例即可．对于C，D，分两种情况讨论：和时，利用对数的运算性质，推理判断出每个的真假． 【详解】对于A，若，且，只能，有， 则，，所以，故A正确； 对于B，举反例：当时， 则，， 此时，故B不正确； 对于C，易知，且．若，且，则有： （ⅰ）当时，有， 则，， 且，所以； （ⅱ）当时，， 且，则． 综上所述：，故C正确； 对于D，若，则．若，且，分类讨论． （ⅰ）当时，有， 从而，， 则； （ⅱ）当时，则，， 因为， 则，从而． 综合所述：，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点根据题意，且，根据相应的选项特征分类讨论，进而分析判断即可. 11．ABC 【分析】根据函数的解析式，求出函数的定义域值域即可判断A、B，求出利用对数运算法则即可求解C，根据复合函数的单调性即可判断D. 【详解】对AB，由，得，则的定义域为，值域为，A，B均正确； 对C，，C正确； 对D，因为，所以，外层函数为增函数， ，令，所以函数定义域为， 内层函数，在上单调递增，上单调递减， 所以的单调递增区间为不是D错误. 故选：ABC 12．4 【分析】根据给定条件，判断并代入计算即得. 【详解】依题意，，而函数， 所以. 故答案为：4 13． 【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解. 【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减， 所以，解得，则. 故答案为：. 14．6 【分析】由题意中的递推，得证数列是以3000为首项，为公比的等比数列，求出通项后解不等式即可. 【详解】由题意得，，. 即，， 数列是以3000为首项，为公比的等比数列，即， ，即， ，， 所以的最小值为6. 故答案为：6. 15．(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质可得，代入解方程即可得出答案； （2）由，可得，则，由指数函数的单调性解不等式即可得出答案. 【详解】（1）由为奇函数，可知， 即，解得， 当时，对一切非零实数恒成立， 故时，为奇函数. （2）由，可得，解得， 所以 解得：，所以满足的实数的取值范围是. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合奇偶性的定义以及对数函数运算法则即可得证； （2）分离参数，将原问题等价转换为在上有解，由此转换为求函数值域问题. 【详解】（1）函数的定义域为 ， 在中任取一个实数，都有，并且. 因此，是奇函数. （2）等价于即在上有解. 记，因为在上为严格减函数， 所以，，， 故的值域为，因此，实数的取值范围为. 17．(1)0； (2). 【分析】（1）由幂函数的定义，再结合单调性，即得解. （2）求解，的值域，得到集合，，转化命题是成立的必要条件为，列出不等关系，即得解. 【详解】（1）依题意得：，或， 当时，在上单调递减，与题设矛盾，舍去， 当时，在上单调递增， . （2）由（1）得，当时，，即， 当时，，即， ∵命题是成立的必要条件，∴，∴，∴， ∴的取值范围是． 18．(1) (2)分钟 【分析】（1）根据所选择数据代入解析式，利用对数运算公式和参考数据可得； （2）将代入（1）中解析式计算可得. 【详解】（1）由题可知，有， 若取第一组数据，则有，得， 此时解析式为； 若取第二组数据，则有，解得， 此时解析式为. 综上，所求解析式为 （2）由（1）知，， 令，则，解得. 所以，从泡制到获得最佳饮用口感约需要分钟. 19．(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）赋值令，求得，令，求得； （2）通过赋值令，证明是以为首项，以为公比的等比数列，求解通项公式，计算即可； （3）令，得到是偶函数，通过赋值令（为正整数），证出对于为正整数，总有成立，即可说明对于为正整数，若，则有，然后设设，，是非负整数，都是正整数，利用偶函数的性质证明即可. 【详解】（1）令，得，所以， 令，得，所以； （2）令，得， 所以，所以， 所以， 即，又， 所以是以为首项，以为公比的等比数列， 所以，所以， 所以. （3）令得， 所以，即，所以是偶函数， 因为时，，所以， 即， 所以令（为正整数），对任意的为正整数，有： ， 则， 所以对于为正整数，总有成立， 所以对于为正整数，若，则有成立， 因为是有理数，所以可设，因为， 所以，是非负整数，都是正整数，则， 令，，则为非负整数， 所以，所以，即， 因为是偶函数，所以，， 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$