八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷（考试范围：浙教版七下全部内容）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版）

八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：浙教版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（    ） A．  B．C． D． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）要调查某校七年级学生周一到周五平均每天的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（    ） A．选取该校七年级一个班级的学生 B．选取60名该校的七年级女生 C．选取60名该校的七年级男生 D．随机选取60名该校的七年级学生 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 9．（2024七年级下·浙江·专题练习）将图①中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为24的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 10．（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是杆称在称重物时的示意图，已知，则的度数为 ． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 ． 13．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 个． 14．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．    15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表． （1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元； （2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 19．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，然后从，1，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 20．（2024·浙江台州·模拟预测）某校为了解本校九年级女姓体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试这些同学的测试结果分为“优秀”“良好“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 等级 跳绳个数x 人数 优秀 13 良好 a 及格 b 不及格 5    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共测试了______名女生，______； (2)等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为______度； (3)若该年级有500名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数． 21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 22．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 23．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 24．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：浙教版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共24题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图是镇海学伴小组的，下列图案能用原图平移得到的是（    ） A．  B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的定义．熟练掌握平移的定义是解题的关键． 根据平移的定义判断作答即可． 【详解】解：由题意知，用原图平移得到的图案如下； 故选：B． 2．（23-24七年级下·浙江金华·期末）要调查某校七年级学生周一到周五平均每天的睡眠时间，选取调查对象最合适的是（    ） A．选取该校七年级一个班级的学生 B．选取60名该校的七年级女生 C．选取60名该校的七年级男生 D．随机选取60名该校的七年级学生 【答案】D 【分析】本题考查调查数据，掌握全面调查和抽样调查的概念是解题关键．通过分析可知，只有抽样调查才更能现实一些，抽样调查的样本要具有代表性、广泛性、随机性，据此进行判断即可． 【详解】解：A、只选取一个班级的学生不具有代表性，不符合题意； B、只选取女生不具有代表性，不符合题意； C、只选取男生不具有代表性，不符合题意； D、随机选取该校七年级60名学生，符合抽样调查的样本要求，符合题意． 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）下列式子从左到右变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了因式分解的意义，正确分解因式是解题关键．直接利用因式分解的定义得出答案． 【详解】解：A、，是整式乘法，故此选项不合题意； B、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； C、，不符合因式分解的定义，故此选项不合题意； D、是分解因式，符合题意． 故选：D． 4．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）已知是一个完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方式，熟记完全平方式的形式是解题的关键．根据完全平方式的结构：，找出公式中的和即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴公式中的，分别为，， ∴， ∴， 故选：C． 5．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 6．（23-24七年级下·浙江台州·期末）工人师傅用如图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖拼成如图的甲、乙两种图形若干个，瓷砖恰好用完．则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组，整除性等知识点，根据题中的数量关系正确列出方程组是解题的关键． 设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组，然后根据的整除性即可排除错误答案，得出正确答案． 【详解】解：设工人师傅用图中的块正方形瓷砖和块长方形瓷砖可拼成图中的甲种图形个，乙种图形个，瓷砖恰好用完，依据题中的数量关系可列出二元一次方程组如下： ， 由得：， 将代入，得：， 解得：， 、都是正整数， 必须能被整除， 由此可知，选项、、不符合题意，选项符合题意， 此时，的确是二元一次方程组的一个正整数解， 故选：． 7．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）定义：两个自然数的平方和加上这两个自然数乘积的两倍即可得到一个新的自然数，我们把这个新的自然数称为“完全数”．例如：，其中“25”就是一个“完全数”，则任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有（    ） A．12个 B．13个 C．14个 D．15个 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，完全平方公式，理解“完全数”的定义是解题关键．根据“完全数”的概念求解即可． 【详解】解：设两个自然数分别为a，b 由题意可得， ∴小于180且不重复的“完全数”有：，，，，，，，，，，，，， 综上所述，任取两个自然数可得到小于180且不重复的“完全数”的个数有13个． 故选：B． 8．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）若关于 的分式方程 无解，则 的值为（    ） A．0 B．3 C．1 或 D．0 或 1 或 【答案】C 【分析】根据分式方程“无解”，考虑两种情况：第一种是分式方程化为整式方程时，整式方程有解，但是整式方程的解会使最简公分母为0，产生了增根．第二种情况是化为整式方程时，整式方程无解，则原分式方程也无解．综合两种情况求解即可． 【详解】解：， 分式方程两边同乘以得： ， ， 要使原分式方程无解，则有以下两种情况： 当时，即，整式方程无解，原分式方程无解． 当时，则， 令最简公分母为0，即 解得 ∴当，即时，原分式方程产生增根，无解． 综上所述可得：或时，原分式方程无解． 故选：C． 9．（2024七年级下·浙江·专题练习）将图①中周长为16的长方形纸片剪成1号、2号、3号、4号正方形和5号长方形，并将它们按图②的方式放入周长为24的长方形中，则没有覆盖的阴影部分的周长为（　　） A．10 B．12 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题主要考查列代数式和整体代入思想，设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y，利用图形的特征分别表示出3号正方形，4号正方形和5号长方形的边长，利用长方形的周长的意义列出等式求得的值，再利用平移的性质和长方形的周长解答即可． 【详解】解：设1号正方形的边长为x，2号正方形的边长为y， 则3号正方形的边长为，4号正方形的边长为，5号长方形的长为，宽为， ∵图①中周长为16的长方形， ∴， ∴． 如图： ∵大长方形的周长为24， ∴． ∴， ∴， 由平移的性质和题意得：没有覆盖的阴影部分的周长与长方形的周长相等， ∴没有覆盖的阴影部分的周长， 故选：D． 10．（23-24八年级上·四川内江·期中）若，则代数式的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】此题考查了因式分解的应用，由，，的代数式，求出，，的值，原式利用完全平方公式变形后代入计算即可求出值． 【详解】解：，，， ，，， 则 ， 当，，时，原式． 故选：D． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·浙江台州·期末）如图是杆称在称重物时的示意图，已知，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，根据两直线平行，内错角相等得到，再由平角的定义可得答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·浙江金华·期末）如图，在边长为的大正方形中剪掉边长为的小正方形，剩余部分剪拼成一个长为20，宽为10的长方形，则 ． 【答案】200 【分析】本题考查的是平方差公式的应用，利用图形面积可得，再利用平方差公式可得答案； 【详解】解：由题意得，， ∴． 故答案为：． 13．（22-23八年级上·浙江衢州·开学考试）一组数据经整理后分成四组，第一、二、三小组的频率分别为0.1，0.3，0.4，第四小组的频数是5，那么这组数据共有 个． 【答案】25 【分析】本题主要频率、频数等知识点，各小组频数之比等于各小组频率之比成为解题的关键． 根据各组的频率和等于1可求出第四小组的频率，再根据它和第四组的频率关系求得其频数即可． 【详解】解：根据题意，得：第四小组的频率是， 因为第四小组的频数是5， 所以这组数据共有（个）． 故答案为：25． 14．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）在长方形内，将一张边长为的正方形纸片和两张边长为的正方形纸片（），按图1，图2，图3三种方式放置（图中均有重叠部分），长方形中未被这三张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为，图3中阴影部分的面积为．当时，；当，时，．则的长度为 ．    【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，解题的关键是数形结合，并正确表示出阴影部分的面积．根据图形分别表示出，，，再根据当时，；当，时，，列出等式并化简即可求解． 【详解】解：由图可得： ，，， 当时，， ， ， ， ， 当，时，， ， ， ， ， ， 又， ， ， 故答案为：． 15．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）爱好数学的小明，来到西湖边一知名奶茶店，注视着价格表． （1）小明发现：2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元，那么购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需 元； （2）小明购买了杨枝甘露、百香凤梨、葡萄芝士三种奶茶共10杯，共消费了187元，若杨枝甘露18元/杯．百香凤梨15元/杯，葡萄芝士20元/杯，则葡萄芝士买了 杯． 【答案】 54 5 【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程以及二元一次方程组是解此题的关键． （1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元．根据“2杯西瓜啵啵、3杯元气鲜橙共需88元；3杯西瓜啵啵、5杯元气鲜澄共需142元”列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案； （2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯，利用总价单价数量列出二元一次方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：（1）设每杯西瓜啵啵的价格为元，每杯元气鲜橙的价格为元． 由题意，得， ，得． 故购买1杯西瓜啵啵和2杯元气鲜橙共需54元． 故答案为：54； （2）设小明购买葡萄芝士杯，杨枝甘露杯，则购买百香凤梨杯， 由题意，得， 化简，得， 又、、均为正整数， ，． 故答案为：5． 16．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图，，分别为直线上两点，且，射线从开始绕点按顺时针方向旋转至后立即回转，然后以不变的速度在和之间不停地来回旋转，射线从绕点按逆时针方向同时开始旋转，射线转动的速度是，射线转动的速度是，在射线到达之前，当时间为 秒时，射线与射线互相平行． 【答案】36或108 【分析】分四种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线与射线互相平行时的时间．本题主要考查了平行线的判定与性质，以及角的和差关系的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等．简单说成：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：设射线从开始绕点按顺时针方向旋转时，射线与射线互相平行． 分四种情况： ①如图，当时，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得； ②当时，，， ∴， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得，此时， （舍去）； ③如图，当时，，，， ，， ， ， ，， 当时，， 此时，， 解得（舍去）； ④当从出发，到，再回到，再转到如下图的位置： ∵， ∴， 即， ∴， 解得：， 综上所述，在射线到达之前，有2次射线与射线互相平行，时间分别是36或． 故答案为：36或108． 三、解答题（8小题，共68分） 17．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解二元一次方程组的方法，准确计算． （1）用加减消元法解二元一次方程组； （2）用加减消元法解二元一次方程组． 【详解】（1）解：， 得：， 解得， 再将代入①得，， 解得： ∴此方程组的解为； （2）解：， 化简原方程组得， 得：， 得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， 故原方程组的解是． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是因式分解，掌握因式分解的方法与步骤是解本题的关键； （1）先添负号，再利用完全平方公式分解因式即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式分解因式即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 19．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）先化简，然后从，1，，2中选取一个合适的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值， 先把括号内通分，再进行同分母的加法运算，接着把除法运算化为乘法运算，则约分得到原式，然后根据分式有意义的条件确定，最后把代入计算即可． 【详解】解：原式 ∵且且， ∴，1，，2中x只能取， 当时，原式 20．（2024·浙江台州·模拟预测）某校为了解本校九年级女姓体育项目跳绳的训练情况，随机抽查了该年级若干名女生，进行了1分钟跳绳测试这些同学的测试结果分为“优秀”“良好“及格”“不及格”四个等级，并将统计结果绘制成如下两幅不完整的统计图． 等级 跳绳个数x 人数 优秀 13 良好 a 及格 b 不及格 5    根据以上信息，回答下列问题： (1)本次共测试了______名女生，______； (2)等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为______度； (3)若该年级有500名女生，请你估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数． 【答案】(1)50，20 (2) (3)估计该年级女生中1分钟“跳绳”个数不少于150个的人数为330人 【分析】本题考查了扇形统计图和频数分布表、由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角． （1）根据等级在“优秀”的人数为与所占百分比，即可求得总人数，将等级在“良好”的百分比乘以总人数，即可求出a的值； （2）求出等级为“及格”所占的百分比，再乘以即可求得圆心角； （3）样本中1分钟“跳绳”个数不少于150个的女生所占百分比乘以总体数量即可解答． 【详解】（1）解：结合两幅统计图可得，等级在“优秀”的人数为：13人，占比为， ∴总人数为：（人）， 则等级在“良好”的人数（人）； 故答案为：50，20； （2）解：等级在“及格”的人数， 所占百分比为， ∴等级为“及格”所在扇形的圆心角的度数为：， 故答案为：86.4； （3）解：样本中1分钟“跳绳”个数不少于150个的女生所占百分比为：， 当该年级有500名女生时，此时该年级女生中1分钟“跳绳” 个数不少于150个的女生人数是：（人）． 21．（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）根据以下素材，探索完成任务． 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图1中是一张学生椅，主要由靠背、座垫及铁架组成．经测量，该款学生椅的靠背尺寸为，座垫尺寸为．图2是靠背与座垫的尺寸示意图． 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，经清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座垫．已知该板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 我是板材裁切师 任务一 拟定裁切方案 若要不造成板材浪费，请你设计出一张该板材的所有裁切方法． 任务二 确定搭配数量 若该工厂购进50张该型号板材，能制作成多少张学生椅？ 【答案】任务一：见详解；任务二，240张学生椅 【分析】任务一：设一张该板材裁切靠背张，坐垫张，可得：，求出非负整数解即可； 任务二：根据50张该型号板材,以及学生椅的尺寸列式，即可 本题考查二元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程． 【详解】解：任务一： 设一张该板材裁切靠背张，坐垫张， 根据题意得：， ， ，为非负整数， 或或， 则方法一：裁切靠背16张和坐垫0张； 方法二：裁切靠背9张和坐垫3张； 方法三：裁切靠背2张和坐垫6张； 任务二：依题意，（张， 该工厂购进50张该型号板材，能制作成240张学生椅； 22．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）如图①，一个宽为a，长为的长方形，然后用四块小长方形拼成一个正方形（如图②）． (1)观察图②，请你用等式表示，，之间的数量关系：____； (2)根据（1）中的结论，如果，，求代数式的值． (3)如果，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景以及完全平方公式的应用，用不同的方法表示图形的面积，得出相等关系是关键，适当的变形是正确计算的前提． （1）表示出大、小正方形的边长和面积，根据面积之间的关系得出结论； （2）根据（1）中结论代入求出，进而可得答案； （3）利用完全平方公式变形求出，然后可得答案． 【详解】（1）解：由图2可知，大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则大正方形的面积可以表示为：或， 因此有， 故答案为：； （2）由得：， ∴； （3）∵， ∴ ， ∴． 23．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：．如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． 【类比推理】（1）已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：______． 【应用公式】（2）①因式分解：．②因式分解：． 【拓展提升】（3）如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则 ①______． ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】（1）；（2）①；②；（3）①13；②， 【分析】本题主要考查了分组分解法、公式法分解因式以及因式分解的应用，熟练掌握图形面积之间的关系是解题的关键． （1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）①先提取公因式，再利用公式求解即可； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据，即可得出结果； ②先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可；由，，，求得，得到，，求得的值，代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， 故答案为：； （2）① ； ②因式分解： ； （3）①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， 又， ， ， 故答案为：13 ② ， ∵，，， ∴， ∴，，解得，， ∴原式． 24．（22-23七年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【答案】(1) (2)或或8 【分析】（1）由分式方程有增根，得到，求出的值即为增根； （2）将代入求得，根据题意可得或或，分别带入求得的值即可． 【详解】（1）解：由分式方程有增根，得到， 解得：， 将分式方程化为整式方程：， 整理得：， 将代入得：， 即若方程有增根，则． （2）解：∵是方程的解， 将代入得：， 整理得：， ∴， ∴，且 ∵，均为整数且， ∴或2或（舍去）或， 当时，即，； 当时，即，； 当时，即 当时，即，； 当时，即，； 综上，的值为或或8． 【点睛】此题考查了分式方程的增根，求分式方程中字母的值，解题的关键是①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$