八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷（考试范围：北师大版七下全部内容）-2024-2025学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版）

八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：北师大版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23七年级上·山东东营·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·河北承德·期末）清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000841米，则数据0.00000841用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级上·湖南常德·期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 5．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 7．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图a是长方形纸带， ，，将纸带沿折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是（    ） A． B． C． D． 10．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）学校举办演讲比赛，该校七年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ． 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）若一个长方形的周长为，一条边长为，面积为，则y与x之间满足的关系式为 ． 13．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若多项式是一个完全平方式，则 ． 14．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 15．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 16．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 18．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）已知的展开式中不含项． (1)求的值； (2)当时，化简求值：． 19．（23-24七年级下·河南郑州·期末）从一副扑克牌中挑拣出来9张，分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，将这些牌背面朝上洗匀后，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张． (1)规定谁摸到的牌面大谁就获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ (2)规定两人摸到的牌面之和为偶数小明获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 21．（22-23七年级下·广东深圳·期中）已知，在线段延长线上，，连接，若，． (1)求证：； (2)求的度数． 22．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图                                   实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 (1)项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A．  B．  C．  D． (2)项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 23．（21-22七年级下·广东湛江·期中）（1）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与a、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，已知，，，则的大小是______． 24．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    25．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 八年级上学期开学摸底考01 重难点检测卷 【考试范围：北师大版七下全部内容】 注意事项： 本试卷满分100分，考试时间120分钟，试题共25题。答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置 1、 选择题（10小题，每小题2分，共20分） 1．（22-23七年级上·山东东营·阶段练习）下列各组图形中，属于全等图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等图形．根据全等图形的定义（能够完全重合的两个图形叫做全等形）逐项判断即可得． 【详解】解：A、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； B、两个图形的大小不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，则此项符合题意； D、两个图形的形状不相同，不能够完全重合，不是全等图形，则此项不符合题意； 故选：C． 2．（23-24七年级下·河北承德·期末）清代·袁枚的一首诗《苔》中的诗句：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为0.00000841米，则数据0.00000841用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了科学记数法，将原数写出的形式，当原式绝对值小于1时，n的值为负整数，正确确定a的值及n的值是解题的关键 【详解】解：， 故选：A. 3．（22-23七年级上·湖南常德·期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式，根据平方差公式解答即可．即． 【详解】因为，所以A不符合题意； 因为，所以B符合题意； 因为，所以C不符合题意； 因为，所以D不符合题意． 故选：B． 4．（23-24七年级下·四川成都·期末）小华同学在市场买某种水果，如图是称重时电子秤的数据显示牌，则其中的变量是（    ） A．单价和金额 B．重量和金额 C．重量和单价 D．重量，单价和金额 【答案】B 【分析】本题考查实际生活中的变量，读懂题意，理解水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化，即可得到答案，熟记数学概念在生活中的运用是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，小华同学在市场买某种水果，图中称重时电子秤的数据显示牌，中具有重量、单价和金额，显然水果的单价是固定的，金额随着重量的变化而变化， 其中的变量是重量和金额， 故选：B． 5．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）如图，，点在上，过点作的垂线与相交于点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直可得，再由平行线的性质可得，从而可求的度数． 【详解】解：∵过点作的垂线与相交于点， ， ，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用． 6．（23-24七年级下·河北张家口·期末）若两张扑克牌的牌面数字相同，则可以组成一对．如图，是甲、乙同学手中的扑克牌．若甲从乙手中随机抽取一张，恰好与手中牌组成一对的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查求概率，根据概率公式进行计算即可． 【详解】解：共4张牌，其中能与手中牌组成一对的有5，8，共2种情况， ∴； 故选C． 7．（22-23七年级上·浙江温州·期末）如图，点为长方形纸片的边上一点，将长方形纸片分别沿，折叠，使点，分别与点，重合，点，，恰好在同一条直线上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、几何图中角度的计算，由折叠的性质可得，，求出，结合得出，，即可得解，熟练掌握折叠的性质是解此题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8．（23-24七年级下·四川广元·期末）如图，，点在和之间，，是上的动点，连接，当的长度最短时，的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，两点之间垂线段最短，解题的关键是掌握相关的知识．当时，的长度最短，作，得到，，进而得到，即可求解． 【详解】解：当时，即，的长度最短， 如图，作， ， ， ， ， ， 故选：A． 9．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图a是长方形纸带， ，，将纸带沿折叠成图b，再沿BF折叠成图c，则图c中的的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了翻折变换，平行线的性质和平角定义，根据折叠能够发现相等的角是解题的关键． 根据两条直线平行，内错角相等，则，根据平角定义，则（图a），进一步求得（图b），进而求得（图c）． 【详解】解：∵， ∴， 在图a中， ， 在图b中， ， 在图c中， ∴， 故选：A． 10．（23-24八年级上·四川眉山·阶段练习）如图，为线段上一动点（不与点、重合），在同侧分别作正三角形和正三角形与交于点与交于点与交于点，连接，以下七个结论： ①；②；③；④；⑤；⑥是等边三角形；⑦点在的平分线上，其中正确的有（    ） A．6个 B．5个 C．4个 D．7个 【答案】A 【分析】由和是正三角形，其性质得三边相等，三个角为，平角的定义和角的和差得，边角边证明，其性质得结论①正确；由， 可得，可得 故⑤正确，角边角证明得，其结论③正确；等边三角形的判定得是等边三角形，结论⑥正确；判定，结论②正确；反证法证明命题，结论④错误；利用全等三角形的对应高相等，可证明点C在的平分线上，结论⑦正确． 【详解】解：如图1所示： ∵和是正三角形， ∴，，， 又∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故结论①正确； ∵， ∴， ， ，故⑤正确， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故③正确， ∴是等边三角形，故⑥正确 ∴， ∴， ∴， 故②正确； 若， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴与是等边三角形相矛盾，假设不成立， 故结论④错误； 过点C分别作，于点M、N两点， 如图2所示： ∵，，， ∴， 又∵在的内部， ∴点C在的平分线上，故结论⑦正确； 综合所述共有6个结论正确． 故选：A． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，等边三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，平行线的判定，角平分线性质定理的逆定理和假设法证明命题等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，难点是用角平分线性质定理的逆定理作辅助线证明一点已知角的角平分线上． 二、填空题（6小题，每小题2分，共12分） 11．（23-24七年级下·重庆·阶段练习）学校举办演讲比赛，该校七年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛．若从报名的8名学生中随机选1名参加比赛，则这名学生是女生的概率是 ． 【答案】/0.375 【分析】本题考查了概率公式，根据概率=所求情况数与总情况数之比直接求解即可． 【详解】解：∵该校九年级有五男三女共8名学生报名参加演讲比赛， ∴这名学生是女生的概率是． 故答案为：． 12．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）若一个长方形的周长为，一条边长为，面积为，则y与x之间满足的关系式为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查列二次函数关系式，先根据周长表示出长方形的另一边长，再根据面积=长×宽列出函数关系式． 【详解】解：∵一个长方形的周长为，一条边长为， ∴长方形的另一边长为：， 根据题意可得：． 故答案为：． 13．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）若多项式是一个完全平方式，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的形式是解题的关键．根据完全平方公式的定义，得出符合题意的形式，对应得出答案即可． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．（22-23八年级上·湖北荆门·期末）如图，在直角中，，平分，N是上一动点(不与A，C重合)，M是上一动点(不与A，D重合)，则的最小值为 . 【答案】 【分析】作于点，由，求得，在上取点，使，连接，则，可知当点与点重合，点与点重合时，取得最小值，则的最小值为． 【详解】解：作于点， ， ， ，，， ， ， 在上取点，使，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ， ， 当点与点重合，点与点重合时，则的值最小， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查根据面积等式求线段的长度、全等三角形的判定与性质、轴对称的性质、垂线段最短等知识与方法，正确作出辅助线是关键． 15．（23-24七年级下·广东惠州·期末）已知，点M，N分别是，上两点，点G在，之间，连接，．点E是上方一点，连接，，若的延长线平分，平分，，则 ． 【答案】/50度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合运用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，利用平行线的性质以及角的和差关系进行推算． 过作，过作，设，，利用平行线的性质以及角平分线的定义，可得，，再根据，据此计算即可求解． 【详解】解：如图3，过作，过作，设，， 交于，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，平分， ，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·辽宁丹东·期中）如图，在中，，的角平分线，相交于点P，过P作交的延长线于点F，交于点H，则下列结论①；②；③；④；⑤，正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再根据角平分线的定义可得，根据三角形内角和定理则可判断结论①；证明，可判断结论②；无法得出结论③；证明，可判断结论④；连接，，证明，结合全等的性质可得，，，最后根据进行恒等变换后即可判断结论⑤． 【详解】解：在中，， ∴， 又∵、分别平分、， ∴， ，， ∴，故结论①正确； ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，，故结论②正确； ∴， 无法得出，故结论③错误； 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，故结论④正确； 连接，， ∵，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ，故结论⑤正确． 故答案为：①②④⑤． 【点睛】本题考查直角三角形两锐角互余，角平分线的定义，全等三角形的判定和性质，等边对等角，平行线的判定等知识点．证明三角形全等是解题的关键． 三、解答题（9小题，共68分） 17．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了多项式乘多项式、平方差公式和完全平方公式，正确运用乘法公式计算是解题关键． （1）直接利用平方差公式计算得出答案； （2）首先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算得出答案． 【详解】（1） ； （2） ． 18．（22-23七年级下·湖南益阳·期中）已知的展开式中不含项． (1)求的值； (2)当时，化简求值：． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查整式混合运算，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、乘方公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）利用多项式乘以多项式展开，再由的展开式中不含项得到求解即可得到答案； （2）利用平方差公式、完全平方和公式及整式加减运算化简，再将代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含x3项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式 ． 19．（23-24七年级下·河南郑州·期末）从一副扑克牌中挑拣出来9张，分别为2，3，4，5，6，7，8，9，10，将这些牌背面朝上洗匀后，小明从中任意抽取一张牌（不放回），小颖从剩余的牌中任意抽取一张． (1)规定谁摸到的牌面大谁就获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ (2)规定两人摸到的牌面之和为偶数小明获胜，如果小明已经摸到的牌面为7，然后小颖摸牌，那么小明获胜的概率是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，一共8种等可能性，小于7的有5种等可能性，根据简单地概率计算解答即可． （2）根据题意，一共8种等可能性，和为偶数有3，5，9共3种等可能性，根据简单地概率计算解答即可． 本题考查了简单地概率公式计算，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，得一共8种等可能性，小于7的有5种等可能性， 故小明获胜的概率为：． （2）根据题意，一共8种等可能性，和为偶数有3，5，9共3种等可能性，根故小明获胜的概率为：． 20．（23-24七年级下·陕西西安·期末）某商店为了减少某种商品的积压，采取降价销售的策略．某商品原价为500元/件，随着不同幅度的降价，每降价10元，日销量增加5件．该商品降价金额x(元)与日销量 y(件)之间的关系如下表： 降价金额x/元 10 20 30 40 50 60 日销量y/件 155 160 165 170 175 180 (1)上表中的自变量是什么？因变量是什么？ (2)可以估计降价前的日销量是 件． (3)若该商品的售价为400元，求该商品的日销量为多少件． 【答案】(1)自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． (2)150 (3)200件 【分析】本题考查的是函数的定义，理解利用表格表示的函数关系，求解函数的函数值，理解题意，列出正确的运算式是解本题的关键． （1）根据函数的定义可得答案； （2）根据表格信息可得每降价10元，销量增加5件，从而可得答案； （3）由150件加上增加的销量即可得到答案． 【详解】（1）解：上表中的自变量是该商品降价金额（元），因变量是日销量（件）． （2）根据表格信息可得：估计降价前的日销量是（件）， 故答案为：150； （3）该商品的日销量为（件）． 21．（22-23七年级下·广东深圳·期中）已知，在线段延长线上，，连接，若，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）根据平行线的性质及等量代换即可解答； （）设，根据角的和差关系及平行线的性质可得方程解方程即可．本题考查了平行线的性质，角的和差倍数关系，熟练运用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵， ∴设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴, ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 22．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）“学以致用，知行并进”指的是学习不仅仅是为了获取知识，更重要的是将所学知识应用到实际生活中，从而实现知行合一的境界．生活中经常会遇到一些不可直接测量的距离或角度，为了测量出这些距离和角度，项目学习小组进行了如下探究： 项目主题 自制数学工具，测量生活中的“线”与“角” 项目任务 项目一：测量锥形容器内部底面内径 项目二：测量斜坡的倾斜角度 所需材料 刻度尺、两根小棒、螺丝钉等 正方形板、指针、重锤、打印机等 测量方案示意图                                   实施步骤 1．用螺丝钉将两根小棒在它们的中点O处固定； 2．再将两根小棒的A、B端分别置于杯子内部底面内径的两端； 3．用刻度尺测量两根小棒的C、D端之间的距离． 1．利用正方形板、指针、重锤等材料，借助打印技术，制作“迷你测坡仪”； 2．将“迷你测坡仪”置于斜坡上，特重锤与指针稳定； 3．读出指针所对的的度数． 测量数据 项目结论 锥形容器内部底面内径 斜坡的倾斜角度为 (1)项目一中，利用了全等三角形的性质．通过证明，就可以得到．判定的方法是 _______； A．  B．  C．  D． (2)项目二中，利用了物理中的重力原理与数学中的平行线的性质．如图是简化的测量方案示意图，其中，，请你证明：． 【答案】(1)A (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的性质： （1）先由线段中点的定义可得，再根据证明即可得到； （2）根据平行线的性质可得，，则． 【详解】（1）解：∵O为与的中点， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 23．（21-22七年级下·广东湛江·期中）（1）问题情境：如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过P作，通过平行线性质来求．按小明的思路，易求得的度数为______度；（直接写出答案） （2）问题迁移：如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与a、β之间有何数量关系？请说明理由； （3）问题拓展：如图3，已知，，，则的大小是______． 【答案】（1）110；（2）；（3） 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质并灵活运用. （1）由题意可得，结合平行线的性质进行求解即可； （2）过点作,从而可得到, 利用平行线的性质进行求解即可； （3）过点作,过点作，则可得，利用平行线的性质进行求解即可. 【详解】（1）∵, ∴, ∴, ∵, ∴, ∴， 故答案为: ； （2）, 理由如下: 过点作, 如图, ∵, ∴, ∴, ∴； （3）过点作,过点作, 如图， ∵, ∴, ∴, ∴, ∴ . 故答案为: ． 24．（23-24七年级下·辽宁大连·期末）（1）如图1，在一张直角三角形纸片中，，点E在边上，把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F，若，则求的度数． （2）如图2，在一张三角形的纸片中，，，点E在边上，把纸片沿翻折，使点B落在边上的点D处，过点D作交于点F ①求证：． ②若，探究与β之间的数量关系，并说明理由．    【答案】（1）；①见解析；② 【分析】本题考查了平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质、三角形内角和定理及三角形外角的性质，折叠的性质，， （1）设，由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，，从而得出，再 ，列出方程，求解即可； （2）①由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，从而得出，即，再求得，而由三角形内角和定理可得，从而证得结果； ②由平行线的性质可得，再由，，可得出，再求解即可． 【详解】解：（1）设， 把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ，， ， ， ， ， ； （2）①把纸片沿折叠，使点B落在边上的点D处， ， ，， ， ， ， 在中，，， ， ， ； ②， ， ，， ， ， 25．（23-24七年级下·四川达州·期末）在数学活动课上，李老师给出以下题目条件：在四边形中，，点E、F分别是直线上的一点，并且．请同学们在原条件不变的情况下添加条件，开展探究活动． 【初步探索】 （1）“兴趣”小组做了如下探究：如图1，若，延长到点G，使．连接，再证明，由此可得出，，之间的数量关系为________； 【灵活运用】 （2）“实践”小组提出问题：如图2，若，（1）中结论是否仍然成立？请说明理由； 【延伸拓展】 （3）“奋进”小组在“实践”小组的基础上，提出问题：如图3，若，点E、F分别在线段的延长线上，连接，且仍然满足．请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】（1） （2）成立，理由见解析 （3），证明见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，则，从而得出，证明得出，证明得出，即可证明； （2）延长到点，使，连接，则，从而得到，证明得出，证明得出，即可证明； （3）延长到点，使，连接，则，证明得出，证明得出，从而得到，即可得解． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）成立， 理由：如图，延长到点，使，连接，则， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）， 证明：如图，延长到点，使，连接， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了同角的补角相等、全等三角形的判定与性质等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出辅助线构造三角形全等是解此题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$